基于题组模块，设计挑战性学习任务

程娅

[摘  要] 挑战性学习任务能以多维互动的教学方式，将再现式教学转变为探究式学习，使学生处于积极的学习状态。文章以一道习题为例，探究如何基于题组模块设计挑战性学习任务，实现碎片化学习到结构化学习的跃升。

[关键词] 题组模块;挑战性学习任务;举一反三

苏教版教材五年级下册《解决问题的策略》教学中有一道题目：

+ + +

大多数教师都是沿用先通分后画图的教学路线，向学生展示“数形结合”的神奇，让学生感知以形补数、算法拙而画法巧的解题思路。可是怎么会想到要用画图法呢？即使画图，为什么是画正方形图而不画线段图呢？

创设适度挑战性的数学问题情境，引导学生经历或重走数学发生、发展过程中的那些“关键步子”，借助“在题型结构、解题方法或数学思想上基于同一数学模式的一组题构成的训练模块——题组模块”，教师能有结构地教，学生也能有关联地学，最终指向对数学模式的感知、理解与建构。基于此，笔者对习题教学进行了反思与重构。

学习任务一——破唯一，从封闭单一走向开放多元

师出示题目：

+ + +

师：课前我们分组研究了用不同的方法来解决这道题，谁来跟大家分享一下你的做法？

生1：我是用通分的方法直接做的， + + + = = 。

生2：数学书上介绍了这种方法

生3：我画了分数条来表示单位“1”

生4：我们以前学过分数条，知道 里有两个 ， 里有两个 ， 里有……，所以可以知道最后的结果只剩下一个。所以我又想到还可以给算式加一个 ，要使结果不变，还应再减一个 ，像这样：

+ + + + - = + + + - = + + - =1- =

生5：可以从简单的想起，所以我“列表（如下表）”发现了，像这样有规律的数的加法，加到几分之一，分母就是几，分子比分母少1。

反思：德国数学家摩根曾说：“几何推理和算数运算各有其不同的功能和特点”。教师如果仅仅简单地引导学生采取画图的方法，分析涂色部分的面积特点来解决问题，那么学生的思维会出现障碍：“一定要用画图的方法才能转化吗？”“通分明明更简单啊！”相反地，放手鼓励学生算法、画法多样化，既开拓了思维，又尊重了学生的个性差异，这样的做法值得推崇。

相较于以往教师直接告知数形结合的做法，大胆地放手让學生自主尝试，学生的创造性思维得到了充分的体现，在这里学生分别发现了五种方法：（1）直接通分，（2）画正方形图，（3）画分数条，（4）分析数量特点巧解，（5）列表找规律。数形结合百般好，但解题时往往由形到数很自然，由数到形难愤悱。此处教师设计挑战性的学习任务，打破唯一，学生创造性地用不同的数与形的方法来解决了问题，为学生思维的发展开拓了更大的空间。同时，五种方法呈现得有层次、有梯度，直接通分是学生思维的自然流淌，画图和列表是学生经验带来的启示，尝试用不同的图形表征题意、分析表格中算式的“同构关系”，都让隐性的解题方法显性化，成为学生通向数学理解的第一个阶梯。

学习任务二——求变式，从机械训练到灵活拓展

师：对例题做适当变化，并和同伴一起研究解决的方法。

（生1展示： + + + +…+ 。）

生1：我们研究了一下，这个题目虽然加数比较多，但是和我们原来的题目很有关联，加到几，就用1减几就可以了。

生2：结合图1或图2，加数加到 ，那么最后的得数就应该用1- 。

（生3展示：1- - - - 。）

生3：大家看图1，做加法看涂色部分，做减法就看空白部分了。

生4：结合图2看空白部分也很简单呀！

生5：我补充一下，利用例题的结论转化也很好——

1- - - - =1- + + + =1-1- =1-1+ =

生6：还可以结合数量分析，像这样（图3）按顺序计算，每一个数都是前面一个的一半，减去前面的一半，刚好也剩一半，也就是 。

师：是的，你们创造了多美的一个算式呀！

反思：《国语·郑语》有云：声一无听，色一无闻， 味一无果，物一无讲。意思是：单一的声音不成曲调;单一的颜色不成其作品;单一的食品不成其美食;单一的事物无从比较。单一的习题无从比较，如果就前面一道题就总结解题方法，学生的感性积淀就显得“薄”，而教师设计“变题目”的学习任务，能让学生在题组中通过变式熟悉解题方法，实现一类题目的“举三反一”。

