均值代换 魅力无穷

在形如x+y+z=a（a≠0）中，我们设用x=a3+t1，y=a3+t2，z=a3+t3， 其中t1+t2+t3=0，进行代换，这种代换通常称为均值代换.当几个变量的和已知，证明一个关于这几个变量的对称不等式或求解代数式的最值等有关问题时，用均值代换法可以把分散的条件集中起来，把已知和结论联系起来，巧用“均值代换”解题可起到事半功倍的效果.本文举例予以说明.

1 證明不等式问题

例1 （第25届国际数学奥林匹克试题）已知x，y，z≥0， 且x+y+z=1， 求证：0≤xy+yz+zx-2xyz≤727.

证明 不妨设x≥y≥z， 则x+y≥23，z≤13， 可令x+y=23+t，z=13-t0≤t≤13，

则xy+yz+zx-2xyz=zx+y+xy1-2z≤zx+y+x+y221-2z

=13-t23+t+1423+t213+2t =727-t24+t32=727-t2212-t≤727.

又xy+yz+zx-2xyz=yz+zx+xy1-2z≥0.

综上，0≤xy+yz+zx-2xyz≤727.

评注 由于题中x，y，z具有轮换对称性，不妨假设x≥y≥z，避免了讨论，给本题的证明带来了一定的方便.这里之所以令x+y=23+t，z=13-t0≤t≤13，是因为代数式xy+yz+zx-2xyz通过基本不等式放缩变形，可将式中的xy转化为x+y的和的形式.

例2 已知正数a、b、c 满足a+b+c=1， 求证：a+5+b+5+c+5≤43.

证明 设a+5+b+5+c+5=m，a+5=13m+t1，b+5=13m+t2，

c+5=13m+t3，其中t1+t2+t3=0， 则

a+5+b+5+c+5=13m+t12+13m+t22+13m+t32，整理得，16=3×19m2+2×13mt1+t2+t3+t12+t22+t32=13m2+t12+t22+t32≥13m2，

所以m2≤48， 即m≤43.故a+5+b+5+c+5≤43.

评注 本题也可模仿例1，设a=13+t1，b=13+t2，c=13+t3，其中t1+t2+t3=0进行求证.这里着眼于结论，先通过设值m=a+5+b+5+c+5，再用a+5=13m+t1，b+5=13m+t2，c+5=13m+t3，进行均值代换，得出关于m的一个不等式，问题则迎刃而解.

2 证明等式问题

例3 若a+b+c=0，a3+b3+c3=0. 求证：a2021+b2021+c2021=0.

证明 因为a+b=-c，设a=-c2+t，b=-c2-t， 代入a3+b3+c3=0，得-c2+t3+-c2-t3+c3=0，即3cc24-t2=0， 所以c=0或t=±c2.

①若c=0，则a=-b， 有a2021+b2021+c2021=0.

②若t=±c2， 即a=0，b=-c或a=-c，b=0， 都有a2021+b2021+c2021=0.

综上， a2021+b2021+c2021=0.

评注 本题条件中两个等式a+b+c=0，a3+b3+c3=0，含有三个变量，是无法求出a，b，c的值的，于是视c为常数，设a=-c2+t，b=-c2-t，用均值代换.其证法新颖、独特，让人耳目一新.3 求最值问题

例4 （第7届美国数学奥林匹克试题）已知a，b，c，d，e是满足a+b+c+d+e=8，

a2+b2+c2+d2+e2=16的实数，试求e的最大值和最小值.

解 因为a+b+c+d+e=8，所以a+b+c+d=8-e，设a=8-e4+t1，b=8-e4+t2，c=8-e4+t3，d=8-e4+t4， 且t1+t2+t3+t4=0.

于是a2+b2+c2+d2=8-e4+t12+8-e4+t22+8-e4+t32+8-e4+t42

=48-e42+8-e2（t1+t2+t3+t4）+（t12+t22+t32+t42） =48-e42+（t12+t22+t32+t42）≥8-e24.当且仅当t1=t2=t3=t4=0时，取等号.

又由a2+b2+c2+d2+e2=16得：a2+b2+c2+d2=16-e2，

所以16-e2≥8-e24， 即e5e-16≤0，所以0≤e≤165.

当a=b=c=d=65时，e取最大值165;

当a=b=c=d=2时，e取最小值0.

评注 由于本题求的是e的最大值和最小值，因而e与a，b，c，d的“地位”是不同的，于是将两个条件等式中的e移项至等号的右侧，余下a，b，c，d具有轮换对称性，从而联想用均值代换法求解.其解法独辟蹊径，充分彰显了“均值代换”的神奇魅力！

例5 （第31届IMO国家集训队测试题）设实数x，y，z满足x+y-z+1=0，xy-z2+7z-14=0， 试问：当z为何值时x2+y2取最大值？最大值是多少？

解 由于x+y=z-1， 从而设x=z-12+t，y=z-12-t， 代入xy=z2-7z+14，即z-12+tz-12-t=z2-7z+14，化简整理得，3z2-26z+55=-4t2≤0， 即

3z-11z-5≤0， 求得113≤z≤5，

又x2+y2=x+y2-2xy=z-12-2z2-7z+14=-z-62+9，所以当z=5时，x2+y2的最大值为8.

评注 由于x+y=z-1，xy=z2-7z+14，视x，y为方程的根，利用韦达定理可构造一元二次方程k2-z-1k+z2-7z+14=0，由Δ≥0， 也可得到3z2-26z+55≤0.

例6 （第8届希望杯高二试题）如果a+b+c=1，那么3a+1+3b+1+3c+1的最大值是.

解 由于a+b+c=1，令a=13+t1，b=13+t2，c=13+t3，其中t1+t2+t3=0，则（3a+1+3b+1+3c+1）2=（2+3t1+2+3t2+2+3t3）2

=（2+3t1）+（2+3t2）+（2+3t3）+22+3t1·2+3t2+22+3t2·2+3t3+22+3t1·2+3t3≤（2+3t1）+（2+3t2）+（2+3t3）+（2+3t1+2+3t2）+（2+3t2+2+3t3）+（2+3t1+2+3t3）=18+9（t1+t2+t3）=18.当且仅当t1=t2=t3=0，即a=b=c=13时取等号，所以（3a+1+3b+1+3c+1）max=32.

评注 由于题中a，b，c具有轮换对称性，其和为定值，于是联想到均值代换.再结合二元均值不等式，问题轻松获解.此解法新颖，别具一格，充分体现了均值代换的应用价值.

综上，构造恰当的“均值代换”是需要有技巧的，我们可根据题目的结构特征，经过合理的推理，探索出问题中隐藏的均值关系，是解题的关键.

作者简介 方志平（1965—），男，安徽安庆人，中学正高级教师，特级教师.研究方向：高中数学解题教学.向清华、北大输送了大批优秀学生，培养多名学生获全国高中数学联赛省赛区一等奖，发表文章100余篇.