数形结合 构建模型——《归一问题》教学思考与实践

文|於方婷

《归一问题》是浙教版三年级上册的内容，是在学生学习了“每份数”“份数”“总数”三者之间关系的基础上进行教学的。这一内容从直观的天平图着手，让学生经历从直观图示中抽象出数量关系的过程，在不同情境中概括出共同的模型，初步感知归一问题的解决方法。

【教学过程】

一、借助天平直观，初步感知归一问题的基本结构

1.求包裹a有多重。

师：我们今天的学习从简单的天平开始。

师：每个小正方体一样重，包裹a有多重？

生：包裹a和三个小正方体一样重。

师：你能补充一个条件，帮助我们求出包裹a具体有多重吗？

生：如果知道一个小正方体有多重，就能求出包裹a具体有多重了。

师：那如果我补充的条件是这样的——你也能解答吗？（如下图）

生：160÷2×3=240g。

师：你是怎么想的？

生：两个小正方体是160g，所以一个小正方体是160÷2=80g，包裹a相当于三个小正方体的质量，再乘以3就可以了。

生：也可以从下面的天平图开始想，包裹a和三个小正方体一样重，要先知道一个小正方体有多重，再根据上面的天平图可以求出一个小正方体的质量是160÷2=80g，乘以3求出三个小正方体的质量，就是包裹a的质量。

师：刚才这两种想法都是要先算什么？

生：都是先求出一个小正方体有多重。

师：哪个算式是先求一个小正方体有多重的？

生：160÷2。

【设计意图：在简单的天平图的引导下，通过“包裹a有多重？”“要求包裹a具体有多重，需要补充什么条件？”这两个问题，让学生明确要求包裹a具体有多重，需要知道一个小正方体表示多少，再乘以小正方体的个数就可以了。】

2.求包裹b有多重。

师：下面图中的每个小正方体也是一样重的，你知道包裹b有多重吗？

生：400÷5×4=320g。

师：你是怎么想的？

生：400÷5先求出一个小正方体的质量，再乘以4，求出四个小正方体的质量。

师：他先算什么？

生：一个小正方体有多重。

师：哪个算式是先求一个小正方体有多重的？

生：400÷5。

师：为什么要乘以4？

生：因为包裹b是四个小正方体那么重。

3.比较解题思路。

师：观察这两题的解题思路，它们有什么相同的地方？

生：都是先求出一个小正方体的质量，（板书）再求这样的几个小正方体的质量。

【设计意图：在直观图示的导引下，结合具体的解题经历，学生充分体会到，解决这两道题时，都是先解决“一个小正方体多重”的问题。通过对比归纳，突出“一个小正方体多重”这个“一份数”，初步感知归一问题的基本结构。】

二、利用图形直观，构建归一问题的模型

1.出示方格图。

师：要求下面整个图形表示多少，你能解决吗？

生：这题没有办法做，没有条件。

师：你觉得需要补充什么条件？

生：一个小正方形表示多少?

生：告诉我们涂色部分是多少也可以。

生：空白部分表示多少？

课件出示完整题目：涂色部分是150。求整个图形表示多少？

2.学生独立尝试。

3.指名汇报。

【设计意图：直接出示图片，引导学生补充条件，从直接想知道“一个正方形表示多少”逐步拓展到“涂色部分表示多少”“空白部分表示多少”，表明学生认识到可以从已知“一”扩展到主动来“归一”，虽然补充的条件不同，但都需要先求出每个正方形是多少，凸显出“一”的重要性和必要性。】

4.比较三个例题的解题思路。

数学信息2个重160g5个重400g5个表示150问题包裹a（3个多重）包裹b（4个多重）整个图形（18个表示多少）列式160÷2×3=240g400÷5×4=320g150÷5×18=540images/BZ_17_1525_349_1568_391.pngimages/BZ_17_1792_349_1835_391.pngimages/BZ_17_1545_480_1587_522.pngimages/BZ_17_1815_480_1857_522.pngimages/BZ_17_2064_352_2106_394.pngimages/BZ_17_2071_481_2112_523.png

