试论数学教学中的“平衡”

于道洋 宁连华

【摘 要】 “平衡”是中华传统文化的重要观点，也是数学教学所追求的更高境界.数学教学中的平衡主要包含了教学内容、教学提示语、课堂处理方式、教学材料选取等方面，从以上几个角度入手可以对数学教学当中如何实现精妙的“平衡”展开论述，并结合具体课例详细阐释相应的教学设计、教学策略、预期和实际的教学效果.通过教学中各个环节的设计，数学课堂能在动态平衡中引领学生走向更高的层次.

【关键词】 平衡;启发用语;教学材料

1 研究背景

当前，数学教育工作者在优化教学策略、完善教育教学理论、提高教学境界等方面可谓用心良苦.在传统文化复兴和数学文化日渐引起人们重视的时代背景下，具有中国特色和中国气派的教学策略、教学风格热度渐升，逐步进入了研究者的视线.其中，“平衡”这一概念引发了笔者的浓厚研究兴趣，它既是我国优秀传统文化中的要义，又符合我国现代数学教育的理念、目标与追求：培养学生逻辑推理能力与数学直觉并重，数学基本能力与数学兴趣并重，这无疑都体现着一种平衡的意味.因此，笔者将结合个人的教学实践，从以下几个方面试图对数学教学中“平衡”的运用和把握展开论述和探究.

2 数学教学“远与近”的平衡

2.1 教学内容的“远与近”

著名教育家杜威在他的名著《思维与教学》中写到：“在地理科里，儿童绝不喜欢研究乡土的环境，却神往于大海高山.在语文科里，他们很不愿意描写切身的经验，而畅写着深文奥义……相熟的和相近的本身并不能引起思维，只有拿它们来了解陌生的和相远的才有用处.”这启发我们，在设计教学内容时，应当注意“远与近”的平衡，也即现实生活中频繁接触到的事物与抽象思辨话题的配置比例.为深入阐发这一分论题，特举例如下.

笔者在为高中学生讲解平面向量时，提到了“建立坐标系”的解题策略.显然，学生对于高中数学题目中的各类技巧并无太多兴趣，因为这距离他们太“近”了.基于这样的现实情况，笔者从“数学哲思”的角度进行了新的教学设计.首先告诉学生，“坐标系绝不仅仅是一种数学工具，事实上，它教会我们思考问题要从两个维度出发：纵向看历史，横向看世界.时常回望原点，环顾不同象限，才能找准人生的坐标”.这番话一出，学生顿时来了兴致，因为这距离他们比较“远”，在平素学习中也从未有过这样的思索.笔者因势利导，进一步提出“高中数学的世界里，我们只见过平面直角坐标系、空间直角坐标系、极坐标系，其实这个大家族里的成员还有球坐标系，柱坐标系等等.你自然会问，不同的坐标系之间可以相互转换吗，当然可以.有时候，变换了坐标系，也是变换了一种评价体系和衡量尺度.你无法改变社会的评价，但你可以控制自己内心的标准.我们的生命历程，就是发掘、体会更多评价方式的历程，当我们真正学会了认识自己，才能心安，心定，专注于真正重要的事情”.这引发了学生更加强烈的思考欲望，最后，笔者回到他们熟悉的“建系”技巧，只不过又将距离拉“远”了一些：“通过建立坐标系，原来凌乱无序的事物被瞬间统一在了某个系统之内，这一方法才因之成为解题的利器”.至此，学生对于建立坐标系这样一个平凡技巧的认识焕然一新.

2.2 教学启发用语的“远与近”

在数学的课堂教学环节中，教师常常需要根据学生掌握情况使用启发式教学用语以推进教学进程.每每谈到启发用语，数学教育领域研究者们通常想到早在数千年前孔子的名句“不愤不启，不悱不发”，它道出了启发式教学的真谛.而笔者此处意在强调这句话的后半部分：举一隅不以三隅反，则不复也.这句话的字面意思是十分容易理解的，然而，它也恰恰暗示了另外一层含义：不是所有的学生都能举一反三，这是教学过程中客观存在的现实情形.这一点应当引起数学教育工作者的注意，面对领悟能力不同的学生，应当使用“远近高低各不同”的教学启发用语.对于课堂中使用的提示语，笔者举例如下：

设函數f（x）=x·2x+x，A0为坐标原点，An为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N*）的点，向量an=∑nk=1Ak-1Ak，i=（1，0），设θn为an与i的夹角，则∑nk=1tanθk=.

