文化引领提素养 关注能力促发展

【摘 要】 同课异构是提升教学质量和教师专业素质的一种行之有效的校本教研方式.文章呈现四位青年教师对同一教材内容《二项式定理》（第1课时）的不同处理，不同的教学策略、迥异的风格所产生的不同教学效果，并加以点评，然后给出自己的见解，彰显了数学文化的融入和学科素养的发展.

【关键词】 同课异构;数学文化;数学素养;教学思考

前不久笔者应邀参加了洋县中学开展的《二项式定理》（北师版教材第1课时）教学的同课异构活动，活动组织安排的井然有序，首先是连续四节听课，评委打分，紧接着两节交流研讨，评委及听课教师分类评课交流，活动开展的扎实有效，受益匪浅.但反思参与授课的四位年轻教师的教学设计和课堂表现，我很想谈几句，不当之处，尽请指正.

1 教学情景呈现与评析

1.1 创设情境引入课题

四位授课教师引入环节的设计，按参赛顺序整理如下：

杜老師：[思考]今天是星期五，再过23天后是星期几？追问：再过810天后是星期几，不借助计算器你能给出答案吗？

赵老师：[情景问题]生活中常见的励志语“积跬步以至千里，积怠惰以致深渊”，其中蕴含着重要的数学公式：（1+0.01）365≈37.8，（1-0.01）365≈0.03.

[抽象问题]公式的实质就是计算（a+b）n的问题.

范老师：回顾（a+b）2的展开式，进而提出：（a+b）3的展开式如何得到？（a+b）4，（a+b）5，…，（a+b）100 还能用此方法展开吗？

尹老师：本节课开始我们学习二项式定理.什么叫二项式？针对（a+b）2的展开式都是学过的，那更高次幂的展开式如何呢？这就是我们本节课所要研究的问题 ：（a+b）n的展开式？

评注 杜老师采用了传统的方法，利用星期的周期性，推算星期几也就是求被7除的余数，贴近生活，但最终过渡到课题明显不在知识的最近发展区，显得牵强不自然.又由于学生对星期五这一天算不算在23天内，及“再过——后”词义含糊不清，出现“星期六、星期日、星期一”等不同答案，严重消弱了原本的设计意图;赵老师用出自荀子

《劝学篇》的语句中蕴含的数学文化，抽象出数学问题引入，其中365次方代表一年365天，1代表每一天要做的努力，1.01表示每天多做0.01，0.99代表每天少做0.01.365天后，一个增长到了37.8，一个减少到0.03，差别太大了！ 这两个公式被网友解读为：“每天进步一点点，屌丝一年变富帅;每天退步一点点，富美一年变挫矮”.作为教学励志用语，要明确表达这层意思：“希望同学们懂得每天多做一点点，就可以积少成多，带来飞跃;每天少做一点点，就会不进则退，跌入谷底.”如此这般，文化意蕴浓厚，教育意义突出，又能顺利点题，但这对后续介绍公式（1+x）n≈1+nx（x→0）略有影响，因为若要利用二项式定理验证公式（1+0.01）365≈37.8需要计算到展开式的第13项C12365（0.01）12方可;范老师和尹老师基本上属于开门见山的方法，直接提出数学问题“（a+b）n的计算”引入课题，但前者先展开了（a+b）2和（a+b）3，有温故知新的“愤”状，而后者并未调动起学生的思考，属于老师的个人表演.

1.2 问题探究发现定理

四位老师均采用从特殊到一般的探究、归纳、猜想、证明的思路来推进定理的教学，但呈现方式却不同.

