“运算律”单元教学的思考与实践

文|牛献礼（特级教师）王俊燕 张雅昕 陈加会

计算是小学数学的基础性内容，计算教学的主要目标是培养学生的运算能力、推理意识、模型意识等数学核心素养。“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力”（《数学课程标准（2011年版）》）。运算能力的结构主要包括基本口算、算理理解、算法掌握、算律运用等四个方面。算法的基础是算理，会使用算法是一种技能，但只是一种工具性理解（即知道“应该怎么做这件事”），而明白其中的算理才能达到关系性理解（即明白“为什么应当这么做”）。运算律源于算法的灵活运用，是对算法的“熟能生巧”，也就是算法的“窍门”。因此，在计算教学中，应当在算理理解的基础上构建算法，在熟练运用算法的基础上掌握运算律，寻求合理简洁的运算途径解决问题，三者相辅相成，不可偏废。

学生需要在小学阶段学习加法的交换律、结合律以及乘法的交换律、结合律和分配律这五个运算律。在实际教学中，这几个看似简单的运算律，却让教师们异常“头疼”。学生在学习了乘法分配律之后更是错误百出，原本是减轻计算负担的运算律为何却成为学生的学习负担？分析学生的错题，我们发现学生应用运算律感到困难，主要有两个原因：一是对于运算律的结构特征认识模糊；二是对于运算律的数据特征缺乏关注。为此，笔者认为，运算律的教学要根据课程内容的主线整体把握教学内容，要结合具体的运算律内容，将每节课的知识置于整体的知识体系中，建构起“运算律”主题统整下脉络清晰、条理分明、相互联系的数学知识体系，让学生感受数学运算律的整体性，在对比中深刻理解运算律的结构特征和数据特征。

一、立足算法，突出算法与运算律的联系

纵览各个版本的现行教材，“运算定律”单元的编排一般是：解决现实情境中的问题——个例分析——发现规律——验证规律——概括规律——运用规律。这种编排是把运算律作为一个独立于算法的规律，突出了“探究规律”的过程，相应淡化了算法与运算律之间的联系。事实上，运算律是计算本身发展的必然需要，是基本运算在算法执行中产生的简约规则。为此，笔者认为，运算律的教学需要在运算意义的支持下基于算法去建立认知，在与算法的沟通联系中逐步建立对运算律的认知，而不是仅仅从情境出发，只关注运算律的外在形式。

比如，笔者将“加法结合律”与“乘法结合律”两个内容整合为“结合律”一课，课始，先进行计算比赛。

比一比谁算得又对又快？

1.19+24+6。

2.39+115+85。

3.45+127+173。

由计算情境引入，学生的思维与已有的加法意义的学习经验被激活且都指向运算方法。“又对又快”的挑战让学生主动去观察算式的结构特征和数据特征并调取运算意义知识，尝试对算式进行处理而达到这一要求。实际教学中绝大多数学生都是按“先把后两个数相加凑整”的方法计算的，产生了19+24+6=19+（24+6）这样的新形态算式，这就是加法结合律的模型，说明学生已经在“不自觉”地运用加法结合律了。

接着，组织学生讨论：“我们能改变运算顺序先算后两个数的和吗？这样做的道理是什么？”引导学生基于加法的意义去解读算法：“三个数相加，就是把它们合并起来，只要这三个数不变，先加谁、后加谁都没有关系。所以，可以先把后两个能凑整的数相加，再加第一个数，和不变。”这样的运算律教学有运算意义作支撑，将运算律与算法有机结合，更好地触发学生主动应用运算律简便计算的意识，增强了对运算律的意义感知。

再如，乘法分配律的教学，同样将算法的应用与运算律有机结合，由计算比赛引入新课。

出示：看谁算得又对又快。

1.7×9+3×9。

2.14×6+6×6。

3.78×14+22×14。

“又对又快”的挑战自然地催生了“7×9+3×9=10×9”这样的新形态算式，也自然产生了新的问题：“为什么可以这样变化？”，课堂顺利进入基于乘法意义去解读算法的思考中。同时，及时触发学生原有经验，如实际情境、面积模型等方法，让学生借助实际情境和几何直观来验证这种变换的合理性。归纳推理（发现）与演绎推理（验证）的紧密结合，促成了学生对乘法分配律的深刻理解，使学生的思维由表及里、不断深入。

二、结构入手，突出运算律的结构特征

在“运算律”的教学中，教师和学生的目光一般都聚焦在数据上，教师从数据入手教学，学生从数据特征发现规律。对数据的片面关注使得学生在一开始接触运算律的时候就缺乏研究算式结构的意识。对算式的结构特征认识模糊，导致运算律的认识难以清晰，无法构建运算律的模型。从注意力的角度看，结构相比数据，较为隐蔽，不容易引起学生的重视。因此，就需要教师有意识地引导，并以此入手，将学生的视线引向对算式结构的观察，深刻理解算式结构的“内在本质”。

