苏计峰
近日,笔者发现了关于三角形不等式的如下一个基础性结论:
定理 在△ABC中,a,b,c为其三边长,p为其半周长,R,r分别为其外接圆和内切圆半径,则有
p4-2(2R2+10Rr-r2)p2+(4R+r)3r≤0.①
证明 设△ABC的面积为S,若用Π表示循环积,则由正弦定理及A+B+C=π知
p=12a+b+c=RsinA+sinB+sinC=RsinA+2sinB+C2cosB-C2
=R2sinA2cosA2+2sinπ-A2cosB-C2=2RcosA2sinA2+cosB-C2
=2RcosA2cosB+C2+cosB-C2=4RcosA2cosB2cosC2=4RΠcosA2.
由S=12bcsinA=rp及二倍角公式、正弦定理知
r=Sp=12bcsinA4RΠcosA2=2R2sinAsinBsinC4RΠcosA2=4RΠsinA2.
因此不等式①等价于
4Πcos4A2-Πcos2A2-20ΠsinA2cos2A2+8Πsin2A2cos2A2+4ΠsinA2
+12Πsin2A2+12Πsin3A2+4Πsin4A2≤0.②
由对称性不妨设A是△ABC的最小内角,那么有0 由ΠcosA2=12cosA2cosB+C2+cosB-C2=12cosA2cosB-C2+sinA2及ΠsinA2=12sinA2cosB-C2-cosB+C2=12sinA2cosB-C2-sinA2知 4Πcos4A2-Πcos2A2-20ΠsinA2cos2A2+8Πsin2A2cos2A2 +4ΠsinA2+12Πsin2A2+12Πsin3A2+4Πsin4A2 =14cos4A2cosB-C2+sinA24-14cos2A2cosB-C2+sinA22 -52sinA2cos2A2cosB-C2-sinA2cosB-C2+sinA22+12sin2A2cos2A2cos2B-C2-sin2A22+2sinA2cosB-C2-sinA2+3sin2A2cosB-C2-sinA22+32sin3A2cosB-C2-sinA23+14sin4A2cosB-C2-sinA24 =14cos4A2cos4B-C2+cos4A2sinA2cos3B-C2+32cos4A2sin2A2cos2B-C2 +cos4A2sin3A2cosB-C2+14cos4A2sin4A2-14cos2A2cos2B-C2-12cos2A2sinA2cosB-C2-14cos2A2sin2A2-52sinA2cos2A2cos3B-C2-52sin2A2cos2A2cos2B-C2 +52sin3A2cos2A2cosB-C2+52sin4A2cos2A2+12sin2A2cos2A2cos4B-C2 -sin4A2cos2A2cos2B-C2+12sin6A2cos2A2+2sinA2cosB-C2-2sin2A2+3sin2A2cos2B-C2-6sin3A2cosB-C2+3sin4A2+32sin3A2cos3B-C2-92sin4A2cos2B-C2+92sin5A2cosB-C2-32sin6A2+14sin4A2cos4B-C2-sin5A2cos3B-C2+32sin6A2cos2B-C2-sin7A2cosB-C2+14sin8A2=14cos4A2+12sin2A2cos2A2+14sin4A2cos4B-C2 +sinA2cos4A2-52sinA2cos2A2+32sin3A2-sin5A2cos3B-C2 +(32sin2A2cos4A2-14cos2A2-52sin2A2cos2A2-sin4A2cos2A2+3sin2A2-92sin4A2+32sin6A2)cos2B-C2+sin3A2cos4A2+52sin3A2cos2A2-12cos2A2sinA2+2sinA2-6sin3A2+92sin5A2-sin7A2·cosB-C2+14sin4A2cos4A2-14sin2A2cos2A2+52sin4A2cos2A2+12sin6A2cos2A2-2sin2A2 +3sin4A2-32sin6A2+14sin8A2 =14cos4B-C2+2sin3A2-32sinA2cos3B-C2 +4sin6A2-6sin4A2+94sin2A2-14cos2B-C2+-2sin3A2+32sinA2cosB-C2 +-4sin6A2+6sin4A2-94sin2A2 =14cos4B-C2-cos2B-C2+2sin3A2-32sinA2cos3B-C2-cosB-C2 +4sin6A2-6sin4A2+94sin2A2-14cos2B-C2-1 =14cos2B-C2-1cos2B-C2+42sin3A2-32sinA2cosB-C2+44sin6A2-6sin4A2+94sin2A2 =14cos2B-C2-1cos2B-C2+42sin3A2-32sinA2cosB-C2+42sin3A2-32sinA22 =14cos2B-C2-1cosB-C2+4sin3A2-3sinA22 =14cos2B-C2-1cosB-C2-sin3A22≤0, 即不等式②成立,從而不等式①成立,证毕. 从证明可以看出,不等式①取等号的条件是cos2B-C2=1或者cosB-C2=sin3A2. 当cos2B-C2=1时,由于0