抓知识联系 促新知形成

赵兴章　王文清

【摘 要】 本节课的教学是按照“自主学习与创新意识培养数学课堂教学模式”进行设计的，从学生上节课刚刚学过的多项式乘法法则开始，依据学生的“最近发展区”设计问题，在激发学生学习兴趣，训练学生数学思维的同时，自然而然地发现探索出了平方差公式，并培养了学生的数学能力和素养.

【关键词】 最近发展区;数学思维;平方差公式

2020年11月我校数学组举行了一次同课异构的教研活动，笔者之一在这次教研活动中上了一节观摩课，课题是人民教育出版社义务教育教科书八年级上册《数学》“14.2.1平方差公式”，本节课得到了与会专家和老师们的好评.现将其课堂实录及点评呈现给大家，敬请批评指正.

1 教学目标与重点、难点

1.1 教学目标

（1）通过具体的多项式的乘法运算，经历平方差公式的探索过程，会用多项式的乘法法则推导公式，掌握平方差公式的结构特征.

（2）理解平方差公式的符号语言、文字语言、图形语言等三种数学语言，并能进行相互转化.

（3）能运用平方差公式进行多项式的乘法运算，体会平方差公式在简化运算中所起的作用.

1.2 教学重点、难点

重点：平方差公式及运用.

难点：平方差公式的发现及文字语言描述.

2 教学过程实录

2.1 设计问题，创设情境

师：前不久，我们学习了多项式的乘法法则，请同学们回忆，并默写.

生1：多项式乘多项式，用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘.

师：多项式乘多项式先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq.

问题1.计算下列多项式的积：（投出问题1）

（1）（x+2）（y-1）; （2）（y+1）（y-3）;

（3）（y+1）（y-1）;

（4）（m+3）（m-3）;

（5）（2n+1）（2n-1）.

（学生们独立计算，然后主动回答，或提问，教师板书计算过程.）

师：同学们，这五道题目的最后结果有的是四项，有的是三项，有的是二项，你觉得哪种情况有研究价值和意义，为什么？

生2：结果是两项的这种特殊的多项式相乘有研究价值和意义.因为若把它作为公式，当遇到相同形式的多项式相乘时，就可以直接运用公式写出结果，从而简化运算.

点评 多项式的乘法法则是平方差公式的“根”与“源”，从复习回忆学生已学过的多项式乘法法则，并在学生的“最近发展区”设置问题导入新课，是科学的、合理的、自然的.而且题目的选择经过执教老师的精心思考，（1）是一般的多项式乘多项式;（2）是学生已接触过的（x+p）（x+q），（3）（4）（5）是今天将要研究的多项式乘法，其目的是让学生在比较中发现特殊情况，并弄清其研究价值，感受到研究这种特殊的多项式乘法的必要性和合理性.

2.2 学生探索，尝试解决

问题2 请同学们观察以下这三个式子，它们在形式上有什么共同特征？试写出它们的一般形式.

（投出问题2，让学生先独立思考，遇到问题、困难，可以小组互助.）

2.3 信息交流，揭示规律

师：哪位同学能代表自己，或小组发表意见！

生3：共同特征是等号左边的两个多项式都是两项式，这两个多项式前面的项是相同的，后面的项的符号是相反的.

师：上面的多项式乘法只不过是多项式乘法（a+b）（p+q）中p=a，q=-b时的特殊情况，今后，对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即（a+b）（a-b）=a2-b2.由于它们的结果都是两数的平方差的形式，所以我们把这个公式称为平方差公式.

点评 学生通过计算、观察、对比，教师引导学生思考几个式子的共同特征，为学生归纳公式的结构特征做好了铺垫，为发现公式提供了帮助.学生不仅经历了归纳、猜想、证明这一重要数学方法的全过程，运用了由特殊到一般的数学思维方法，而且深知平方差公式无非是把某特殊形式的多项式相乘，写成了公式的形式而已，是旧知识（多项式的乘法法则）的自然生长（两个特殊多项式相乘，并把结果写成公式的形式而已），并没有多少新东西.学生认识到平方差公式与多项式乘法之间的特殊与一般的关系，从而使学生建立起新知与旧知的联系，顺利地将本节知识纳入到原有知识结构之中.

