现象教学：让数学教学更自然

孟俊

[摘  要] 现象是比情境更真实的学习素材，现象教学主张“回到问题本身”，强调用现实的素材去观察世界、思考世界、表达世界. 文章借用现象教学观点设计了“直线与圆的位置关系”课程，进行了课堂实践教学，并给出了设计原理分析和实践结果评价.

[关键词] 直线与圆;现象教学;教学设计

现象教学主张“回到问题本身”，提倡面向现实世界，通过对现象的观察和思考，形成心理和符号的表征，形成自己的语言，使数学知识的生成和发展自然合理. 下面就以“直线与圆的位置关系”为例，谈谈现象教学视角下的概念教学.

■学情分析

上课班级是高一（11）班，学生的基础较好，但是在探索问题时，思维的深度和广度相对薄弱. 通过积极参与学生的思维，发现和解决教学活动中的问题，理解和掌握数学思想和方法，在教学中及时关注学生反馈的信息，循序渐进地开展教学，为后面的学习铺平道路.

■教材分析

直线和圆是学生熟悉的图形，初中平面几何对直线与圆有了一定的研究. 本节课在这基础之上，进一步研究直线与圆的位置关系，深刻理解几何问题代数化的重要性. 这一课进一步增强了学生观察、概括、探究问题的能力，为下面圆与圆的代数研究积累经验.

教学的目标：

（1）掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离;

（2）会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系;

（3）会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题，提高学生的思维能力.

教学的重难点：直线与圆的三种位置关系的判断方法及其运用.

■教学实录

1. 现象呈现

师：请同学们拿出纸和笔，一起来画一条直线与一个圆.

师：你发现直线与圆存在怎样的位置关系呢？

生：有三種位置关系：

师：初中讲过的直线与圆有什么位置关系呢？

生：相交、相切、相离.

师：很好. 我们发现了直线与圆的三种位置关系，如何度量呢？

生：以公共点的个数可以判断直线与圆的三种位置关系：

师：图1和图3的公共点的个数是清楚的，因此很容易得到相离和相交的位置关系. 但是判断图2的公共点是一个还是两个并不容易，不易判断是否相切.

追问：如果公开点的个数不易判断，该怎么办？

生：我们需要知道直线l和圆O的方程，联立方程后确定解的个数，从而得到交点的个数.

师：要联立方程，我们就要知道直线和圆的方程，这就需要建立直角坐标系了. 大家能否类比两条直线的交点知识研究直线与圆的位置关系？

生：设圆O：x2+y2+Dx+Ey+F=0，直线l：Ax+By+C=0，联立方程Ax+By+C=0，x2+y2+Dx+Ey+F=0，根据解的情况来判断直线与圆的三种位置关系.

师：很好. 我们知道，虽然这个数字是直观的，但有些细节是肉眼看不出来的. 这时，我们需要用计算的方法来量化和用数字来解释问题，而“形”和“数”之间的桥梁就是直角坐标系.

师：从方程的角度出发，分析了直线与圆的位置关系，把问题看清楚了. 现在让我们做这样一个实验性的探索.

问题：（1）在纸上画一条直线，画出很多圆，这些圆都是同心圆;（2）在纸上画一个圆，在纸上移动尺子（将尺子的边缘当作直线）. 想一想：在变化的过程中，除了公共点的个数外，其他数量的变化是什么？

生：圆心到直线的距离以及半径都在改变.

师：请同学们在前面三张图中分别画出圆心到直线的距离以及半径.观察概括：从圆心到直线的距离d与半径r之间的关系和直线与圆的位置关系有什么联系？

生：当圆心到直线的距离d大于半径r时，直线与圆相离;等于半径r时，直线与圆相切;小于半径r时，直线与圆相交.

师：讲得很好. 在解析几何中，当我们知道圆心的坐标和直线的方程时，圆心和直线之间的距离就可以计算出来，这样我们就可以“量化”这个距离. 能具体一点吗？

生：设直线l：Ax+By+C=0，圆O：（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0），则圆心O（a，b）到直线l的距离d=■. 当d>r时，直线l与圆O相离;当d=r时，直线l与圆O相切;当d

设计意图：两种判断方法结合图像，以代数法通过计算来判断，将几何问题代数化，体现了“数形结合”的重要性. 通过抛出现象，让学生自己发现问题，解决问题，从而流畅地自主完成对直线与圆的位置关系的推导.