杜老师：问题1 请展开（a1+b1）（a2+b2）（a3+b3），并分析各项，你能用本章所学的知识解释各项的构成吗？

问题2 若令a1=a2=a3=a，b1=b2=b3=b，能得到什么？展开式整理过后各项的系数有什么特点？

问题3 （a+b）4展开后有哪几种形式的项？各项的系数分别是什么？

问题4 观察上面几个式子的展开式中项数、指数变化以及系数变化，你发现了什么？你能猜想（a+b）n的展开式吗？

赵老师：[阅读文献] （a+b）n的展开式问题，早在公元1261年我国南宋数学家杨辉在《详解九章算术》一书中给出了二项式系数的三角形数塔，即“杨辉三角”：

1

11……（a+b）1=a+b

121 ……（a+b）2=a2+2ab+b2

1331 ……（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

14641 ……（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

15101051

……………… ……

问题1 利用杨辉三角试着写出（a+b）5的二项展开式？

问题2 试猜测（a+b）n展开式的项数，项的一些规律？

问题3 试用多项式乘法展开（a+b）3，分析展开式的特点？

问题4 试用上述规律展开（a+b）4.

问题5 试用上述规律分析（a+b）n的展开式.

范老师：问题1 分析（a+b）2=a2+2ab+b2的展开式是如何得到的？追问：再从组合的角度对其进行分析.

问题2 类比以上过程，分析（a+b）3=（a+b）（a+b）（a+b）的展开式.

问题3 不计算，能否写出（a+b）4=（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）的展开式？

问题4 利用组合的知识得到了（a+b）3，（a+b）4的展开式，推广到一般，能否用同样的方法将（a+b）n展开？

尹老师：问题1 展开（a1+b1）（a2+b2），每一项是怎样构成的？

问题2 请展开（a1+b1）（a2+b2）（a3+b3），展开式中有多少项？每一项是怎样构成的？

问题3（a+b）3的展开式又是什么？

探究 合并同类项之前共有多少项？各项是怎么来的？合并整理过后有几项？各项的系数是怎么来的？

问题4 猜想（a+b）4展开式有哪几种形式的项？各项的系数分别是什么？

问题5 猜想（a+b）n的展开式是什么？并说明理由.

评注 杜老师采用教材的方法探究，但未达到教材编者的意图.问题1前半问目的是弄清多项式乘法法则，即展开式的每一项都是由各个因式中的一项相乘得到的，后半问意在表达每一项都是由各个因式中的一项的组合，明显这个问题放在问题2后面更合适;相比之下尹老师的设计更加细腻，不仅在问题1给出了两个多项式相乘的铺垫，而且问题3强调了合并同类项前后的异同，又在问题4通过二项四次式展开来强化展开式的特点，为一般情况的猜想和证明打好了基础.

教材在下一节《二项式系数的性质》中就是依据“杨辉三角”来学习的，赵老师第一节便介入“杨辉三角”不仅整体上显得累赘，而且问题2的完成难以实现，也不利于揭示二项式定理的形成过程，不利于问题3，4展开式的乘法规律的发掘，同时也影响了这两个问题的教学效果，成为单纯为了证明n次展开式的方法探寻.若将其放在课时最后给出，并提示“关于杨辉三角有很多有趣的结论，望大家课后进行探索.”是否可起到抛砖引玉的良好预习效果.

范老师直接分析完全平方公式的特点，表面看是从学生熟悉的公式出发研究，但学生已知公式的简化形式，这就需要回到公式的形成中观察展开式各项及其系数的规律，否则容易形成探究假象或教师枯燥讲解.事实上，从组合角度直接写出系数的组合数形式也的确困难.

1.3 熟悉定理学以致用

本节课内容较多，时间紧张，想面面俱到是不可能的，因此在例题的选择上要尽量做到精讲.四位老师对教材例题都做了一定的筛选，但效果差异较大.

杜老师：[小试牛刀] 在二项式定理中，令a=1，b=x，写出二项展开式.

例1 展开x+1x25.

例2 展开2x-1x4.

