空间向量场中一类微分系统无穷远点的极限环分支

刘灿辉，杜超雄

(长沙师范学院 数学科学学院，湖南 长沙，410100)

由Poincaré和Lyapunov在19世纪末创立的微分方程稳定性理论和定性理论是20世纪动力系统理论的2个重要分支。微分多项式系统的极限环分支和临界周期分支是微分方程定性理论的2个重要的研究领域，其也涉及稳定性理论的相关问题，由于其应用日益广泛，引起了众多学者的研究兴趣。微分多项式系统的模型常常出现在生化反应、种群动力学、流行病学、力学领域及其他应用数学，微分多项式系统的研究本身作为纯粹的数学研究在理论上也有重要的意义，例如对于平面多项式系统的极限环问题，其与Hilbert第16问题密切相关。SHI[1]得出二次多项式系统可分支出4个极限环；YU等[2-3]得出三次系统的Hilbert数不少于12，LIU等[4]得出三次系统的Hilbert数不少于13，这是目前关于H(3)的最好结果。其他类型的微分系统的极限环分支问题见文献[5-8]。但是，对于三维向量场中微分多项式自治系统的极限环分支问题，可能由于它是一个新兴的研究方向，且需要在中心流形上开展计算，计算难度较大，故直到最近10年才开始出现一些相关研究文献，研究结论相对较少。AN等[9]研究了一类三维多项式系统的Hopf分支问题，YUN等[10]研究了一类三维二次系统，给出了该系统可以从一个奇点分支出7个极限环；YU等[11]得出一类三维二次系统可以分支出10个极限环。KOUICHI[12-13]给出了三维竞争Lotka-Volterra系统可以产生4个极限环的实例,研究了一类具有Zeeman’s class 27形式的三维Lotka-Volterra竞争系统并给出其多重极限环分支的实例。对于空间向量场不变曲面上的多项式微分系统的无穷远点和高次奇点的极限环分支问题，研究文献更少，本文对此进行研究。

本文主要研究一类空间向量场中五次微分多项式系统无穷远点的极限环分支问题，被研究的系统如下：

(1)

其中：A,B,C和M是4个实参数。在某一正定的中心流形或不变曲面上，Poincaré封闭球面上的赤道轨线Γ∞是该系统的1条轨线，这条轨线常常被称作该系统的无穷远点或无穷远轨迹。如果该系统的无穷远点能够分支出一个极限环，那么该极限环也常常被称作大振幅极限环或者赤道环。

对于空间向量场中多项式微分系统的极限环分支问题的研究，常常需要放到不变曲面上利用中心流形开展计算李雅普诺夫常数，常用的计算方法往往与平均法有关。对于空间向量场中无穷远点极限环分支问题的讨论也与其李雅普诺夫常数有关，但其具体计算往往较困难。

本文使用2个合适的同胚变换，将无穷远点变为原点，在不改变其分支数的基础上对新系统的原点的分支问题开展研究。其中，关于李雅普诺夫常数的计算方法采用奇点量法。通过化简焦点量和分析其结构，得出该系统的无穷远点的广义李雅普诺夫常数或者广义焦点量的阶数为5，进一步通过合适的小参数扰动，得出该系统在中心流形u=u(x,y)上可以分支出5个大振幅极限环。

1 空间向量场中微分多项式系统的广义李雅普诺夫常数的计算方法

本文主要采用文献[14-15]中关于空间向量场中广义李雅普诺夫常数或者广义焦点量的计算方法即奇点量法来研究其分支问题。这种方法不同于常用的平均法，故有必要先对这种方法进行介绍。

对于如下形式的三维Hopf分支系统：

(2)

存在一个正定的中心流形u=u(x,y)，该中心流形可以表示成如下的关于x和y的多项式级数形式：

u=x2+y2+h.o.t.

(3)

其中：x,y,u,d,t,Ajkl,Bjkl,djkl,δ∈R(k,j,l∈N+),δ→0；h.o.t.代表高阶项。

经变换：

(4)

系统(2)|δ=0可以化为如下复系统：

(5)

对于系统(5)，文献[14-15]给出了其原点的奇点量的表达式，即如下引理。

引理1[14-15]对系统(5)，设c110=1,c101=c011=c200=c020=0，ckk0=0，k=2，3，…，那么可以依次唯一地确定如下形式的形式级数：

(6)

使得

(7)

且若α≠β或者α=β，γ≠0，cαβγ由下列递推公式得出

(8)

且对任意的正整数m,μm由下面的递推公式确定：

(9)

式(9)中：当α<0或β<0或γ<0或γ=0，α=β，就应该设cαβγ=0。

式(9)所得到的μm称为系统(5)原点的第m阶奇点量。文献[14-15]给出了其与系统(2)|δ=0的m阶李雅普诺夫常数或焦点量之间的关系，即下面的引理。

引理2[15]对于系统(2)|δ=0，系统(5)和任意的正整数m，有下面的关系：

(10)