问题3 请给出“平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2”的文字语言描述.

生5：右边是两个数的平方的差.

师：很好，那左边呢？

生6：左边是两个数的和乘两个数的差.

师：谁能说的更准确一些？

生7：左边是两个数的和与这两个数的差的积.

师：谁能完整地描述一下？

生8：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

师：（在前面平方差公式符号语言（a+b）（a-b）=a2-b2的下面板書或投出）两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

点评 用文字语言表达平方差公式是一个难点，教师应该留给学生充分的沉淀时间，应在启发学生的基础上，引导学生逐步说出规范的文字语言.此环节教师的处理有些着急，有牵着学生走的嫌疑.可设计这样的引导语：等号左边前面的括号（（a+b））是什么？（两个数的和），后面的括号（（a-b））呢？（两个数的差），前后这两个括号中的两个数是什么关系？（相同），这样后面的括号（（a-b））应怎样表述？（这两个数的差），综合起来，等式的左边应当怎样表述？（两个数的和与这两个数的差的积），右边的（a2-b2）又是什么？（两个数的平方差）……，这样的引导才能教会学生如何把数学公式的“符号语言”转化为“文字语言”，达到现在的“教”是为了以后“不用教”的目的和效果.

活动一 同学们手中有一个边长为a的正方形纸板，在其一个角剪掉了一个边长为b的小正方形的纸板（a>b>0），（同时课件出示问题）如图1，请根据图形的面积关系，利用剪拼的方法验证平方差公式：（a-b）（a-b）=a2-b2.

师：请同学们，首先独立思考，然后再进行小组合作交流.

……

师：哪位同学愿意分享一下你的想法？

生9：可以把图形（图2）下侧的小长方形剪下，贴在右侧，形成一个新的图形（图3）.

同学们可以把“□”“△”看作两个抽屉，用平方差公式解题，实际上是往“抽屉”里放式子，里面可以放数、单项式或者多项式，但需要注意的是，所有的“□”里放的式子必须是相同的，所有的“△”里放的式子也必须是相同的.

点评 这组题目教师意在让学生明白正确运用公式的前提是，首先要弄清具体问题中的a和b分别是什么，体会公式中字母所代表的内容的广泛性，并通过形象生动直观化的方式表达了公式的内涵，更进一步加深了学生对公式的理解，通过学生独立思考、生生互动、师生互动等一系列的活动，达到了预期的效果，克服了学生学习中的难点、易混点.

（三名学生上台板演，其他同学独立计算.）（具体过程从略.）

点评 例1、例2，教师采用“换一个”的策略，不用教材原例题，是在尊重原例题编写意图，保证其用到的知识不变，训练的技能技巧不变，传授探求的解题思路和方法不变，渗透的数学思想方法不变，培养的能力不变的前提下，改变原例题中的数值、字母或已知条件或求解目标等.即表面上换了一个例题，但其实质并没有变化，目的是保证让全体学生不仅动手而且真正动脑，还又不偏离教学目标.另外，教师设置的例2（3）小题，更是寓意深远，不仅考查了对公式逆用，加深了对公式的深刻理解，训练了逆向思维，而且为后面的因式分解埋下了伏笔，值得肯定和表扬.

师：很好！还有其他填法吗？

生15：6b+2a，并立即说，只要先提出2来，即可用平方差公式进行计算.

师：很好！还有很多填法，我们无法一一穷尽.下面同学们做一个活动（同时课件展示）.

活动二 你出题，我来做.

（要求：同桌间每人利用平方差公式出一道题，然后交换解答.）

师：哪位同学愿意来分享自己的思考？

生16：我出的题目是（xy+1）（xy-1），我的答案是x2y2-1.

生17：我出的题目是（x-1）（x-3），

生18：（同位）：我认为这个题目不能用平方差公式，因为它不符合平方差公式的特征，如果把第一个括号中的1改成-3，或者把第二个括号中的3改成-1，就可以用了.

