对数的历史及其德育价值

摘要：对数历史最重要的教育价值就在于数学学科德育。从人物、思想、知识等方面入手，着眼于理性精神、活动本质、学习情感、个人品质等数学德育元素，挖掘对数历史素材，设计对数概念教学，架设沟通历史与现实、数学与人文的桥梁，最终达成立德树人的目标。

关键词：对数;数学史;数学德育;教学设计

歌德曾经说过：“一门科学的历史是就这门科学本身。”在以“立德树人”为教育根本任务的今天，这一观点对教师来说具有重要的指导意义。就数学学科而言，数学的历史是改善教学的工具，了解数学的历史也应该成为教学的目标之一。因为实践表明，HPM视角下的数学教学对于学科德育的落实有着独特的价值。但是，由于教师对“数学学科德育”内涵的理解还不够清晰，许多HPM课例未能充分挖掘或凸显有关知识历史的德育价值。有鉴于此，本文基于对数的历史分析其德育价值，并做教学设计，由此对数学史与数学学科德育之间的关系做进一步的探讨。

一、对数的历史

（一）一个人物

纳皮尔于1550年出生于苏格兰郊区的莫契斯顿城堡。他的父亲阿奇巴尔德·纳皮尔是城堡的第七代领主，曾先在阿盖尔郡担任法官，后担任造币厂厂长长达三十余年。纳皮尔的童年是在城堡里度过的，并没有去学校上学。可能的情况是：父亲为他请了家庭教师，让他接受启蒙教育。13岁那年，纳皮尔进入苏格兰最古老的大学——圣安德鲁斯大学的圣萨尔瓦多学院学习，师从当时苏格兰最著名的教师——圣萨尔瓦多学院院长约翰·卢瑟福。

不久，纳皮尔带着失去母亲的深深伤痛，也带着父亲的殷殷期望，负笈来到欧洲大陆留学。虽然没有文献记载纳皮尔的留学之地，但是最有可能的是法国。直到1571年，21岁的纳皮尔结束了留学生活，回到了阔别已久的家乡。然而，不见亲人的笑颜，唯有残酷的现实。那是苏格兰历史上最黑暗的一页：教派纷争，兵连祸结，满目疮痍，父子反目，兄弟成仇，亲属相残……家乡的一切都变了：父亲被支持玛丽女王的一方囚禁于爱丁堡城堡;莫契斯顿城堡被支持詹姆斯六世的一方占领，还不时遭到玛丽女王一方的炮击。

纳皮尔被迫离开爱丁堡，来到父亲在加特尼斯购置的一处庄园。就在这里，纳皮尔收获了爱情，不久走进了婚姻的殿堂;同时，开始致力于庄园的建设。很快，在风景秀丽的恩德里克河畔出现了一幢占地面积很大的新楼，大楼周边有花园和果园。纳皮尔在这里一住就是三十几年。

1593年，信仰天主教的一些贵族暗地里请西班牙菲力二世向苏格兰派遣军队以占领英国。纳皮尔随基督教最高裁决会议派遣的代表团三度进谏詹姆斯六世，要求立即处理那些“基督教会众和国家的敌人”。在祖国面临战争威胁的时候，纳皮尔还充分发挥自己的聪明才智，设计了许多保家卫国、打击敌人的武器，其中包括可以烧毁一定范围内任意远处敌舰的燃烧镜、可以全面打击方圓4英里内敌人的大炮、可以从各个方向消灭敌人的战车、可能具有水雷功能的水下武器等——虽然这些武器最终都没有派上用场。

有理由相信，纳皮尔关于对数的研究始于加特尼斯。然而，在宁静的夜晚，纳皮尔的思路常常被恩德里克河对岸一家棉绒厂发出的噪音所打断。在加特尼斯，纳皮尔还对农学产生了浓厚的兴趣。据说，他是第一个提出盐是有效肥料的人，他还提出了许多农艺新方法。

