“新中学三角体系”概述及其进一步思考

李锋雷 胡恩良

【摘 要】 “几何先行，三角跟进”，中学数学教学中，先对三角形做定性研究，引入相似三角形后，注重定量研究，先定性后定量的研究模式符合人们认知事物的一般规律.但正如张院士所说，这样的安排有三个遗憾：几何孤军奋战，三角壮志未酬，代数无人问津（具体可以参阅文献[1]）.张院士提出的“重构中学三角体系”对中学数学教育具有重要的意义.基于此，对其又进一步的思考——以正弦定理为工具，通过代数验证三角形全等判定法则.即在几何与三角的关系中，充分发挥代数的作用，使三角壮志得酬.

【关键词】 张景中;中学三角体系;代数;几何;三角

1 研究背景及其意义

几何与三角研究的对象都是图形，首先是最简单但内容依然丰富的三角形，几何侧重定性的研究，三角则侧重定量的研究，代数研究的对象是更为抽象的数与式的运算规律和方法，是解决数学问题的基本工具，也是几何和三角的工具[Symbolq@@].中学数学教学中，先对三角形做定性研究，为三角奠定基础，引进相似三角形后，便注重定量研究.先定性后定量，符合人们认知事物的一般规律，似乎是十分顺理成章的安排.但对比传统的三角教学，张景中院士提出的“新中学三角体系”认为：学生一旦掌握正弦定理，学习几何知识就如高屋建瓴，更能激发其主动性.现阶段课程中，正弦定理在高中阶段学习，从而正弦定理对几何内容的展现几乎没有[Symbolr@@].

该体系在中学教学实践中取得了不错的成果（在我国著名数学教育家张奠宙先生推动下， 宁波教育学院的崔雪芳老师在初一学生中做实验，得到很好的效果[Symbols@@]， 随后，华东师范大学李俊副教授指导的教育硕士王文俊老师对高中学生和老师做了更详细的实验与调查， 结果表明大部分学生和老师是比较欣赏和认可三角函数新定义体系的[Symbolt@@]，进一步研究该体系对中学数学教学具有重要的研究意义.基于此，在张景中院士的研究基础上，进一步思考，得到“新定义体系”下正弦定理对三角形判定法则的重新审视.即从代数的角度通过证明方程解的唯一性来证明分析三角形全等判定法则.

2 张景中院士提出的“新中学三角体系”概述

在传统的数学教材中，三角函数的教学从“比值”引入以“数”为逻辑线索展开，推理严密、层次分明、数学抽象性强.张景中院士以“用面积方法建立三角学，用单位菱形面积引入正弦”，并由此得出定义：“有一内角为α的单位小菱形的面积为角α的正弦，记作Sα=sinα ”.

由新定义容易得到正弦的几个基本性质，例如：sinA=sinπ-A，在正弦新定义的基础上，得到平行四边形面积公式：SABCD=AB·ADsinA=absinα，进一步得到三角形面积公式：S△ABC=12absinC=12bcsinA=12casinB，各项同时除以12abc，得到正弦定理

sinAa=sinBb=sinCc=2S△ABCabc.基于此，可得到一系列公式和定理：正弦和（差）角公式、勾股定理、余弦定义、正弦的勾股关系、余弦定理、相似（全等）三角形判定定理等等.有如下体系：

3 “新中学三角体系”的进一步思考——从正弦定理看“三角形有关定理”

在初中时，已经对三角形勾股定理、中位线定理、两边之和大于第三边、大角对大边等命题进行过证明，主要是从几何的角度进行推导证明.事实上，从数学的角度来讲这些定理的证明过程是多样的，体现了用数学进行分析的不同视角.下述证明均以方程的视角通过正弦定理加以分析.

3.1 勾股定理：a2+b2=c2

假设a2+b2≠c2.

由正弦定理可知，在Rt△ABC中，有asinA=bsinB=csinC，则有a2sin2A=b2sin2B=c2sin2C.由合分比定理可知a2+b2sin2A+sin2B=c2sin2C=c2，又因為a2+b2≠c2，故sin2A+sin2B≠1，又1=sin2B+cos2B，cos2B=sin2A即1=sin2B+sin2A，矛盾，故假设不成立，原命题成立.

3.2 中位线定理：DE∥BC，DE=12BC（或DE与BC不平行，DE≠12BC）

如图1所示△ABC，D、E分别为AB、AC的中点.假设DE∥BC，DE≠12BC（或DE与BC不平行，DE=12BC）.

由正弦定理，△ADE中：AEsin∠2=DEsin∠1，△ABC中：BCsin∠1=ACsin∠3=2AEsin∠3，故sin∠1=DE·sin∠2AE=BC·sin∠32AE，即DE·sin∠2=12BC·sin∠3.当DE∥BC时，∠2=∠3，即sin∠2=sin∠3，从而有DE=12BC，与已知矛盾，假设不成立，原命题成立;当DE与BC不平行时，∠2≠∠3，即sin∠2≠sin∠3，从而有DE≠12BC，与已知矛盾，假设不成立，原命题成立.

3.3 两边之和大于第三边：a+b>c

如图2所示，△ABC三边a，b，c，假设a+b≤c.