其中：v2k+1(2π)(k=1,2,…,m-1)为系统(2)原点的k阶李雅普诺夫常数或k阶焦点量；μk(k=1,2,…,m-1)为系统(5)原点的k阶奇点量；ξm(k)(k=1,2,…,m-1)为系统(5)系数的多项式函数。

定义1 对于系统(2)，若v1(2π)≠1,那么系统(2)的原点称为一个粗焦点或强焦点；若v1(2π)=1,v2(2π)=v4(2π)=…，=v2k(2π)=0,v2k+1(2π)≠0,那么，系统(2)的原点称为一个k阶细焦点，同时，v2k+1(2π)(k=1,2,…)称为系统系统(2)原点的k阶李雅普诺夫常数或者k阶焦点量；若v1(2π)=1且对于任意正整数k,v2k+1(2π)=0,则系统(2)的原点称为一个中心。

根据引理1和引理2有下面的结论。

引理3 对于原点存在k阶李雅普诺夫常数的系统(2)|δ=0和系统(5)，下面的关系成立。

v2m+1(2π)=iπμm

(11)

这里，μk=0；k=1,2,…,m-1。

为了进一步研究Hopf分支问题，文献[15]给出了下面2个结论。

引理4[15]对于系统(2)，下面2个结论成立。

①若下列条件成立，则系统(2)在原点充分小的邻域内至多可由焦点或中心点扰动出m个极限环：

v1(2π，ε)-1=λ0εl0+N+o(εl0+N+1)

(12)

v2k+1(2π，ε)-1=λkεlk+N+o(εlk+N+1)

(13)

k=1,2,…；0<|ε|≪1,

这里，l0,l1,…,lm,m和N是正整数，且λm≠0。

②若(a)中的上述条件成立，且

λkλk-1<0,k=1,2，…，m；lk-1-lk>lk-lk+1,k=1,2，…，m-1,

(14)

引理5[15]对于未扰系统(2)|δ=0，如果其原点是一个n阶细焦点，那么，在合适的扰动下，系统(2)的原点能分支出n个小振幅极限环。

2 系统(1)的极限环分支问题

引理1～5为空间向量场中初等奇点的Hopf分支问题提供了研究的思路。但对于系统(1)无穷远点的极限环分支问题不能直接使用该方法。因此，有必要进行不改变原来系统分支行为的变换。

2.1 系统(1)的变换

为了研究系统(1)的极限环分支问题，广义焦点量的计算显得很关键。但对于系统(1)，其形式并不满足系统(2)的标准形式，故无法直接利用系统(2)的焦点量的计算方法来进行计算，因此，这里有必要进行合适变换。

通过同胚的三维倒径变换

(15)

与时间变换

(16)

系统(1)变成了如下实系统：

(17)

显然，在变换(15)下，系统(1)的无穷远点变成了系统(17)的原点。如果系统(17)的原点能分支出k个极限环，那么系统(1)的无穷远点也能分支出k个极限环。而焦点量的计算在研究系统(17)的极限环分支问题中具有重要的作用。从这个意义上来说，对系统(17)原点的焦点量计算也将为进一步研究系统(1)的无穷远点极限环分支问题提供依据。因此，系统(17)原点的焦点量也被称作系统(1)的无穷远点广义焦点量或者广义李雅普诺夫常数。

2.2 系统(1)无穷远点的广义焦点量

进行下列变换：

(18)

系统(17)变成

(19)

由引理1可得，系统(19)的原点的奇点量的递推公式如下。

定理1 如果k≠j或者k=j,l≠0,那么ckjl由下列递推公式决定：

且对任意的正整数j,μj由下列递推公式给出：

且当k<0或j<0或l<0或l=0，k=j时就设ck,j,l=0。

通过使用计算机代数系统Mathematica，由定理1的递推公式并通过化简可以得到系统(19)原点的前五阶奇点量表达式，即如下定理。

定理2 系统(19)原点的前五阶奇点量表达式如下：

其中：h3,h4和h5是关于A,B和C的多项式表达式。

由引理2～3和定理2以及系统(1)，(17)与(19)的关系，可以得到如下定理。

定理3 系统(1)无穷远点的前五阶广义李雅普诺夫常数或广义焦点量为系统(17)|δ=0的原点的前五阶焦点量，其表达式如下：

其中：h3,h4,h5的多项式与定理2中的相同。

2.3 系统(1)无穷远点的极限环分支

由于系统(17)是由系统(1)在变换(15)和(16)之下得到的，故可以先考虑系统(17)原点的极限环分支行为。根据引理5和定理3，有必要先讨论系统(17)原点成为细焦点的阶数，分析定理3中焦点量的结构，可得下面的定理。

定理4 系统(17)的原点成为一个五阶细焦点的充要条件是

M=0,B≠0,C(2C-1)(20C-1)(20C2-1)≠0,μ2=μ3=μ4=0

(20)