在加特尼斯忙碌而充实的生活中，纳皮尔遭遇了人生新的不幸。妻子伊丽莎白在生下他们的孩子后不久便撒手人寰。后来，他有了第二任妻子，并育有十几个孩子。

1608年，纳皮尔的父亲去世，他离开加特尼斯，迁回莫契斯顿。关于纳皮尔的许多有趣的故事都发生在这里。

一个故事说，纳皮尔有一只乌黑发亮的公鸡。他说，这只鸡有一种神奇的本领，能告诉他家里人最隐秘的想法。某一天，家中的一件贵重物品失窃，纳皮尔怀疑是某个仆人所为，却没有任何证据。于是，他将那只“神鸡”关在一个暗室里，并告诉仆人们：它被一个偷过东西的人摸到时会叫。然后，他让仆人们依次进入暗室摸鸡，出来后向他出示双手。结果，只有一个仆人的双手是干净的，而其他仆人的手上都沾上了煤灰。原来，纳皮尔在公鸡身上抹了煤灰，那位偷东西的仆人因为害怕鸡叫而不敢摸，所以双手干干净净。就这样，纳皮尔找出了家贼。

另一个故事说，纳皮尔的邻居家养了一群鸽子，鸽子常常飞到莫契斯顿城堡内吃麦粒。纳皮尔警告邻居说，若鸽子以后再飞来吃麦粒，他就把它们捉起来关到笼子里。“如果你能捉住它们的话，随你的便。”邻居自信地回答。第二天早上，莫契斯顿城堡内的地上到处都是鸽子——它们被纳皮尔施了“魔法”，再也飞不起来了。在纳皮尔的吩咐下，仆人们将一只只鸽子关进了笼子里。

这些故事在当时广为流传，传到最后，纳皮尔就成了地地道道的魔法师。实际上，在第一个故事中，纳皮尔显然没有什么“神鸡”，他只是利用了小偷做贼心虚的心理而已——这个故事简直就是我国北宋著名科学家沈括在《梦溪笔谈》中讲述的“摸钟”故事的翻版。而在第二个故事中，纳皮尔一定是在麦粒上做了手脚：一个容易的做法是，前一天将麦粒浸于酒中，第二天一早晒出，吃麦粒的鸽子自然都醉倒了。

1614年，经过20年的努力，纳皮尔终于出版了他一生中最重要的数学著作——《奇妙的对数表说明书》。对数的发明将天文学家从繁重的计算劳动中解放出来，用后来法国数学家拉普拉斯的话说，就是“由于省时省力，对数的发明让天文学家的寿命增加了一倍”。对数的诞生标志着人类的计算史翻开了新篇章，成为17世纪三大数学成就之一。

1615年，远在伦敦的数学家布里格斯读到《奇妙的对数表说明书》后，叹为观止，爱不释手。在写给友人的一封信中，布里格斯说，自己从未遇到过一本让他如此愉悦的书。他致信纳皮尔，说暑期里要专程去拜访他，并约好了时间。

暑期来临了。根据约定的时间，纳皮尔在家中恭候远方的客人。当时，从伦敦到爱丁堡，乘马车需要整整四天四夜。布里格斯按照约定的时间从伦敦出发，但由于天气的缘故，没能赶在约定的时间到达莫契斯顿。一天过去了，纳皮尔没等到布里格斯。第二天，依然是久等不遇的失望。第三天，纳皮尔在二楼的客厅里坐不住了，他对前来拜访的朋友马尔说：“看样子，我们远方的朋友今天是不会来了。”话音刚落，楼下响起了敲门声。马尔急忙跑下楼开门，来客通报自己是布里格斯。马尔将客人领到客厅，两位数学家初次会面，彼此在沉默中对视了一刻钟。我们无法想象，那是多么激动人心的时刻！人生得一知己足矣，两位数学家相见恨晚。

在莫契斯顿城堡，布里格斯一住就是一个月。当清晨的阳光洒满城堡的时候，两位数学家已经漫步在城堡中的林荫小道上。他们热烈地讨论着一个重要话题：如何改进现有的对数？在两位数学家的思想碰撞中，常用对数诞生了！

1616年暑期，他们又一次相聚在莫契斯顿城堡，并且约好下一年暑期再次相聚。怎料天不假年，纳皮尔不幸病逝。不久，布里格斯出版了他的常用对数表，以此告慰他的朋友、对数发明者、苏格兰一代数学伟人的在天之灵。