2. 现象表述

师：非常好！你能总结出几种判断直线与圆之间位置关系的方法？

生：两种方法：

设计意图：得到的两种判断方法，都是从“形”的角度出发，以“量”的关系来表示，从而使学生流畅地自主完成了直线与圆的位置关系的判断，体现了“数”与“形”的重要联系，实现了思维的“内化”和“优化”.

3. 现象应用

例1：已知直线4x+3y-40=0和圆x2+y2=144.

（1）判断它们的位置关系;（2）如果相交，弦长是多少？（解答略）

设计意图：引导学生比较判断直线与圆的位置关系的两种方法（代数法和几何法）的优缺点. 求弦长时可以求出交点的坐标，也可以由半弦长■、半径r及弦心距d所构成的“特征三角形”求解，更要强调“特征三角形”的重要性.

例2：自点A（-1，4）作圆（x+2）2+（y-2）2=1的切线l，求切线l的方程，并求切线的长. （解答略）

设计意图：进一步发现图形的重要性.通过几何画板的演示让学生独立思考，形成求切线的不同情形，同时提供给学生漏根后的补救方法，培养思维的严谨性.

师：本节课我们有什么收获？

生1：判断和研究直线与圆的位置关系有两种方法：几何法和代数法.

生2：解决问题时要数形结合，善于用几何法处理问题.

生3：……

设计意图：课堂总结是课堂教学不可缺少的部分，学生通过自主归纳本节课的主要内容、掌握的思想和方法，并在教师的指导下通过小组合作绘制思维导图，培养学生形成自主学习、独立思考、归纳合作等良好习惯，真正达到我们所倡导的现象教学.

■教学反思

1. 现象教学——在拓展研究中提高解决问题的能力

康托尔说过：“数学的本质在于它的自由.”开展丰富多样的课堂探究是实现数学自由的外在表现. 这堂课在教学设计上充分体现了探究式教学的理念，即现象教学所倡导的“回到问题本身”，而我们所研究的正是直面问题本身. 本节课的难点如何从代数和几何两个方面来刻画直线与圆的位置关系，如何提高学生的主观参与度. 笔者设置了直线与圆的公共点的个数不好判断的问题，在学生的最近发展区寻找现象，营造让学生跳一跳可以够到的感覺，激发学生的兴趣，让学生主动参与课堂活动. 对于圆心到直线的距离d与半径r的比较的探究，无论是设置动圆还是动直线，都充分让学生自由谈论，并让代表小组发言，让学生充分参与探究活动. 在探索的过程中，学生解决问题的能力自然会提高. 在真实现象面前，学生有了真实的思维，获得了自己真实的知识.

2. 现象教学——在知识构建过程中培养学生的思维能力

在现象教学中，当把直线与圆的位置关系作为需要知道的“现象”呈现给学生后，学生便进行了真实有效的思考，体验了自主形成知识的过程，形成了探究的意识和能力. 数学教学不仅是数学知识的传授，数学教育最重要的目标是通过数学知识的教学来培养学生的思维能力. 为了培养学生的思维能力，教师可以加深并通过有针对性的问题，拓展学生的思维. 在这节课中，教师通过抛出现象，让学生积极思考，引导学生积极参与整个教学过程，通过学生参与活动的全过程，学生的思维不断深化，在轻松愉快的课堂气氛中，自然而然地掌握了知识，提高了思维能力.

3. 现象教学——在合作探究的引领下强化学生问题意识

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：教师应鼓励学生积极主动地参与教学活动. 现象教学强调面对真实的素材，重在知识的自然生成，在对真实的素材进行思考时，人的思维自然流淌. 笔者认为，教师的启发和引导应与学生的自主探究和合作交流有机结合，使探究活动成为正常的课堂教学. 现象教学是一种开放的教学模式. 在本课中，学生自己画直线和圆，找出直线与圆之间的位置关系，并进一步研究判断方法——几何法和代数法. 这些思想和方法是在学生积极参与的过程中自然产生的. 学生在小组合作、生生之间的多维互动，激发学生强烈的学习兴趣，有利于学生“问题意识”的培养，学生在质疑、反思中形成独立思考的能力，真正培养了学生的“四基”和“四能”.

■结语

当知识教，学生成了知识的记忆者;当能力教，学生成了解题的熟练工;当现象教，学生成了开眼看世界的人. 给予学生现象，他们可以用数学的眼光去观察，用数学的思维去思考，用数学的语言去表达. 现象教学，让我们“回到问题本身”，让学生经历、体验数学知识产生发展的自然性和合理性，让概念自然流畅地生成，数学的课堂将充满乐趣、生机勃勃！让现象教学走进课堂，真正地做到让数学核心素养落地生根！