师：仔细观察我们解决的这三道题目。你有什么发现吗？

生：都要先求出其中的一份是多少。

师：求出其中一份之后呢？

生：有这样的几份就乘以几，再乘以所求的份数。

小结：通过除法，我们求出一份是多少，再乘以份数，就能求出总数。

5.构建归一问题的模型Ⅰ。

师：那你能用一个算式来表示其中这种关系吗？

生：□÷△×○。

师：谁能看明白？

生：□÷△就相当于例1中的“160÷2”，求的是一个小正方体的重量，○指的是三个。

生：□÷△指的是总数除以份数，求的是其中的一份，○指新要求的份数。

小结：像这样先求其中一份是多少的，我们称为归一问题，可以用“□÷△×○”的运算结构来解决。

【设计意图：表格归纳，沟通天平图和几何直观图之间的联系，突出“归一”的思想，构建解决正归一问题的模型，并用图形算式□÷△×○表征模型。】

6.构建归一问题的模型Ⅱ。

师：回到格子图，如果要表示210，要画几个格子？

生：210÷（150÷5）=7（个）。

师：你是怎么想的？

生1：150÷5先求出一个小正方形表示30，再用210除以30，求出需要画7个格子。

师：第一步也是先求什么？

生2：先求一个小正方形表示多少。

生3：也可以说先求出其中一份是多少。

师：为什么现在要210除以这样一份的量？

生4：因为要画几个格子，就是要求210里面有几个30，所以要用210÷30。

师：那它是归一问题吗？

生5：我觉得它不是归一问题，前面的归一问题是先求出其中一份的量，再乘以份数，求总数，而这一题并不是。

生6：我觉得它是归一问题。归一的意思是要先求其中的一份，它也是先求出其中一份的量，所以它也是归一问题，只是它和前面的不一样，前面的是已知份数，求总数；现在是已知总数，求份数。

师：我同意生6的意见。这个题目也是先求出其中的一份是多少，所以它也是归一问题。它可以用□÷△×○这样的结构来表示吗？

生：不能。

师：那可以怎样修改？

生7：☆÷（□÷△）。

小结：归一问题可以用□÷△×○或者☆÷（□÷△）两种图形算式来解决，它们都是先求出其中的一份，第Ⅰ种结构是已知份数求总数，第Ⅱ种结构是已知总数求份数。

【设计意图：在学生初步建立正归一的直观模型基础上，通过几何直观提出反归一的问题，在正反归一问题的比较中，进一步突出归一的基本特征，并且构建反归一问题的模型，用图形算式☆÷（□÷△）来表示。】

三、结合生活情境，沟通图形、具体数量之间的关系

1.寻找生活中的归一问题。

师：我们已经解决了图形中的归一问题，其实在我们的生活中也有许多归一问题。

要求：独立列式计算。完成后思考：这是归一问题吗？请说说你的理由。

（1）下图的杯子内已注入600毫升水，还要注入多少毫升水才能到达顶格？

（2）做蛋糕时放面粉和鸡蛋是有讲究的。一般来说，4个鸡蛋搭配100克面粉口感最好，按照这样的配方，500克面粉应搭配多少个鸡蛋？

2.学生完成后，分小组交流。

师：同学们基本已经完成，现在请四人小组内部讨论一下，每人选一题说一说你所列算式的意思，并且说一说它是归一问题吗？为什么？

3.集体交流第（1）题。

生：600÷5×3=360（毫升），600÷5先求出一小格是120毫升，再求出三格是360毫升。这里先求出其中一格是120毫升，所以这是归一问题。

4.集体交流第（2）题。

方法一：500÷（100÷4）=20（个）。

方法二：500÷100×4=20（个）。

小结：方法一是用归一的思路解决的，先求出其中的1个鸡蛋需要搭配25克面粉；方法二是把100克看成一份，500里有几个100就需要几个4，也是好办法。

【设计意图：解决同一问题有不同的方法，可以用反归一或倍比方法求解。在对比反归一和倍比方法时，学生能深化“一份数”的认识，这是对归一内涵的拓展。】

四、课堂小结

师：今天我们学习了什么？

生：我们今天学习了归一问题，可以用□÷△×○或者☆÷（□÷△）两种图形算式来解决。

师：那你能自己编一编题目吗？可以是用□÷△×○这样的结构解决，也可以是用☆÷（□÷△）这样的结构解决的。

生：我有320元，2个皮球需要160元，我可以买几个这样的皮球？

生：李师傅2小时能加工60个零件，8小时能加工多少个零件？

【设计意图：放手让学生自主编写归一问题，在对基本的数学模型进行各种情境变式的过程中，进一步把握基本结构，感受数学的特点和价值。】