证明先证明必要性。通过分析定理3中vk,(k=3,5,7,9,11)的结构，只需要找到M,A,B,C的一组值使得v3=v5=v7=v9=0，v11≠0，

设v3=0，那么M=0。下面证明式(20)成立时v3=v5=v7=v9=0，v11≠0。

设v5=v7=0，利用Mathematica计算得到v5，v7关于A的结式应该等于0，设v5，v7关于A的结式为r1,借助于计算机开展计算和化简得到

其中：r11是关于B,C的高次表达式。

显然，由v5=v7=0得到r1=0,而B≠0，那么r11=0。

类似地，v5=v9=0得出其结式：

由v5=v11=0得出其结式：

这里,r22，r33是关于B,C的高次表达式。

显然B是r1,r2,r3的公因子，故B=0会导致v3=v5=v7=v9=v11=0，这样，系统(17)的原点不可能成为五阶细焦点。进一步，若v3=v5=v7=v9=v11=0有实数根的话，可以推导出r11=r22=r33=0。 设r12=Resultant[r11,r22，B]，r13=Resultant[r11,r33，B]，

那么，由r12=r13=0可推出v3=v5=v7=v9=v11=0，故只需要找出r12=0和r13=0不同时成立的条件即可。在计算机代数系统的帮助下，可得

r12=Resultant[r11,r22，B]=2 386 420 683 693 101 056 000 000 000 000C8· (2C-1)8(20C-1)8(20C2-1)2n1n2,

r13=Resultant[r11,r33，B]=124 572 651 201 707 183 311 360 000 000 000 000 000C8· (2C-1)12(20C-1)12(20C2-1)2n3n4

其中：n1,n2,n3和n4是关于C的表达式。

从r12和r13的表达式可以看出，v3=v5=v7=v9=0，v11≠0，能推导出C(2C-1)(20C-1)(20C2-1)≠0,因此，v3=v5=v7=v9=0，v11≠0，可以推导出式(20)成立。

再证明充分性。从上面的分析可以看出，当式(20)成立时，显然有v3=v5=v7=v9=0，下证v11≠0。利用结式计算的方法同样可以得到，从r12和r13的表达式中可知，n1n2=0与n3n4=0没有公共的实数根。因此，在式(20)成立时，v11≠0，充分性成立，证毕。

根据定理3和定理4得出下面的定理。

定理5 如果系统(17)的原点是一个五阶细焦点，那么参数群{M,A,B,C}在合适的扰动下，系统(17)能够分支出5个小振幅极限环，其中含3个稳定环。相应地，系统系统(1)能够分支出5个大振幅极限环，其中3个环是稳定的。

证明当式(20)成立时，系统(17)|δ=0的原点是一个五阶细焦点，v3,v5,v7,v9关于参数群{M,A,B,C}的雅可比行列式为

(21)

其中：m1是关于A,B,C的表达式。使用结式的方法容易分析得到在式(20)下，m1≠0，因此，J≠0。由于J≠0，故v3=v5=v7=v9=0时必定存在一组实数根，使得v11≠0。设M=0,A=a,B=b,C=c是一组满足该条件的根。

给定一个适当参数群的扰动，使得

v3(2π,ε)=ε1,v5(2π,ε)=ε2,v7(2π,ε)=ε3,v9(2π,ε)=ε4

(22)

其中：ε1,ε2,ε3,ε4是一组任意的实数。由于J≠0，根据隐函数存在定理，式(22)必定存在一组解如下列形式：

M=a1(ε1,ε2,ε3,ε4)A=a+a2(ε1,ε2,ε3,ε4)B=b+a3(ε1,ε2,ε3,ε4)C=c+a4(ε1,ε2,ε3,ε4)

(23)

显然，参数群{M,A,B,C}可以看做是在{0,a,b,c}附近的ε1,ε2,ε3,ε4扰动，这种按照式(23)扰动方式的扰动使得式(22)成立。

按照这种做法，不妨设

ε1=c1πε8+o(ε9),ε2=c2πε6+o(ε7),ε3=c3πε4+o(ε5),ε4=c4πε2+o(ε3)

(24)

其中：

c1=21 076j0,c2=-7 645j0,c3=1 023j0,c4=-55j0,j0=v11|ε=0,M=0,A=a,B=b,C=c≠0。

此时，扰动系统(17)的前五阶焦点量为

v1(2π,ε)=1+c0πε10+o(ε11),v3(2π,ε)=c1πε8+o(ε9),v5(2π,ε)=c2πε6+o(ε7),v7(2π,ε)=c3πε4+o(ε5),v9(2π,ε)=c4πε2+o(ε3),v11(2π,ε)=v11|ε=0+o(ε),

(25)

根据上式，可得到系统(17)原点的Poincaré后继函数为

d(εh)=r(2π,εh)-εh=(v1(2π,ε)-1)εh+v2(2π,ε)(εh)2+v3(2π,ε)· (εh)3+…v11(2π,ε)(εh)11+…=πε11h[g(h)+εhG(h,ε)]。

其中：

g(h)=c0+c1h2+c2h4+c3h6+c4h8+j0h10=j0(h2-1)(h2-4) (h2-9)(h2-16)(h2-25)，