基于学生认知规律的高中数学建模初探

徐东辉

[摘  要] 在高中数学教学的传统中，数学建模一直有着重要的地位. 在数学学科核心素养的六个要素当中，数学建模所起的作用既有承上又有启下，且具有高度的概括性. 从认知角度看数学建模而言，有着非常重要的启发，从数学建模策略的角度来看，笔者以为应当有这样两点认识：第一，数学建模要考虑学生的认知表征;第二，学生数学建模过程中会运用到模型猜想、模型建构、模型运用、学习反思等等，因此相应的数学建模策略就有模型假设策略、模型建构策略、模型自我监控策略等等. 在数学建模的过程当中，教师除了要积累经验性认识之外，更应当从学生认知规律的把握与运用角度去引导学生进行高效的数学建模.

[关键词] 高中数学;数学建模;认知规律

随着最新修订的《普通高中数学课程标准》的颁布，以数学学科核心素养为关键词的、对数学课程的理解与认识，越来越凸显出对数学建模的重视. 之所以在这里特别强调数学建模，是因为在高中数学教学的传统中，数学建模一直有着重要的地位，当数学建模成为数学学科核心素养六个要素之一时，不仅意味着在高中数学课程当中，已然继承了高中数学教学中对数学建模的传统性认识，同时也意味着数学建模面临着新的教学需要——在数学学科核心素养的六个要素当中，数学建模所起的作用既有承上又有启下，且具有高度的概括性，一个数学模型的建立过程，往往既用到数学抽象，又用到逻辑推理;既涉及学生的几何直观，也有可能涉及数学运算与数据分析. 认识到这一点，就能够认识到数学建模在数学学科知识体系当中的地位. 然而一个不容乐观的实际情况是，十年来的实践表明，高中数学建模教学效果并不令人满意，究其重要原因之一在于，缺乏基于学生认知规律的高中数学建模教学理论指导. 这是一个值得高度重视的问题，只有真正立足于学生的认知规律，去培养学生的数学建模素养，才能为数学学科核心素养的落地奠定基础.

数学建模的认知基础

应当说数学建模是需要学生的认知基础的，从宏观的角度来看，学生的学习过程是受认知规律支配的，数学建模作为一个思维含量极高的学习过程，自然也是受认知规律来支配的. 只是认识到这一点，还不足以寻找到数学建模的认知基础. 有研究者基于科学研究方法的选择，通过对比研究的方法，选择专家被试与新手被试作为比较的对象进行研究. 研究的结果表明，学生在数学建模的过程中，问题表征、策略运用、思路特点、建模结果及解题效率等方面存在显著差异. 这种差异对于从认知角度看数学建模而言，有着非常重要的启发，从数学建模策略的角度来看，笔者以为应当有这样两点认识：

第一，数学建模要考虑学生的认知表征. 数学知识有隐性与显性之分，学生在学习过程中的认知过程，更多的则是隐性的，但这并不意味着学生的认知过程不好把握，恰恰相反，大量的研究表明，数学建模过程中的认知表征有符号表征、方法表征和机理表征三种方式. 符号表征指向学生的形象思维，更多的是用文字、图形、圖表等等描述学生的模型建立过程，而机理表征指向学生的抽象思维，强调在数学建模过程中对数学建模原理的把握，方法表征介于两者之间. 当学生用方法表征来体现数学建模过程时，往往会同时运用到形象思维与抽象思维. 如此将思维形式与表征形式结合在一起，也就实现了从内到外对数学建模过程中认知方式的理解.

第二，学生数学建模过程中会运用到模型猜想、模型建构、模型运用、学习反思等等，因此相应的数学建模策略就有模型假设策略、模型建构策略、模型自我监控策略等等. 这些策略都是相对于学生的数学建模过程而提出的，比如模型假设策略，就是考虑到学生在面对现实事物或者现实问题时，他们会通过数学抽象去寻找其中的数学元素，然后猜想可能的数学模型. 此时在学生的认知当中猜想是必然存在的，也正因为有了猜想，学生才有了建构数学模型的动力，在数学建模的过程当中，学生所猜想的模型可能存在一些缺陷，因此需要通过自我监控来进一步优化模型.

由以上两点可以发现，学生的数学建模过程中，确实有着丰富的认知参与，而基于对学生认知规律的把握，去培养数学建模素养，也应当成为高中数学教师的必然选择.