以“乘法分配律”为例，乘法分配律沟通了乘法与加减法的联系，是一种重要的数学模型，也是学生最难理解和掌握的运算律。教学中的主要问题是不少学生始终弄不明白乘法分配律为什么会有这种形式上的变化，还有些学生虽然在初学时会机械地模仿，但很快就遗忘了，更谈不上自觉、灵活地运用……笔者分析，其中的重要原因是教师在教学时，只重视引导学生对规律的“外形”进行研究，忽视了对规律“内在”的本质进行探究；只是借助不完全归纳法“发现”它“是什么”，至于“为什么”却悬而未决。导致学生对乘法分配律的意义和结构特征体验得不够，领悟得不深。乘法分配律的实质是“c组（a+b）分成c个a加c个b”和“c个a加c个b配成c组（a+b）”，要让学生充分感知和深入理解，必须始终抓住内在不变的“理”来理解外在变化的“形”。

教学中，当揭示“乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c”之后，组织学生联系前面出现的几道算式展开讨论：这几道算式有什么共同特点？

通过师生交流，归纳出乘法分配律的结构特征和数据特征。

结构特征：乘加乘a×b+c×b。

数据特征：1.有一个相同因数b。

2.a和c这两个数可以“凑整”。

当满足这两个特征时，就可以“先加后乘”。这样就把应用乘法分配律的前提条件明确了。

三、注重说理，给找到的规律寻找可以解释的依据

运算律的教学不能局限于“规律的发现和检验”，而应注重科学探究方法的指导，促成学生由原先对于相关规律的不自觉认识转向更为自觉的状态。

一方面，鼓励学生采用不完全归纳法去“举例验证”，通过多个算式发现存在的共同规律，并学会用自己的语言清楚地表述规律，包括以数学式子进行个性化表征。需要注意的是，“举例验证”绝不是简单地让学生随意地举几个例子。教学中，既要注重引导学生正确地举例，即举的例子要符合运算律的结构特征，又要强调结论的得出必须通过列举大量的例子，只有找不到反例，才能进行归纳，获得结论。当举例验证不能穷尽所有的例子时，引导学生不仅仅关注例子的“量”的增加，还应注意所举例子的典型性和代表性，适时渗透“分类举例验证”的思想，指导学生经历科学的验证过程，使学生举例验证的过程更符合数学思维的要求，也为今后探索运算定律在小数、分数范畴内是否成立留下思考的空间。

另一方面，引导学生通过演绎推理、数形结合、实际情境等进行“说理”，给发现的规律寻找可以解释的依据，促进学生理性思维的发展。在学生初步发现“规律”后，可以设计这样的问题引发学生的进一步思考：“这样的现象是巧合，还是客观存在的规律？你能想办法解释这样的现象吗？”……从表面上看，这一环节似乎不影响学生对规律的掌握。但笔者认为，这绝非是可有可无的教学设计。给规律科学合理的解释，是研究所应持的严谨态度，也是让学生感受有理有据思考问题的契机，对培养学生的理性精神、创新意识和科学严谨的学习态度大有裨益。同时，这一环节，也是帮助学生理解规律的重要举措，是对“不完全归纳法”的一种必要补充。

比如，在加法交换律中，“两个加数的位置发生变化，和不变”这一规律，可以用加法的意义去揭示。出示下图：左边有3根小棒，右边有5根小棒，先从左边往右边数，是3+5=8；再从右边往左边数，是5+3=8，两个数的位置发生变化，但算式表示的依然是把两个数合并起来，所以3+5=5+3。

乘法交换律（如下图）：横着数，每行5个方格，有3行，总数是5×3=15；竖着数，每列3个方格，有5列，总数是3×5=15，二者是相等的，所以5×3=3×5，从而理解乘法交换律。

乘法结合律是三个数连乘，相对复杂，可以结合连乘的实际问题来理解。例如，文具店卖了5盒铅笔，每盒装12支，每支8元。一共卖了多少钱？此题可以有两种解答方法：一是先求出每盒卖了多少钱，再求5盒一共卖了多少钱，列式为8×12×5；二是先求出5盒一共有多少支铅笔，再求出这些铅笔一共卖了多少钱，列式为8×（12×5）。两种方法答案相同，这样就体现了乘法结合律。

乘法对加法的分配律，除了用乘法的意义或者现实情境来解释之外，还可以引导学生用已学过的加法交换律和结合律进行演绎推理，或者借助几何直观来帮助理解乘法分配律的结构特征。感悟从未知到已知的转化，培养学生初步的逻辑推理能力。