由正弦定理，asinA=bsinB=csinC，由合分比定理可知a+bsinA+sinB=csinC，已知a+b≤c，从而sinA+sinB≤sinC，sinC=sinA+B=sinAcosB+sinBcosA，即有sinA+sinB≤sinAcosB+sinBcosA，又cosB、cosA<1，故sinAcosB+sinBcosA

3.4 大角对大边，小角对小边

如图3所示，假设当aB.

由正弦定理可知，asinA=bsinB，当△ABC为锐角三角形或直角三角形时，又函数y=sinx在0，π2上单调，又A>B，即sinA>sinB，故a>b，与已知矛盾，故假设不成立，原命题成立;当△ABC为钝角三角形时，由图三可知，sinC=sinC′，同理推出矛盾，故假设不成立，原命题成立.

4 “新中学三角体系”的进一步思考——从正弦定理看“三角形全等判定”

在“新体系”中，以三角为主线将初等数学的大量知识串起来，基于三角知识用代数展开几何.故基于正弦定理用代数展开全等三角形判定就是“新体系”下的一种探索，这在之前是没有的，对进一步研究该体系具有重要意义.

4.1 两边一角：SAS

如圖4所示，已知B，a，c，求证△ABC唯一.

证明 由正弦定理asinA=csinC ，C=π-A+B，故asinA=csinA+B，又sinA+B=sinAcosB+sinBcosA，整理得tanA=sinBca-cosB ，已知B，a，c，故tanA的值唯一确定，又y=tanx在0，π2，π2，π上均单调（当A=π2，在HL处讨论），故A值唯一确定，从而C值一定，再由正弦定理bsinB=csinC，即b=csinBsinC可知b唯一确定，故三边确定，三角形唯一.

4.2 两角一边：ASA、AAS

如图4所示，已知a，B，C（或b，B，C），求证△ABC唯一.

证明 已知B，C，故A值唯一确定，从而由正弦定理asinA=bsinB=csinC可知，b、c唯一确定，故三边确定，三角形唯一.

4.3 直角三角形：HL

如图5所示，已知B=90°，b，c，求证△ABC唯一.

证明 由正弦定理bsinB=csinC ，整理得sinC=csinBb ，已知B=90°，b，c故sinC的值唯一确定，又因为C必定为锐角，y=sinx在0，π2上单调，故C值唯一确定，从而A值一定，再由正弦定理asinA=csinC，即a=csinAsinC可知a唯一确定，故三边确定，三角形唯一.

4.4 特殊情况的SSA

如图6所示，在△ABC中， 点D，E分别在BC，AB上，BD=BE.如果AD=CE， 那么△ADB与△CEB全等吗？写出结论， 并说明理由.

如上图所示做两条辅助线，通过两次证明全等，最后可以得到所求两三角形全等.最后得出结论：当两个三角形有两边和其中一边的对角对应相等时， 如果相等的角是直角或钝角的时候， 这两个三角形全等， 这就是满足SSA的两个三角形全等的特殊条件[Symbolu@@].即当B为钝角或直角时，即可满足特殊情况下的SSA.

由正弦定理asinA=bsinB，整理得sinA=asinBb，已知a、b、B，故sinA值唯一确定，又由正弦函数在0，π的单调性可知，此时A值不唯一确定，且有两个解，故一般情况下，SSA不能判定三角形全等.若此时，已知角B为直角或者钝角（或已知A的范围），则所求角A一定为锐角，故就不存在多解的情况.

5 结语

可以发现文中用到了正弦函数的单调性，当然也可以“去函数化”，结合单位圆对正弦的定义，跳过函数单调性的运用直接得到正弦的多解性.在教学中，也可以带领学生初步接触正弦函数的单调性，帮助他们初步了解方程的解的个数与函数单调性之间的关系.故在“新体系”下，对三角学的研究有很多可能，也有很多创新，需要进一步的完善.

以上以一种不同的视角分析了“三角形判定法则”与有关定理的证明，说明在教学中，数学教师应对同一数学知识进行多角度的思考，增强对知识的融汇贯通和深刻理解，这样才能看到“不一样的风景[Symbolv@@]”.作为“研究型”中学数学教师应该时时跳出以往的数学教学范畴，从不同的角度来看待所教的数学知识虽然不一定要把这些“异样”的方法教授给学生[Symbolw@@]，但可以站在更高的角度去设计中学数学知识的教学.

参考文献

[1] 张景中.一线串通的初等数学[M].北京：科学出版社，2009.

[2] 张景中，彭翕成.一线串通的初等数学[J].数学通报，2010，49（02）：15.

[3] 崔雪芳.数学中用“菱形面积”定义正弦的教学实验[J].宁波大学学报（理工版），2011，24（02）：128132.

[4] 王文俊.高中阶段“用面积定义正弦”教学初探[D] .上海：华东师范大学，2008.

[5] 彭象华.“失误”岂能错过探究走出“迷惑”——“满足‘SSA的两个三角形何时全等”拓展课教学设计与分析[J].中国数学教育，2018（Z3）：6568.

[6] 王佩，赵思林.对人教A版高中数学教材中几个问题的商榷[J].教学与管理，2018（04）：4244.

[7] 温建红，王列.从不同视角解析数学教科书中的习题——以“漏壶”问题为例[J].数学通报，2016，55（04）：3336.

作者简介 李锋雷，云南师范大学数学学院硕士研究生;研究方向：数学史与数学教育.

胡恩良（1975—），男，博士，教授，硕士生导师，主要研究离散数学与数学教育;研究方向：数学史与数学教育.