思考 （1）展开式中第三项的二项式系数是什么？（2）展开式中第三项的系数是什么？（3）如果不展开所有项，你能求出其中的常数项吗？如何求出？

评注 公式（1+x）n=1+C1nx+…+Crnxr+…+xn作为二项式定理的特例，在这里出

现起到让学生理解公式中a，b的任意性和熟悉定理的作用（这个作用例1，例2同样可以体现），但其它丰富的价值，如理解1+x的n次展开式中多项式的结构特征、研究二项式系数的性质、近似计算及赋值法的应用等难以发挥.另外，在讲授例1时老师引导对应公式中的a，b，写出展开式，板书过程，强调了结果的化简，体现了解题的规范性;在讲授例2时直接将2x-1x4化为（2x-1）4x2，然后展开，接着回答思考问题.如此讲解，并未体现替换教材中的例2、例3的作用.笔者建议：去掉“小试牛刀”环节，直接使用教材中的例2、例3，其中例2用来熟悉定理的展开过程及二项式系数和项的系数的区别，而把例3作为侧重建立二项式定理这个数学模型和落实数学运算素养的问题，强调把2x-1x看成2x+-1x，以及根指互化、指数运算、通分变形等运算能力，根据情况增加变形转化解法以及求常数项等问题.

赵老师：例1 利用二项式定理展开下列各式：

（1）（x+2）5;（2）2+1x4; （3）x-1x4.

例2 求（x-2y）6展开式中的第四项，并求该项的系数.

变式 （2018年全国卷改编）求x2+2x5展开式中x4项的二项式系数、系数.

评注 此处虽然保留了教材中的例1，例2，例4，但扬弃教材中例3，忽视根式的运算及该题的不同求解策略，似有不妥，且例1中三小題的设计显得重复，笔者认为至少可以删去一个小题，如（2）.

范老师：（1）知识应用： 展开（1-2x）5.

（2）小试牛刀： 课本练习1，2.

（3）变式训练：已知（1-2x）5，求①展开式中第四项;②展开式中第四项的二项式系数;③展开式中第四项的系数.

（4）链接高考：（x+a）10展开式中，x7的系数为15，则a=.

评注 范老师采用阶梯式上升的策略对能力欠佳的学生较为有利，但（1）（3）两个环节放在一起似乎更紧凑，且完全抛弃课本的例题值得商榷.课本中的每一个例题都有用意，题可以替换，但其作用不能忽视！

尹老师：例1 求2+1x4的展开式.

变式 求2-1x4的展开式.

思考 1.写出展开式的第三项;2.写出展开式的第三项系数;3.写出展开式的第三项的二项式系数;4.你能直接写出展开式的第四项及系数吗？5.展开式中有无常数项？若有，是多少？

例2 已知2x-1x4.（1）求其展开式;（2）展开式中第5项;（3）写出含x2的项;（4）常数项.

评注 尹老师将例1板演讲授，并给出变式题，接着提出5个思考问题直指展开式的指定项问题可谓一箭三雕：第一，强调定理“a+b”的模式;第二，参透通项公式的应用;第三，强化项的系数及其二项式系数概念.但随后把例2作为学生自主练习，笔者认为难度偏大，把例2和变式1对调是否更好？

2课后反思

四位老师的教学基本做到重视二项式定理的形成过程，定理的特征及二项展开式的通项公式这一核心内容，作为工作三五年的年轻教师已经很不错了，但俗话说“教学没有最好只有更好”，特别是对数学内容的本质认识和学科素养的孵化.

2.1 整体把握教材系统优化教学

要备好一节课，首先要从整体上把握该课内容，通常包括两个方面：一方面是这部分知识的前后联系，一方面是本课内容本身的要求及横向拓展.二项式定理涉及组合数，而且由二项式定理可以推导出一些组合数的恒等式，因此它最好是计数原理的后继内容，另一方面，它也为后面学习二项分布奠定基础.教材安排第一节学习二项式定理，第二节学习二项式系数的性质，其中渗透了杨辉三角，由表及里，二项式系数通过“式算”和“图算”结合的方式呈现，利于学生接受.