基于认知规律的数学建模教学

上面提到数学建模过程中的表征方式，在高中数学教学中面向学优生与一般学生，然后进行比较研究，结果发现，在数学建模问题表征的方式、广度和方法方面，一般学生都习惯于采用符号表征和方法表征这两种方式，但优生更多地采用机理表征方式，这就意味着不同学生的思维方式，在数学建模的过程当中表现是有差异的. 进一步比较研究才发现，优生倾向于进行多元表征，一般生倾向于进行单一表征;优生倾向于运用循环表征方法，一般生倾向于运用单向表征方法. 这一研究结果告诉我们，在数学建模的过程当中，优生的思维角度是比较广的，而一般学生的思维则相对比较狭窄. 同时优秀学生与一般学生在数学建模策略运用方面也有区别，前者一般习惯于运用平衡性假设的策略，而后者习惯于运用精确性假设策略，这是一个非常值得研究的现象. 笔者判断优秀学生与一般学生在数学建模过程中表现出来的学习信心是不同的，一般学生迫切地想寻找到准确的方向，而优秀学生则相信即使方向模糊，依然能够完成数学模型的建立. 在自我监控策略的运用上，研究也表明优秀学生能够运用即时监控策略，而一般生则更多地运用回顾监控策略;优生倾向于运用理论推演检验策略和直觉判断检验策略，一般生倾向于运用数据检验策略;优生倾向于运用假设调整策略和建模方法调整策略，一般生倾向于运用模型求解调整策略. 从这些认识出发，在具体的教学实践中，教师设计数学建模的思路也就会更加清晰.

例如，“对数函数”这一概念的教学，笔者就在开门见山提出问题的基础上，立足于让学生通过自身的认知能力，去自主建构起对数函数这一模型. 具体的设计包括问题情境的创设与问题的提出：如果我国的人口基数是13亿，且人口增长率是1%，就可以根据y=13×1.01 算出任意一年的人口总数;那么反过来能否根据某一年的人口总数，比如说是18亿或者20亿，去判断需要多少年呢？

显然这既是一个实际问题，又是一个数学问题，学生在面对这个问题的时候，能够顺利地经过逻辑推理，判断出这是一个已知y值要求出x值的问题. 既然x处于指数位置，那么逆过来之后，就变成一个对数问题. 这样的逻辑推理对于学生而言并不具有很大的难度，因此这里可以让学生自主探究，自主运用数学语言去描述. 实际教学表明，超过一半以上的学生都能够在原先的数学知识基础之上，总结得出对数函数的基本表述，而大多数学生也能够写出y=logax这一表达式，至于对数函数的具体表述及定义域与值域，只可以在后续的研究过程当中逐步完善.

从认知发展的角度来看，这样一个数学建模的过程当中，学生从对数学文字信息的加工，到后来借助于文字信息去描述对数函数，包括再后面的借助于函数图像去丰富对对数函数性质的理解，实际上都是一个抽象思维与形象思维结合的过程，这也就呼应着上面提到的机理表征;同样在这一过程中，学生建立对数模型的过程，也有一个猜想、验证及自我监控的过程，这在客观上说明上述数学建模策略是有效的.

基于认知规律的数学建模教学的思考

毫无疑问的一点是，为了适应数学教学改革的需求，逐步提升学生的数学文化及综合應用能力，必须加强数学建模教学. 文章开头已经提到，数学建模在高中数学及其教学中重要性一直存在，而在数学建模的过程当中，教师除了要积累经验性认识之外，更应当从学生认知规律的把握与运用角度去引导学生进行高效的数学建模.

同样可以肯定的是，数学建模过程中学生的认知规律，是可以为教师所把握的. 无论是面对相对形象的生活事例，还是面对相对抽象的数学问题，数学建模的起点，往往就是学生通过数学抽象或者逻辑推理，打开数学建模大门的过程. 在具体的数学建模过程当中，无论是优秀学生采用的模糊策略，还是一般学生所追求的精确策略，都必然存在着猜想过程. 猜想是决定数学建模方向的关键，猜想之后就是结合具体的实例进行验证，验证的过程当中学生的自我监控心理会发挥作用，这与认知心理中所强调的元认知是一脉相承的. 因此基于认知视角看数学建模，实际上就是一个认知与元认知相结合的过程，这对于高中学生而言是一个非常适宜的认知过程. 如果在数学建模的过程当中，教师能够给学生提供丰富的问题解决空间，那学生所建立起来的数学模型就可以得到巩固的机会，这样从数学模型的建立到数学模型的运用，就可以让学生的数学建模能力得到充分的生长，包括数学建模在内的数学学科核心素养落地，也就有了充分的保障.