十年来全国高考数学卷数论试题分析及教学启示

孙庆括 潘腾

【摘要】本文对近十年全国高考数论试题特点、典型试题及命题思路进行分析，以期为高中数学教师教学提供启示与参考.

【关键词】数论;高考数学;启示

数论属于高中数学选修内容，在高考数学命题的范围内.数论是研究整数性质的一门学科，其知识内容的抽象性、研究方法的算术性及数学思维培养的逻辑性和灵活性是落实数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等数学学科核心素养的良好载体[1]，备受高考数学命题者的青睐.另外，2019年颁布的《国务院办公厅关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》中明确指出，高考命题不再分文理科，取消考试大纲，以《普通高中数学课程标准（2017年版）》为依据.因此，开展高考数论试题研究，不仅为命题者根据课标核心素养要求命制更加科学的试题提供参考，也为广大高中教师使用数论选修教材进行教学提供启示.

一、试题特征分析

统计发现，近十年全国高考数学试题几乎每年均有数论知识出现，平均每年2～3题，全国卷和地方卷均有涉及，理科卷与文科卷相比，理科卷出现题数较多，占比在64%左右.

从题型上看，选择题、填空题和解答题均有出现，其中选择题出现最多，占比达50%;解答题次之，占36%左右.另外，文科试卷多以选择题和填空题形式出现，理科试卷三种题型均有涉及，并以解答题的形式出现次数较多.从难度上看，总体来说试题难度中等偏上，文科试卷相对较易，理科试卷较难，部分试题甚至以压轴题的形式出现，难度较大.从考查的知识点上看，涉及集合、函数、数列、概率、排列组合、算法程序框图、平面几何等，其中50%的数论试题集中在数列领域，这可能与数论本身性质有关.从内容分布上看，取整函数、奇数和偶数、约数和倍数、不定方程和同余问题均有涉及，其中取整函数、奇数和偶数问题出现的频率较高，特别是取整函数，很多省份的试题均有所涉及.值得说明的是，仿照“杨辉三角形”构造新数表或数阵考查数列通项公式成为近年来新的数论问题命题热点，如2017年全国Ⅰ卷理科第12题.还有部分数论试题与数学文化背景相结合，如2018年全国Ⅱ卷理科第8题哥德巴赫猜想素数问题、2018年浙江卷第11题“百鸡问题”中的不定方程问题、2016年全国Ⅱ卷文科第9题用秦九韶算法求最大公约数问题、2013年和2012年湖北卷中的“多边形数”和“回文数”问题.

二、试题赏析与评析

1.特殊整数

（1）素数

真题1  （2018年·全国Ⅱ卷·理8）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）.

A.112 B.114 C.115 D.118

评析 此题将我国著名数学家陈景润的辉煌成就和哥德巴赫猜想作为背景材料，结合概率内容考查学生能力，难度不大，但无疑会引发学生对数学文化的关注，具有很强的现实意义.不超过30的素数有10个，两素数之和为30的素数有7，23;11，19;13，17.共3对，故有3C210=115.故答案为C.

（2）回文数

真题2 （2012年·湖北卷·理13）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22，121，3443，94249等.显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.则：

（Ⅰ）4位回文数有个;

（Ⅱ）2n+1（n∈N+）位回文数有个.

评析 “回文”是古今中外文学作品中都有的一种特殊修辞方式，是正读反读都能读通的句子，有回文诗、回文联等，如“灵山大佛，佛大山灵”.以“回文数”命制试题，体现了数学的对称之美[2].此题利用“回文数”的概念考查学生的排列组合知識和数学理解能力，较为新颖.2位“回文数”形如aa，共有9个[3]：11，22，…，99;3位回文数形如aba，共有C110C19=90个;2k位回文数形如a1a2…akak…a2a1，共有9×10k-1个，2k+1位回文数形如a1a2…akbak…a2a1，共有9×10k个.故4位回文数有9×10个，2n+1位回文数有9×10n个.

（3）多边形数

真题3 （2013年·湖北卷·理14）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为n（n+1）2=12n2+12n.记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N（n，3）=12n2+12n;正方形数N（n，4）=n2;五边形数N（n，5）=32n2-12n;六边形数N（n，6）=2n2-n……可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）=.

评析 多边形数最早源自毕达哥拉斯学派，强烈反映了该学派将数作为几何思维元素的精神.把多边形数融入高考试题，不仅能考查学生分析和解决问题的能力，更有较强的传播数学文化导向[4].推理可得N（n，k）=k-22n2+4-k2n，代入可得N（10，24）=1000.

（4）奇数和偶数

评析 本题属于探索型问题，分为探索存在型和探索不存在型两种类型，其中数列中的很多题型为不存在类型，多涉及数论中的整数奇偶性问题，利用等式两边奇数和偶数的矛盾来解题.需要特别说明的是，此题属于形如2bk=ak+ck（k∈Z）的指数型模型，解题过程中一定要注意两边同时除以或乘qk，否则解题就无法进行.

（5）倍数和约数

2.取整函数

评析 此题把取整函数与组合公式、数列知识交汇起来考查，设计新颖，构思精巧.解题的关键是正确理解[x]的含义，考查学生对新知识的接受、理解和应用能力.当x∈32，2时，[x]=1， 则Cx8=8x∈4，163;当x∈[2，3）时，[x]=2， 则Cx8=56x（x-1）∈283，28.故答案为D.