师：其他同学怎么想的？认为能用平方差公式计算的举手（只有出题者举手）.认为不能用平方差公式计算的举手（很多同学举手）.请说一下你的想法.

生17（出题者）：可以把（x-1）看成（x-2+1），把（x-3）看成（x-2-1）这样就可以用了.即

师：你很棒！（教室里响起了掌声）.思考深刻、奇特，富有创新精神，值得表扬！可从上面的实际计算看，不仅没有简化计算，反而加大了运算量，拉长了解题长度，所以对于本题并不是好法、优法.

实际上所有形如（x+a）（x+b）的式子，都可以经过适当变形，应用平方差公式进行计算.同学们可留作课下思考.

点评 教师先通过问题4这一开放性问题，不仅充分发挥了学生的学习兴趣、积极性，开阔了学生的思维，丰富了课堂素材，而且加深了学生对平方差公式的理解，并为后面的活动二让学生自主编题做了铺垫.活动二通过让学生编题，不仅调动了学生的主动性、求知欲，而且有助于学生发散性思维能力和敢于发现问题、提出问题能力的培养，爱因斯坦曾说过“想象力比知识更重要.提出一个问题，往往比解决一个问题更重要.”学生从不同的角度编出不同层次的题目，说明他已经对平方差公式有了较为透彻的理解.特别是最后一名学生提出的问题更具有深度和挑战性.

2.5 反思小结，观点提炼

师：同学们思考（课件出示），通过本节课的学习：

（1）你收获了哪些知识、技能？

（2）你是怎样获得这些知识、技能的？

（3）在获得这些知识、技能的过程中用到了哪些思想、方法？

（4）你还有哪些疑惑？

点评 教师用“四问法”引导学生对本节课进行回忆、概括、整理，盘点收获，“颗粒归仓”，既问耕耘，也问收获，实乃明智之举.“四问法”课堂小结，分别对应课程标准中基础知识、基本技能，基本数学活动经验和基本思想方法等四个方面，通过课堂小结进一步落实四基.

2.6 当堂达标，查缺补漏（具体从略）

总评 （1）本教学是按照“自主学习与创新意识培养数学课堂教学模式”进行设计的，通过“设计问题，创设情境—学生探索，尝试解决—信息交流，提示规律—运用规律，解决问题—变练演编，深化提高—反思小结，观点提炼—当堂达标，查缺补漏”七个环节完整呈现了平方差公式的教与学过程.各环节之间环环相扣、层层递进.从平方差公式的引入到平方差公式的发现、提出、猜想、证明、应用（正用、逆用），以及平方差公式的结构特征的探索、三种数学语言的转化等，呈现了一个完整的公式学习的过程，突出了知识间的联系性，便于学生构建知识体系，更新知识结构.

（2）本节课对教材例题，采用“换一个”的策略，不仅保证了教材编写意图的落实，而且保证了让学生的学习、思考真正发生;通过开放题的引入，不仅激发了学生学习的积极性，而且加深了学生对平方差公式的本质认识;通過让学生自主编题，不仅丰富了课堂教学素材，调动了学生学习的主动性，而且培养了学生的发散性思维和创新能力.

（3）课堂小结也是本教学设计的一个亮点.本教学设计的课堂小结采用“四问法”，对应课程标准的四基，特别是第（2）问“你是怎样获得这些知识、技能的？”指向的是学生基本数学活动经验，这是落实基本数学活动经验教学的有效措施.教学中教师引导学生及时归纳、总结，形成经验，只有形成经验对学生的发展才是有意义的.

（4）教学过程中，执教教师语言精确严谨，教态自然大方，师生积极投入，教学相长，课堂气氛活跃，教学效果好.

参考文献

[1]王文清.“自主学习与创新意识培养”数学课堂教学模式初探[J].中学数学杂志，2000，（6）.

[2]王文清.怎样的数学课才算好课 怎样才能上好数学课[J].中学数学杂志，2008，（8）.