四、注重迁移，用联系的观点看待具体运算律的学习

数学课程中的知识、技能、方法等都是有内在联系的，并总是相互作用、彼此影响的。教师要根据课程内容的主线整体把握教学内容，注重数学知识的系统性。引导学生在数学原理、概念之间组织起有效的认知结构，感受数学的整体性，使学生形成简化的、本质的、对未来学习更有支持意义、内在逻辑性较强的数学基础知识结构，学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯。

比如，加法交换律是第一个学习的运算律，加法交换律的探究方法是研究其他运算律的支撑，是学生形成模型意识类比迁移、拓展应用的关键。为此，加法交换律的教学从一开始就应确定研究问题的视角，将学生的注意力引向以下研究方向：从众多例子中发现规律，找反例或者生活中的事例去验证规律，用自己个性化的方法表述规律，思考能否推广到其他运算中等，并适时引导学生回顾反思、共同归纳、总结研究方法，形成方法结构。一旦这些共识形成以后，剩余的工作就十分简单了，只需要让学生借助经验展开数学的想象，就能够迁移到后续更多运算律的学习当中去了。

下面是“加法交换律”的一个教学片断。

师：今天学习了“加法交换律”，你还能提出什么猜想吗？

生：有没有减法交换律、乘法交换律、除法交换律？

（学生独立思考、举例验证后，全班交流）

生：减法和除法里没有交换律，比如5－3不能写成3－5，2÷1不能写成1÷2。（板书：5－3≠3－5，2÷1≠1÷2）

生：乘法里有交换律。比如1×2=2×1、5×10=10×5……

生：还可以画图验证。（在实物投影上展示下图）

师：你能仿照加法交换律的文字表述，总结一下乘法交换律吗？

生：交换两个因数的位置，积不变，这叫做乘法交换律。

师：怎样用字母形式表示乘法交换律？

生：a×b=b×a。

……

上述教学中，借助前面加法交换律的建模经验，引导学生经历类比迁移的过程，学生触类旁通，推理出乘法也有交换律，但减法和除法没有；再引导学生通过举例子、画图等方法验证自己的猜想，促进了学生推理意识与创新意识的发展。这节课学习积累的研究问题的方法和数学活动经验对后续运算律的学习具有示范和借鉴意义。

再如，教学乘法分配律，在引导学生由“（a+b）×c=a×c+b×c”猜想到“（a－b）×c=a×c-b×c”后，适时启发学生：“这样的猜想究竟对不对？你能用刚才我们研究乘法分配律的方法，尝试着自己来研究吗？”让学生把学到的研究方法自觉进行迁移应用，促进学生学会学习。

五、精确分化，理清运算律之间的区别

学生在学习了乘法结合律、乘法分配律后，经常会出现这类错误：（25+7）×4=25×4×7，（125×7）×8=125×8×7×8，这是将乘法结合律与分配律混淆的表现，而导致这种现象的最主要原因是学习材料的相似性。那么，怎么针对性地解决问题呢？

我们不妨整体观察五条运算定律——

加法交换律：a+b=b+a

加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）

乘法交换律：a×b=b×a

乘法结合律：（a×b）×c=a×（b×c）

乘法分配律：（a+b）×c=a×c+b×c

从几个运算律的结构特征看，区别十分明显：先学的四条运算律，都只针对一种运算，只有最后学的分配律涉及两种运算。乘法分配律沟通了乘法与加法的联系，所以又叫做乘法对加法的分配律。

综上可见，导致上述常见错误的主要教学原因是：运算定律的教学，没有实现易混知识的精确分化，学生不知道乘法分配律与其他运算定律在结构上的本质区别。而在简便运算教学时，审题习惯的培养上也存在偏差，过分强调观察算式的数据特点而忽视观察算式的结构特点。事实上，只有看清了算式是何种运算，数据特点才有意义。

因此，在教学乘法分配律时，对五个运算律的结构进行一次整体的梳理和辨别，帮助学生建立清晰的认知是很有必要的。不仅便于学生感悟运算律之间的内在联系与区别，而且有利于学生对运算定律有一个比较完整的认识，从而构建起系统的知识结构。

以下是笔者的一个教学片断。

师：仔细观察，乘法分配律与以前学过的几个运算定律比较，有什么不同点？

生：我发现其他运算律的等号两边的数都一样多，而乘法分配律等号左边是3个数，右边却是4个数。

师：还真是这样！那同学们知道为什么乘法分配律等号左右两边的数不一样多吗？

生：我发现了！乘法分配律里的“c”乘了2次，一次与a相乘，一次与b相乘，a×c、b×c，有两个c，所以等号右边就是4个数了。

生：我还发现加法交换律和加法结合律里只有加法运算，乘法交换律和结合律里只有乘法运算，它们都是只有一种运算，但是乘法分配律里却有乘法和加法两种运算。

师：真棒！包含乘法和加法两种运算是乘法分配律的一个重要特征！所以乘法分配律又叫做乘法对加法的分配律。

……