巧用模型一题多解，提升解题应变能力

李璐华

【摘要】本文以一道中考数学试题为例，应用初中常见的几何模型，如母子模型、一线三等角模型、90°含半角模型，进行一题多解，突出体现解题突破时模型的呈现、联想、构造、应用等过程.通过巧用模型一题多解的训练锻炼学生思维，从而提升学生的解题应变能力.

【关键词】一题多解;母子模型;一线三等角模型;90°含半角模型

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出，模型思想的建立是学生理解和体会数学与外部世界联系的基本途径.模型思想是数学建模核心素养在初中数学课程内容中的具体体现，包括几何模型、代数模型.近年来，在各地中考数学试题中，出现了大量由一些几何模型演变、延伸而来的题目，这些题目虽然各不相同，但是解决的方法策略却是相通的，而且往往可以利用几何模型进行“一题多解”.一些常见的几何模型，如母子模型、一线三等角模型、90°含半角模型等，在解决问题时能够起到关键性的作用，下面以2017年深圳市中考数学第23题第（3）问为例，应用这些模型进行一题多解.

一、试题呈现

如图1所示，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（-1，0），B（4，0），交y轴于点C.

（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）;

（2）略;

（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长.

分析 本例题的第（1）问直接用待定系数法即可求出抛物线的一般式为y=-12x2+32x+2;第（3）问求BE的长度，需要先求出BC旋转后直线与抛物线的交点E的坐标，点E的坐标可由BC旋转后的直线所对应的解析式与抛物线的解析式联立得到，所以解决第（3）问的关键在于求BC旋转后的直线即直线BE的解析式.下面，以解题关键“求出直线BE的解析式”为例，应用初中数学中常见的几何模型进行一题多解.

二、一题多解

如图2所示，在△ABC的边AC上有一点D，使∠ABD=∠C，那么△ABC∽△ADB.此模型中，小三角形ADB在大三角形ABC内，且它们有公共角∠A、公共边AB，像子依母怀，故通常称为母子模型，也称共边共角模型.當∠ABC=90°时，如图3所示，称为射影图，射影图是母子模型的一种特殊情况.

在图1中，设直线BE与y轴交于点P，可形成△PBC，且∠PBC=45°，则可在y轴上取一点构造一个45°的角，即可构造出母子模型.

第（3）问已知直线BC旋转了45°得到直线BE，可以利用这个45°的角构造等腰直角三角形，从而构造三垂直型.

评注 在解法4中，从45°角出发构造了一个内含45°角的正方形，这正是常见的90°含半角模型.换一种思路，这种两角之间存在一半或一倍的关系，也可以看成是圆周角和圆心角的关系，于是可以将45°看成是某个圆的圆周角（如图14所示），从而找到问题的解决思路.

三、回顾反思

很多学生在解决综合性几何题目时找不到突破口，困扰他们的正是对常见几何模型的一知半解或一无所知.所以，教师在平时教学时，要引导学生在众多题目中提炼共性模型，抓住思维的“生长点”，为学生解决问题搭建思维“脚手架”.一叶知秋，题海不是解决问题的最好方法，教师只有深入研究试题和一些常见的几何模型，并引导学生去挖掘它们，在课堂上多问几个“还有其他解法吗”，才能真正实现“化题为型、凝题成链、结题成网”的目标.

波利亚提出：在拟订方案时应当回顾是否解过类似的问题，能否将问题转化为已解决的问题.一些常见的几何模型正是学生脑中“题库”与正确解题思路的“桥梁”，教师如果在平时的教学中能够指导学生将这样的“桥梁”搭牢、搭稳，创设学生思维的最近发展区，就可使学生在遇到问题时快速检索到正确的方法，从而真正提升学生的解题应变能力，找到其思维“发散点”.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]G·波利亚.怎样解题：数学思维的新方法[M].涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2002.

[3]陈锋，钟鸣.核心素养导向的中考数学试题评析：以“2019年北京市中考数学试卷”为例[J].中学数学（初中版），2019（08）：54-77.

[4]刘晓燕.浅谈初中数学中的半角模型[J].数码设计，2017（13）：84-85.