在为高三学生讲解上述题目时，笔者先提出了一个问题：“这道题的本质是在求什么？”，这是较“远”的提示语，对于班上学习能力较强的学生，意在启发他们透过此题纷繁的符号表达直击本质.而这对于学生的确难度不低，于是笔者进一步给出稍“近”的提示语：“向量an的坐标实际上只与谁有关？”，如此一来，绝大部分学生都能够找到解题的切入点.在解题结束后，笔者又给出了一句较“远”的提示语：“解决这道题目，你们用了哪些提示语来帮助自己推进解题过程？”，这一问法意在启发学生做解题后的自我反思，强化元认知，对自己的思维过程进行回溯，从而提高其解题能力.

3 无意识处理与有意识处理的平衡

在数学教学当中，教师往往习惯于有意识处理，即对题目与知识点进行详尽的讲解.但某些情形下，适度采用无意识处理也许会收到事半功倍之效.例如，在为即将升入高中的学生讲解因式分解一节时，笔者设置了这样几道习题：（1）x3-3x2+4;（2）x3-9x+8;（3）x9+x6+x3-3.面对中考成绩接近满分的几名学生，笔者讲解了上述题目的因式分解过程之后，并没有立刻提出任何问题，而是继续讲解下一类因式分解方法.因为，笔者希望通过此处的无意识处理，让学生自然产生好奇：一个多项式能够进行因式分解的判断依据是什么.这比教师进行有意识处理，也就是强行灌输的效果显然会好得多.为了让这种无意识处理收到预期的效果，我在上述习题的选择上做了“有意识处理”，即满足因式分解定理的多项式和不满足的均选入习题，如此一来，学生在寻找规律的过程中遭遇到挫折，便自然产生疑问.果然，该讲解结束时，学生提问：“起初我找到的规律是满足各项系数和为0的才可以因式分解，但是题目当中出现了反例”.此时，教师再给出因式分解定理，然后进行解释：“满足该定理的一定可以因式分解，不满足的未必不能因式分解，但是有了该定理作为判断依据，本身已经对解题产生了重要的作用.”至此，无意识处理的作用得到了展现，学生对因式分解的理解也上升了一个台阶.

4 教学材料“新与旧”的平衡

在数学教学的新课引入环节，如何巧妙地利用学生已有的知识引导学生接受新知，是对每一位数学教育工作者的考验.在此过程中，新材料與旧知识的取舍和使用比例，无疑决定着引入的效果，因此，教师需要找寻其中的平衡.谈到教学材料新与旧的选择，不能不提到维果斯基的“最近发展区”理论，找准学生的最近发展区，才能把握好新旧知识之间的平衡.

例如，在为几名准高一学生讲解初升高衔接课当中的乘法公式部分时，笔者事先了解到，他们的中考成绩十分优异，且已经学习过完全立方公式和基本的排列组合知识.因此，笔者做了如下设计：首先请他们写出（a+b）n，n=2，3，4的各项展开式，并寻找规律.随后，将学生找到的各项系数规律加以总结规范，写出杨辉三角，再以杨辉三角作为新旧知识的交汇点引出二项式定理.对于学生而言，排列组合与完全平方（立方）公式均是旧知识，但他们从未想过两者之间有何种联系.因此，笔者给出这种教学设计的意图恰恰在于，向学生揭示“二项式定理的本质是用排列组合的方式在各项当中选择因式参与运算”，从而在学生的新旧知识之间建立联系，拓宽他们思考的维度，使学生对数学产生更为整体化的认识.

5 结语

正所谓“致广大而尽精微，极高明而道中庸”，中庸一词的核心恰恰在于不偏不倚的平衡.平衡，不仅是数学教学中值得深思的关键点，更是我国优秀传统文化所强调的核心思想，在传统文化的语境中，平衡，是动态的，是处于不断发展变化当中的.正因如此，平衡是一种难以言传、难以把握、难以到达的至高境界，也是一种难以量化、难以测评的数学教学的高水准、高品位.为了缩短与这样的高境界、高水准之间的距离，笔者认为既应当从传统文化的养料中挖掘教育智慧为数学课堂所用，又应当对大量的讲课、听课、评课的课堂案例进行系统总结，从课堂引入、教学用语等方面将“平衡”落实为具体的教学设计，以服务于此后的课堂教学.因为从某种层面而言，数学教学既是一门科学，又可以称作一门艺术，其分寸、火候的拿捏，是教学工作者经验、智慧、知识面等多个因素的综合作用.教无定法，贵在得法，只有在长期的教学实践中不断摸索总结，方能达到“运用之妙，存乎一心”的教学境界，也方能在多种教学策略的动态平衡中引领学生走向更高的层次.

作者简介 于道洋（1996—），男，山东济南人，南京师范大学数学科学学院硕士研究生，研究方向为数学教育.

宁连华（1966—），男，江苏丰县人，南京师范大学数学科学学院教授，博士生导师，研究方向为数学教育.