揭秘圆的折叠问题

刘震

3 教研反思

“图形的轴对称”作为初中数学几何的三大变换（平移、对称、旋转），在后期的数学学习与应用中一直扮演著重要角色，学生对它的性质、构造方法及常见的应用模型可以说是“条件反射”.而“圆”这部分的知识与内容更是紧密的联系着点、线、三角形、四边形、多边形、函数与三角函数等相关知识，集存在性问题，动点最值问题、路径问题，新定义问题，以及各类模型综合运用等问题于一身，甚至对它的学习贯穿了小学、初中、高中和大学整个数学知识网络与体系.而且，圆是所有几何图形中最为稳定、对称、优美、和谐的图形，在生活和生产中的应用更是举不胜举.因而，研究圆非常重要，研究轴对称也非常重要，研究圆中的对称问题，提升解题技能，提炼思想方法，培养学科素养，更加具有非常大的意义与价值.

笔者在近期一次初三数学复习课上尝试让学生完成上述几个例题，发现大部分学生都碰到了困难.事后有学生说感觉题目并不难，却又不知从哪个方向着手，说明这道题的起点并不高，多数学生还是可以动动笔的.但他们的最大问题和困难就是没有发现翻折后的弧所在的圆和题中所给的圆是等圆，从而导致他们或者过程和方法太过复杂，或者疑似缺少条件不能进行之后的推算和证明，难道这只是说明教师对这类圆的折叠问题未曾讲过？还是学生对该问题的模型不甚了解？

事实上，笔者发现大多数教师都会在中考复习阶段去总结各种解题模型，例如：“K”字型，“半角”模型，“手拉手”模型，“将军饮马”等等，然后直接让学生记住这么模型，像是作为公式或者模板一样去套用.笔者认为，虽然这些模型在初中数学中发挥着重要作用，它们也在一定程度上刻画了几何基本图形的变换规律，但是如果学生只是死板的记住模型，那么脑海中留下的只有表象和轮廓，谈不上理解，更不必说灵活构造模型去解决数学问题.

本文中，笔者抓住折叠的本质，通过构造对称点和对称图形还原折叠图形，得到了上述问题的模型和一般性结论，目的并不是让学生记住它，而是希望通过这一系列问题，让学生发现问题的本质是轴对称变换，感悟处理折叠问题的思想方法，所以说模型并非本质，也不是“万能公式”，几何作图能力与数学思想才是关键.

纵观近几年的浙江中考卷，发现让学生直接套用现有模型解决数学问题的题型越来越少，更多的是对数学本质的考查，学生碰到一个陌生问题，得凭借自己对该问题的理解，抓住问题本质，进行相应的数学抽象，数学推理和数学建模，临场解决问题.因此，教师们在平时的教学中更应该注重基础知识的夯实，基本技能的培养，以及学生基本活动经验的积累与基本数学思想的渗透，促进学生学会思考，学会学习，方能“以不变应万变”.

参考文献

[1]孙即忠.圆中折叠的两种情景[J].中学数学杂志，2013（2）：40-41.