（二）一种思想

在《奇妙的对数表说明书》的前言里，纳皮尔告诉我们：

没有什么比大数的乘、除、开平方或开立方运算更让数学工作者头痛、更阻碍计算者的了。这不仅浪费时间，而且容易出错。因此，我开始考虑怎样消除这些障碍。经过长久的思索，我终于找到了一些漂亮的简短法则……

这段话十分清楚地表达了纳皮尔发明对数的动机——简化计算。大道至简，求简是数学的重要思维方式之一：数学符号的运用为的是语言的求简，而对数的发明则是计算方法的求简。

实际上，在纳皮尔之前，数学家早已有了简化计算的想法。

比如，法国数学家许凯在《算学三部》（1484）中利用“双数列”（如图1），将上一列中某两数相乘转化为下一列中对应的两数相加。

再如，德国数学家斯蒂菲尔在《整数算术》（1544）中给定“双数列”（如图2），提出四个运算法则：（1）等差数列中的加法对应于等比数列中的乘法;（2）等差数列中的减法对应于等比数列中的除法;（3）等差数列中的简单乘法对应于等比数列中的乘方;（4）等差数列中的除法对应于等比数列中的开方。

我们看到，要求等比数列中某项（真数）的积或商，只需在等差数列中找到相应的“替身”（假数），通过“替身”的和或差即可找到所求某项的积或商。这是纳皮尔对数思想的源泉之一。

虽然许凯和斯蒂菲尔的“双数列”可以用来简化计算，但其适用范围很小，因为等比数列所含的数太少，对于2的正整数次幂以外的数的乘法完全无用。纳皮尔需要做的是构造新的等比数列，使其相邻项的间隔小于1，这样，它就能包含一定范围内的所有正整数。

当时的天文学家已利用“加减术”，即积化和差公式sin αsin β=12[cos（α-β）-cos（α+β）]和cos αcos β=12[cos（α+β）+cos（α-β）]简化乘法运算，所以，他们离不开正弦和余弦表。而当时的正弦和余弦表是以107为圆的半径制作的，所以，纳皮尔选择了107作为首项，又选择了1-10-7作為公比，得到等比数列：107，107（1-10-7），107（1-10-7）2，107（1-10-7）3，…，107（1-10-7）n，…。这个数列中，相邻两项的间隔很小。例如，前100项近似为10000000，9999999，9999998，9999997，9999996，9999995，9999994，9999993，9999992，9999991，9999990，…，999901，相邻两项的差不超过1。因而，可在其中找到所需要的真数，进而可以找出它们的对数（其对数分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…，99，…），达到简化计算的目的。

后经过商讨，纳皮尔和布里格斯一致同意，先建立表1所示的“双数列”对应关系，再通过在等比数列相邻两项之间插入等比中项，得到相应的对数。不断插入等比中项，能够得到相邻两项之间任一给定的正整数，从而求得该数的对数。

例如，要求2的常用对数（精确到7位小数），首先在1和10之间插入等比中项1012≈3.1622777，其对数为0.5;接着在1和1012之间插入等比中项1014≈1.7782794，其对数为0.25;然后在1014和1012之间插入等比中项1038≈2.3713737，其对数为0.375……不断在最接近2的两数之间插入等比中项，在第25步时即得到2，其常用对数为0.3010302。

经过两位数学家的思想碰撞，常用对数诞生了！

（三）一个概念

在对数发明后相当长的时期内，数学家都利用等差数列和等比数列对应关系来定义对数，即：给定双数列，等比数列中的项在等差数列中的对应项称为对数，前者称为真数，后者又称为假数。例如，拉弗森在《数学辞典》（1702）中定义：对数是构成等差数列的一组数，与等比数列中同样多的数相对应。罗奈因在《代数专论》（1717）中定义：对数是与真数相对应的一组假数，任意两个真数的对数（假数）之和等于这两个真数的积的对数，任意两数的对数之差等于这两个数的商的对数。桑德森在《代数基础》（1740）中定义：对数是与真数相对应的一组假数，其加法对应于真数的乘法，即，若将任意两数相乘得到第三个数，则它们的对数之和构成了第三个数的对数。达朗贝尔在《大百科全书》（1765）中定义：对数是一个等差数列中的数，与另一个等比数列中的数相对应。