此处，教师设计这样初具挑战性的学习任务，从机械训练到灵活拓展，学生的“变一变”出现了两个层次：（1）数量的变化：生1变化的题目很有代表性，引导学生实现了从小数量到大数量问题的迁移。（2）运算符号的变化：生3改变了运算的符号，一石激起千层浪，解决问题的方法也是形式多样。生3、生4的方法引入数形结合的思想，直观地从图上解决了这个问题;生5利用运算律，通过符号的变化，把未知的转化为已知的，利用前面一个环节的结果，快速地解决了这个问题;生6尝试探究运算中数量之间的关系，寻找解决题目的根，这样的做法使儿童思维的发展从点状、线状逐渐向结构化发展，实现思维的提升和飞跃。

学习任务三——思本质，从知识技巧到原理模型

师：刚才同学们还创造了许多算式，老师把它们整理成了如下三类，请每个小组选择其中一类课后共同研究一下解决方法，下次一起交流：

（1） + + + ; + + + ; + + +

（2） + + + ; + + +

（3） + + + ; + + + +…

第一类

生1：我们小组研究的是第一类， + + + + - =1- = 。

也可以画图（图4）来解决。

生2： + + + 可以凑项+ - ，所以这题=1- = 。

也可以画图（图5）来解决，不过我是用一个三角形来表示“单位1”。

生3： + + + = + + + + - = 。

也可以用图（图6）来动态展示，不过我觉得分母是10，用正方形表示“单位1”比较合理：

生4：我发现它们分子都一样，分母都有倍数关系，并且，它们的和越来越接近1。

第二类

生1：第二类我都尝试画了图，这两个图说明 + + + 的结果是越来越接近 ，所以计算的最终结果应该是 - = ;同样的， + + + = - = 。

师：为什么把这些题目归为一类？

生2：和越来越接近的不是1，而是第一个加数的2倍。

第三类

生1：第三类题目最困难。我们也画图了，和总比第一个加数大一点，可到底接近几，不明显。

师：没有解决？那和第二类题目比较一下，有什么发现？

生2：如果我们的分母也是2就好了。

生3：我想到了——（急切地），我們可以把所有的分子都变成2，再在整个式子前× 。那样我们只要用前面的结果 × = 。这样就算出来了。

师：是的，碰到没有学过的问题，我们要善于从已经学过的问题中寻求辅助，这样我们就轻松地把没有学过的转化成已经学过的了。那后面那道题，应该也会了吧？自己独立尝试解决……

反思：当一个问题出现时，我们应当能够及时地看一下，是否首先去考查某些别的问题会带来好处。教师不仅应该在教学中善于回顾利用已有的教学资源，深挖其中隐含的数学意义，更要引导学生学会反思：出现新的问题的时候，我们应当考虑看前面的结论是否能为我们所用。理想的教学决不应该止步于简单地解决问题。现代的数学教学应致力于：鼓励学生寻求解法，而不是记住步骤;探索模式，而不是模仿题型;形成猜想，而非机械练习……鼓励学生用学到的知识去修正和改造原有的观念和想法。因此，作为教师，我们还可以鼓励学生创造，思维才会更开阔。

这一题组模块，通过逐层递进的三类题目思考的分享和交流，原本千头万绪、看似零散的题目逐渐呈现出相似的结构特征：等比数列的和。这种结构上的相似与联系，便构成了一个题组模块。正是基于这个题组模块所呈现的共同特征，学生能够模仿着前两个题组的结构特征，呈现出极富创造力的多样个性表达，潜移默化中让学生实现“举一反三、触类旁通”。

基于题组模块，轻松地把极度复杂、陌生的问题转化成了简单、熟悉的问题。像这些在高中才学习的等比数列求和的问题也可以轻而易举地转化为小学生也能解决的问题，何不美哉？这样设计综合型的挑战学习任务，实现了从单一训练到综合运用的跨越，何不乐哉？