契比雪夫定理在无理函数积分中的应用

冀庚

【摘要】无理函数的不定积分是高等数学中的核心内容之一，根式换元是无理函数积分的一种重要方法，而根式换元的难点是判断能否有理化及如何有理化.本文利用契比雪夫定理给出了一类无理式可以有理化积分的判别方法，并给出了有理化时如何作换元有理化的方法.

【关键词】 契比雪夫定理;不定积分;换元积分法;有理化

高等数学教材中有大量的形如∫xm（a+bxn）pdx的不定积分，其中，对n=2，p=12，m为整数的情形，教材中给出的三角换元法，学生基本可以掌握，但对于一般情形的∫xm（a+bxn）pdx，教材通过个别例子给出了根式换元的方法，学生虽然有了根式换元的思想，但在解决这类积分时仍会遇到两个问题，一是不能确定是否可以用根式换元，二是不知如何选择换元关系才能顺利有理化，本文介绍的契比雪夫定理主要解决这两个问题.

一、契比雪夫定理

定理 不定积分∫xm（a+bxn）pdx（m，n和p为有理数），仅在下列三种情形可化为有理函数的积分：

（Ⅰ）p为整数时，設x=tN，其中N为分数m，n的公分母;

（Ⅱ）m+1n为整数时，设a+bxn=tN，其中N为分数p的分母;

（Ⅲ）m+1n+p为整数时，设ax-n+b=tN，其中N为分数p的分母.

二、契比雪夫定理的应用

综上，对于∫xm（a+bxn）pdx这类不定积分，只要符合契比雪夫定理中的三种情形，通过定理中给出的换元方法，都可以实现被积函数有理化，所以，对于被积函数为无理函数的不定积分，契比雪夫判别法很有效.熟练掌握该定理的应用，可以避免无效的换元，不走弯路.比如在例3中，学生遇到这类积分，往往会设41+x4=t来换元，代入积分计算就会发现很难实现有理化，这也是学生常常会遇到的一种情况.另外需要注意的是，契比雪夫判别法虽好，但有时不一定是最简单的解题方法.

对比两种解法，方法一用根式换元运算复杂，方法二用三角换元运算更加方便简捷.我们在学习时，不仅要会做题，还要追求一题多解、巧解、简解，灵活解题，培养发散思维与创新思维，提高综合素质.

另外，在不定积分中，初等函数的积分，如∫1+x3dx看起来不复杂，但利用契比雪夫定理可判别在初等函数范围内积不出.因为 1+x3=x0（1+x3）12，p=12不是整数，不符合情形Ⅰ;m=0，n=3，m+1n=13不是整数，不符合情形Ⅱ; 而m+1n+p=56不是整数，不符合情形Ⅲ.由契比雪夫定理，被积函数不能有理化.这不是因为积分方法不够，而是因为被积函数的原函数不是初等函数.

学生在不定积分的学习中，需要通过大量做题积累各种方法、技巧，灵活选择方便简捷的方法，从而提高解决问题的能力.

【参考文献】

[1]费定晖，周学圣.吉米多维奇数学分析习题集题解[M].济南：山东科学技术出版社，2005.

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[3]张顺燕.数学的思想、方法和应用[M].北京：北京大学出版社，2017.

[4]张国楚，徐本顺.文科高等数学教程[M].北京：教育科学出版社，1996.