18世纪英国数学家斯通在《新数学辞典》（1743）中给出了这样的对数定义：“对数是一个给定数的幂的指数……例如，给定数为10，10的零次幂等于1，故1的对数为0;10的0.301030次幂等于2，故2的对数为0.301030;10的0.477121次幂等于3，故3的对数为0.477121……10的1.079181次幂等于12，故12的对数为1.079181，等等。”可见，最迟到1743年，已经有数学家直接用幂指数来定义对数了，只是没有采用符号语言。

1748年，欧拉在《无穷分析引论》中用现代符号给出了对数的幂指数定义：“若az=y，则z可以看作是y的函数，通常称z为y的对数，其中a称为底数。因此，以a为底y的对数即为幂az的指数，az等于y。y的对数常记作z=Ly。”在欧拉之后，人们逐渐习惯于用幂指数来定义对数，旧定义逐渐退出了历史舞台。

在对数的幂指数定义中，人们已经看不到真数与假数之间的对应关系，对数的简化计算功能也被淡化了。

二、对数历史的德育价值

可以看出，对数的历史蕴含着丰富的德育价值。归纳起来有这么几个方面：

（一）体会数学的理性精神

求简是数学家的重要思维方式之一，但求简并不是以牺牲准确性为代价的，相反，数学家需要建立科学有效的方法。为此，纳皮尔构造了全新的等比数列，突破了15—16世纪数学家所用的数列以及天文学家所用的三角公式的局限性，体现了数学家的创新精神。而且，納皮尔发明对数后并未感到满足，而是很快就发现自己的对数表还有改进的空间，体现了数学家的求真精神。

（二）认识数学活动的本质

首先，数学是人“做”出来的。做数学的人和从事其他体力、智力活动的人一样，并非生活在真空之中，他们不可能不食人间烟火，不可能没有喜怒哀乐，不可能完美无缺。如果我们觉得纳皮尔用“神鸡”识贼、巧捉鸽子这样的所作所为很难与一位取得17世纪三大数学成就之一的数学家联系在一起的话，这种看法实际上源于我们对数学家的不恰当的认识。纳皮尔的故事能让我们看到数学家的真面目。

其次，数学知识的发生是有动因的。如今数学教材直接用指数来定义对数，使得对数概念仿佛从天而降;而对数概念的发生发展过程却清楚地表明，对数的发明有着极其强烈的动机。事实上，任何数学概念的诞生都源于数学外部或内部问题解决的需要，而非凭空出现——所谓“既要讲推理，更要讲道理”，这就是一种重要的“道理”。

再次，数学的概念知识和思想方法是不断演进的。从正整数的幂指数到纳皮尔的对数，再到常用对数，作为计算工具的对数经历了不断完善的过程;而对数的定义从“前世”到“今生”也发生了巨大的变化。不了解这样的变化过程，我们怎么能解释“为什么将幂指数称为对数”“为什么有真数却没有假数”之类的疑问？

（三）丰润数学学习的情感

为什么人们喜欢中央电视台的《百家讲坛》节目？原因很简单：《百家讲坛》主讲人所讲的都是人的故事。人们从人的故事中了解人生百态，感悟岁月更迭，吸收经验教训，品味思想智慧，汲取精神力量。为什么数学教师难以走上《百家讲坛》？原因也很简单：单纯的数学缺失了人的元素。对数历史中的人物故事，特别是纳皮尔与布里格斯初次会面的故事，让数学变得人性化，从而能激发学生的兴趣，营造不一样的课堂。

（四）感悟数学家的优秀品质

从纳皮尔的一生中，我们可以读出以下几个个人品质方面的关键词：

一是“执着”。人生能有几个20年？纳皮尔用20年的时间致力于同一件事，取得了成功，为我们诠释了“执着”在实现人生价值过程中的重要性。

二是“坚强”。少年丧母，青年丧妻，慈父入狱，家园失陷，面对生活中的灾难和不幸，纳皮尔没有沉沦，没有失去生活的勇气，而是在逆境中自强不息、砥砺前行，最终成就大业。

三是“责任”。于国、于家、于知识界，纳皮尔都是一个有担当的人。国家面临战争威胁时，他发明众多武器，为保家卫国做准备;身逢乱世，家道中落，他承担起建设家园、振兴家业的责任;看到天文学家苦于大数计算，他焚膏继晷、夜以继日，以寻找简化计算的工具为己任。

