核心素养视角下一道椭圆试题的探究

摘 要：在核心素养视角下，对一道关于椭圆三角形面积和定值问题进行多解探究和拓展探究，立足提升学生的数学运算、逻辑推理和直观想象等数学学科核心素养.

关键词：参数;伸缩变换;多解;拓展;核心素养

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0017-02

收稿日期：2021-09-05

作者简介：罗文军（1986.1-），男，甘肃省秦安人，本科，中学二级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：天水市“十三五”规划2020年度教育科研课题“在高中数学圆锥曲线习题教学中培养学生数学学科核心素养的研究——以秦安县第二中学为例”（项目编号：TS（2020）GH126）.[FQ）]

以直线与圆锥曲线的位置关系为背景考查三角形面积问题和定值问题是近几年高考和各类模考试题中的热点题型，这类试题可以很好地考查数形结合思想、分类讨论思想和函数与方程思想，可以很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力等关键能力，可以很好地考查数学运算、逻辑推理和直观想象等数学学科核心素养.下面选取了一道关于椭圆内接三角形面积和定值问题的模考试题进行解法探究和拓展探究.

一、题目呈现

题目 （2021年甘肃省兰州市高三联考题）已知椭圆x2a2+y2b2=1，O为坐标原点，长轴长为4，离心率e=12.

（1）求椭圆方程;

（2）若点A，B，C都在椭圆上，D为AB中点，且CO=2OD，求△ABC的面积.

这道试题第（1）问考查了椭圆的几何性质，第（2）问考查了椭圆的内接三角形面积和向量的综合应用.

二、题目解析

1.第（1）问解析

解析 由题设可得2a=4，所以a=2，e=ca=12.所以c=1.所以b2=a2-c2=3.

所以椭圆的方程为x24+y23=1.

评注 根据椭圆的长轴长和离心率的定义，将已知条件代入解出长半轴长和半焦距的值，再根据b2=a2-c2解出b2值，从而得出椭圆标准方程.

2.第（2）问解析

解法1 设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由中点坐标公式，得D（x1+x22，y1+y22）.

因为CO=2OD，所以（-x3，-y3）=2（x1+x22，y1+y22）.

所以x3=-（x1+x2），y3=-（y1+y2）.

①当直线AB的斜率不存在时，则x1=x2，y1=-y2.所以C（-2x1，0）.代入椭圆方程可得x21=1.则直线方程可设为x=x1.将x=x1代入x24+y23=1，解得y=

±3（1-x214）.

所以|AB|=23（1-x214），S△ABC=12|3x1|·23（1-x214）=33（x21-x414）=92.

②当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，联立y=kx+m，x24+y23=1，可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，由根与系数关系，得x1+x2=-8km4k2+3，x1x2=4m2-124k2+3，y1+y2=k（x1+x2）+2m=6m4k2+3.

由弦长公式，得|AB|=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]=（1+k2）[64k2m2（4k2+3）2-4·4m2-124k2+3]=43（1+k2）（4k2-m2+3）4k2+3.所以x3=8km4k2+3，y3=-6m4k2+3.将点C坐标代入椭圆方程x24+y23=1，整理，得4m2=4k2+3.坐标原点O到直线AB的距离为d=mk2+1，SAOB=12|AB|d=12·43（1+k2）·3m24k2+3mk2+1=12·12m24m2=32.

因为CD=3OD，所以S△ABC=3S△AOB=92.

评注 根据中点坐标公式和向量的坐标运算表示出点C的坐标，把AB看成△ABC的底边，再分直线AB斜率不存在和存在两种情况计算△ABC的面积，特别地，当直线AB斜率存在时，联立直线AB和椭圆方程，表示出两根之和与两根之积，表示出弦长|AB|和点C的坐标，再运用整体代换的思想可求出△ABC的面积.

解法2设A（2cosθ，3sinθ），B（2cosφ，3sinφ），因為D为AB的中点，所以D（cosθ+cosφ，32sinθ+32sinφ）.因为CO=2OD，所以C（-2cosθ-2cosφ，-3sinθ-3sinφ）.

因为点C在椭圆x24+y23=1上，所以3（-2cosα-2cosβ）2+4（-3sinα-3sinβ）2=12.

整理，得cos（α-β）=-12.所以sin2（α-β）=1-cos2（α-β）=34.

所以|sin（α-β）|=32，SAOB=12|23sinβcosα-23cosβsinα|=3|sin（α-β）|=32.

因为CD=3OD，所以S△ABC=3S△AOB=92.

评注 根据椭圆的参数方程设出点A和B的坐标，再表示出点C坐标，将点C坐标代入椭圆方程后根据三角恒等变换化简，由同角三角函数平方关系式得出|sin（α-β）|的值，再根据三角形面积公式的有关结论：△ABC中，已知AB=（m，n），AC=（p，q），则△ABC的面积S=12|mq-np|，表示出△AOB的面积，从而得出△ABC的面积.

解法3在变换φ：x′=x2y′=y3下，椭圆x24+y23=1变为圆O：x2+y2=1，椭圆上的点A，B，C对应圆O上的点A′，B′，C′，对应点D′的为A′B′的中点，即C′O=

2OD′，所以坐标原点O既是△A′B′C′的重心又是内心，所以△A′B′C′为等边三角形.

所以SA′OB′=

12|OA′||OB′|sin∠A′OB′=12×1×1×sin120°=34.

所以S△A′B′C′=3S△A′OB′=334.

由伸缩变换的性质，得S△ABC=abS△A′B′C′=23×334=92.

评注 运用坐标伸缩变换后，将椭圆的内接三角形面积问题化归为单位圆的内接三角形面积问题，本题运用到的伸缩变换的性质有：两平行线段或共线线段的比不变（三点共线的比不变）;椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）经变换x′=xay′=yb后，对应图形的面积变为原来的1ab.

三、题目拓展

通过类比和联想，对上述试题进行拓展探究，运用伸缩变换法容易得到结论：

已知椭圆M：x2a2+y2b2=1（a>b>0），点A，B，C都在椭圆M上，D为AB中点，且CO=2OD，则△ABC的面积为334ab.

本文从多视角对例题进行多解探究，在习题教学实践中这样做有利于启发学生运用发散思维思考问题，为学生学会解题方法提供多样化选择，也有利于培育学生的创新意识和科学探索精神，有利于促进学生深度学习，有利于发挥模考题的最大功效，激发学生的学习兴趣，打破题海战术形成的思维定势.通过对这道圆锥曲线的多解探究，也提升了学生的数学运算、逻辑推理和直观想象等数学学科核心素养.

参考文献：

[1]罗文军.一道2020年新高考Ⅱ卷圆锥曲线解答题的探究及探源[J].广东教育（高中版），2020（12）：32-35.

[责任编辑：李 璟]