二项式定理本质上是多项式运算的推广，利用多项式乘法法则，通过从特殊到一般的推理过程进行归纳概括，探索得出二项式定理，是本节的重点也是难点.本节的另一个重点就是二项式定理的简单应用，特别是利用通项公式求指定项及其系数或二项式系数问题.对于二项式系数的性质（包括杨辉三角）、赋值法的应用、最值问题、参数问题、二项式的拓展，即三项式和两个二项式的幂的展开中项的问题等 ，都不宜在本节出现.

2.2 融入数学文化提升数学素养

二项式定理其实就是一个公式，也就是一个二项式的n次幂及其展开的关系式，它由艾萨克·牛顿于1664—1665年期间提出，所以又称牛顿二项式定理.在中国与二项式定理相应的结论“古法七乘方图”出现在杨辉的《详解九章算法》（1261）之中，因其记载为北宋数学家贾宪所创，故称为杨辉三角或贾宪三角.在欧洲，帕斯卡在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形.帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年.

四位老师只有范老师和赵老师将数学史融入教学中.数学史的渗透贵在自然，对比之下范老师做得较好，他在出示课题后指出：“二项式定理就是研究（a+b）n=？，早在南宋时期，我国数学家杨辉在《详解九章算法》一书对此有了结论.1664年，年仅22岁的牛顿发现并完善了二项式定理.”该处理既让学生了解了数学家的贡献，定理产生的时间，又激发了学生学习新知的热情和了解中华灿烂历史的渴望，我国早西方几百年的发现究竟是怎样的知识？

2.3 培养探究意识强化思想方法

在教学中，教师要努力把表现的机会让给学生，发挥他们的自主精神;尽量创造让学生活动的机会，让学生在直接体验中构建自己的知识体系;尽量引导学生的发展和创造意识，使他们能在再创造的氛围中学习[1].如（a1+b1）（a2+b2）（a3+b3）展开时各项规律的探究——每一项都是3个字母相乘，且这3个字母分别来自原来3个不同的因式;（a+b）3展开式中项的系数规律的探究——项的系数就是该同类项的个数，也就是i个a和3-i个b的排列数（i=0，1，2，3）;由（a+b）2，（a+b）3展开式的特征归纳猜想（a+b）n的展开式;利用組合数对猜想进行“说理证明”;定理中展开式的特点;通项公式的应用;二项式系数与项的系数的区别;例题的不同解法等等，这些都是很好的探究点.如何发挥其探究功能，增强学生学习的主观能动性，既需要教师在设计上下功夫，也需要教师有很强的课堂驾驭能力.

波利亚在《数学的发现》一书中指出“高中数学教学目标首先和主要的，是必须教会那些年轻人去思考.”[2]二项式定理的推导体现了从特殊到一般的思维方式，定理的证明和应用时“标准式（a+b）n”的模型化思想，例3求解的转化划归思想，这些都是促进学生思维能力的生长点.事实上，二项式定理就是二项式乘方的展开式规律的反映，但对其形成本质的理解程度则直接影响后续的学习，如“求（2-x2）（3x+4）5展开式中x4项的系数”“求（2x-3y+z）6展开式中x2yz3项”“二项分布”等新知的学习.

总之，二项式定理的学习过程是培养学生思维品质，提高学生观察归纳能力、抽象概括能力、逻辑推理能力和运算求解能力的好素材，在教学中应充分加以利用.

参考文献

[1] 严士健，王尚志主编.数学（选修23）教师教学用书[M].北京：北京师范大学出版社，2012.6.

[2] 乔治·波利亚.数学的发现——对解题的理解、研究和讲授[M].北京：科学出版社，2015.8.

作者简介 刘正章（1968—），男，陕西旬阳人，正高级教师， 特级教师，陕西名师，主编数学书籍29部，发表文章103篇，主要钻研于中学数学教学及数学文化的研究.