四是“倾听”。纳皮尔的对数思想不可能从天而降，他是站在前人的肩膀上创造辉煌的;有了他与布里格斯的旷世之约，才有常用对数的诞生。从中我们感悟到，摈弃以自我为中心的思维习惯，倾听和包容他人，是数学家的优秀品质。

三、基于对数历史的教学设计

对数概念的历史由四个阶段组成：第一阶段是正整数指数幂所对应的正整数指数;第二阶段是任意正整数所对应的正整数指数，即纳皮尔对数;第三阶段是任意正整数所对应的小数指数，即常用对数;第四阶段是任意一个幂的指数，即一般对数。在对数概念的教学中，教师可以重构历史，设计三个探究任务，让学生依次经历对数概念历史的第一、第三和第四阶段。

任务1（特殊正整数的乘法）不用计算器，求2的两个不同正整数次幂的乘积，如4096×32768、32768×262144等。

在通过笔算获得结果后，让学生思考是否存在更便捷的方法。引入2的正整数次幂和正整数指数的对应表（如图3），引导学生从中发现，在做32768和262144的乘法时，可以找到两数的“替身”，将“替身”相加，和所对应的幂即为所求的积，原来的两个数并不需要参与实际运算。

任务2（任意正整数的乘法）不用计算器，求任意两个多位正整数的乘积，如：光的传播速度为299792458米/秒，光从太阳照射到地球大约需要499秒，则日地之间的距离为299792458×499（米）。

这时，相乘的两个数都不是2的正整数次幂了，任务1中所用的对应表用不上了。对此，教师引导思考：应该如何寻找两个数的“替身”以达到简化计算的目的？从图3可见，499的“替身”在8和9之间，299792458的“替身”在28和29之间。通过尝试，发现前者约为8.9，后者约为28.1，其和约为37，所以所求的乘积约为137438953472。这个结果与直觉上的结果（300000000×500=150000000000）相去较远。对此，教师指出：其原因是上述两个“替身”过于粗略。实际上，用有限小数精确表达出“替身”，是不可能做到的。

任务3（新数的创造）如果幂的底数不是2，而是任意正数a（a>0，a≠1），那么，如何求给定幂ax=N的指数x呢？

教师引导思考：由于指数x的小数值往往无法精确获得，我们需要引入一种新的数，就像初中我们初次遇到面积为2的正方形边长问题时一样。由此，引入对数的幂指数定义。

此后，教师可播放微视频，追溯对数的历史（内容以上文为基础），让学生在古今对照中走进17世纪数学家的心灵，深刻理解对数在数学史上的巨大价值，潜移默化地受到数学史的德育作用。

四、教学反思

今天，人们借助计算器可以得到任何一个数的对数，对数表已成明日黄花，“对数无用论”甚嚣尘上。但是，数学知识的实用价值和教育价值往往是不同的，没有实用价值并不意味着没有教育价值。从某种意义上说，在数学教学中融入数学史就是要充分挖掘数学知识的教育价值。

对数历史最重要的教育价值就在于数学学科德育。对数的历史及其教学启示表明，教师可从人物、思想、知识等方面入手，着眼于理性精神、活动本质、学习情感、个人品质等数学德育元素，挖掘历史素材，设计数学教学，架设沟通历史与现实、数学与人文的桥梁，最终达成立德树人的目标。

参考文献：

[1] 汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学出版社，2017.

[2] 汪晓勤，栗小妮.数学史与初中数学教学——理论、实践与案例[M].上海：华东师范大学出版社，2019.

[3] 汪晓勤，沈中宇.数学史与高中数学教学——理论、实践与案例[M].上海：华东师范大学出版社，2020.

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[5] 欧拉.无穷分析引论[M].张延伦，译.太原：山西教育出版社，1997.