真题7 （2015年·湖北卷·理10）设x∈R，[x]表示不大于x的最大整数.若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[tn]=n同时成立，则正整数n的最大值是（ ）.

A.3B.4C.5D.6

评析 本题考查逆向思维，根据[t]的值反推t的取值范围即可，如[t]=1，则t∈[1，2）;[t2]=2，t2∈[2，3），依次类推可得n的最大值为4.故答案为B.

真题8 （2016年·全国Ⅱ卷·理17）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=7，S7=28.记bn=[lg an]，其中[x]表示不大于x的最大整数，如[0.9]=0，[lg 99]=1.（Ⅰ）求b1，b11，b101;（Ⅱ）求数列{bn}的前1000项和.

评析 此题把等差数列与取整函数结合起来考查，属于综合题，但难度不大，需要正确理解[x]的含义.设数列{an}的公差为d，由题意有7+21d=28，可得d=1，故an=n.已知b1=[lg 1]=0，b11=[lg 11]=1，b101=[lg 101]=2，进而可求得{bn}的前1000项和为1×90+2×900+3×1=1893.

3.不定方程

不定方程是初等数论的重要内容，我国古代对不定方程的研究成果颇丰.2018年浙江卷第11题就以《张邱建算经》中的“百钱买百鸡”问题命制相关试题.多元一次不定方程可用观察法和辗转相除法求解，其他高次不定方程的求解方法有无穷递降法、余数分析法、因式分解法、约数分析法、奇偶分析法、判别式法等，不少不定方程求解难度较大，要综合使用多种方法.

真题9 （2007年·湖北卷·理21）已知m，n为正整数.（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>-1时，1+xm≥1+mx;（Ⅱ）对于n≥6，已知1-1n+3n<12，求证：1-mn+3n<12m，m=1，2，…，n;（Ⅲ）求出满足等式3n+4n+…+n+2n=n+3n的所有正整数n.

评析 第（Ⅲ）问就是一个不定方程求解问题.假设方程存在正整数解n0≥6，则3n0+4n0+…+n0+2n0=n0+3n0成立，即有3n0+3n0+4n0+3n0+…+n0+2n0+3n0=1，结合（Ⅱ）中结论知，当n≥6时，不定方程无解.经过验证不定方程的解只有n=2或3.该不定方程是埃斯柯特问题的一个特例，我国数学家柯召等人研究了更為一般的不定方程：xn+x+1n+…+x+hn=x+h+1n，并取得了重要研究成果，详见其著作《初等数论100例》.

4.同余问题

（1）剩余类

设m∈N，把全体整数按其对模m的余数r（0≤r≤m-1）归为一类，记为Kr.每一类Kr（r=0，1，2，…，m-1）均称为模m的剩余类.同一类中任一整数称为该类中另一数的剩余.Kr中各取一个数组成一个集合就是模m的一个完全剩余系.如m=6，{0，1，2，3，4，5}就是模6的一个完全剩余系.{1，5}是模6的一个简化剩余系.

真题10 （2011年·福建卷·文12）在正整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]=5n+kn∈Z，k=0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2011∈[1];②-3∈[3];③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④“整数a，b属于同一‘类”的充要条件是“a-b∈[0]”.其中正确结论的个数是（ ）.

A.1B.2C.3D.4

评析 此题属于创新题，源于选修3同余章节，主要考查对“类”的理解，难度不大.由2011除以5余1知①对;由-3=5×（-1）+2知-3[3]，故②错;整数集中的数被5除只能分为5类，故③对;若整数a，b属于同一‘类，故a-b除以5的余数为0，反之亦然，故④对.故答案为C.

（2）同余性质

如果两个整数a，b被正整数m除得的余数相同，则称a，b关于m同余，其中m称为模，也可以说a，b对模m同余，记作a≡b（mod m）.基本性质有：①若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）;②若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d（mod m）;③若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则ac≡bd（mod m）.

三、启 示

总体看来，数论知识成为高考试题的考查点，已是命题的新常态，与数列、函数、排列组合、算法、不等式等内容结合较多，特别是其与数列结合的题目构思精巧，综合性较强，有一定的难度和深度，能够有效考查高中生的数学核心素养和创新精神[5].因此，教师在日常教学中要有意识地把数论知识融入课堂，把选修数论教材与必修教学内容有机融合，多向学生介绍我国古代和现代数论研究取得的辉煌成就，这样不仅可以提高学生的学习兴趣，还可以培养其文化自信.一方面，教师要积极用好教材，开设部分专题进行教学，潜移默化地培养学生运用数论思维解题的意识.否则学生对数论知识不熟悉，基础知识不牢，很难在短时间内对综合度较高的数论试题进行解答.另一方面，教师要在平时的教学中有意识地进行数论知识链接教学.如对于数列的教学，教师就可以把与数论有关的整数的整除性和奇偶性、不定方程、取整函数、同余等知识串联起来向学生介绍和讲解，从而拓展学生的视野，提高学生的抽象概括、推理论证、运算求解等综合素养.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]孙庆括.近十年高考数学文化命题的特征分析及启示[J].数学通报，2017（01）：49-54.

[3]王兴慧.初等数论[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2014.

[4]李春蕊，潘富格.析近5年高考中的数学文化试题[J].中学数学月刊，2018（09）：52-54.

[5]何正文.基于核心素养的多阶数学思维的培养[J].中学数学杂志，2019（01）：14-16.