高中“解三角形”教学难点与对策

颜亚新

【关键词】解三角形;高中数学;教学难点

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2021）11-0068-02

就高中数学的教与学而言，“解三角形”就是在充分理解正余弦定理的基础上，运用相关定理和方法去解决与三角形有关的问题的思维过程，它包括求解三角形的边长、角度、周长和面积以及与三角形相关的几何问题，还有与之相关的实际应用问题。在高中阶段，“解三角形”问题往往形式多样，变化丰富，问题设置巧妙，知识交汇较多，这也就必然提升了题目难度，从而使得解决问题的思维方式多变，破解方法也多种多样。

结合自身的教学实践和学生的访谈调查，除了学生自身内在动机和自我效能感之外，笔者归纳了学生在学习“解三角形”时常遇到的几种困难。这里对相应的教学策略进行初步探讨，以期抛砖引玉。

1.“角化邊”还是“边化角”的选择困难和漏解问题。

笔者根据学生作业的完成情况以及与学生的访谈，发现学生不仅容易出现“角化边”与“边化角”的选择困难，还常出现漏解的问题。例如，已知△ABC内角A，B，C的对边是a， b， c，若（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），则该三角形的形状为  。学生在解类似题的过程中，会出现“角化边”还是“边化角”的选择困难，此外还会出现两种漏解情况：一是在运用“角化边”时算得c2（b2-a2）=（b2+a2）（b2-a2），却误将关系式中的（b2-a2）简单约去，忽略了a=b的情况;二是在运用“边化角”时算得sin2B=sin2A，却只得到2A=2B，漏了A+B=[π2]的情况。

针对此种情况，要指导学生进行正、余弦定理的推导，帮助学生真正从数学的视角去理解定理，而不是仅仅依靠对定理公式及其变式的机械记忆。在证明余弦定理时，我们除了可以采用向量法，还可以考虑坐标法、作高法、正弦定理证明等方法。此外，根据学生的解题错误，要结合典型例题和变式，及时强调这两种方法中容易出现的漏解问题，帮助学生厘清可能出错的原因，也给学生自主感悟和思考的空间。当然，教学中不应只是简单的口头强调，必须要在适当的习题训练量中予以强化。

2.三角函数的恒等变换与综合应用问题。

高中的“解三角形”问题一般是有一定综合性的，不仅是正、余弦定理的应用，还会牵涉三角函数、三角恒等变换以及平面向量等相关知识。例如，已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边是a， b， c，若[ba] + [ab] = 6cosC，则[tanCtanA] + [tanCtanB] 的值是   。解决此类问题的关键是切化弦、两角和的正弦公式及诱导公式。因此，教学中要选择并借助典型例题，将相关知识进行适当的、必要的巩固和应用性联系，促使学生形成完整的知识储备，引领学生在解三角形中形成知识链接的意识和能力。当然，需要提醒的是，学生在三角函数的化简运算中经常会出现错误，我们就要在教学训练中引起足够的重视，要尽量避免学生在解题中“会而不对、对而不全”的现象。

3.正余弦定理的理解与三角形面积范围问题。

这类问题的共同特征就是已知三角形的一边及其对角，求另外两边的和、积、平方和的取值范围（或最值）问题。已知条件相同，求解的问题不同，但解决的方法可以是相同或相似的，而且问题之间是可以相互转化的。这类题型主要是考查“解三角形”中的正弦定理、余弦定理、三角函数、均值不等式和函数的值域等内容，知识覆盖面广，解法也多样，能比较全面地考查学生的数学基本素养。在这类问题的解法教学中，可以引导学生从多个角度去进行解法的探究，如利用正弦定理，可以化边为角，从而转化为三角函数的值域问题;利用余弦定理，建立其某些变量之间的等量关系，再利用基本不等式去求解;充分利用数形结合思想，通过三角形的面积进行适当转化;结合余弦定理，转化为利用三角形的中线去求解;利用向量数量积（基底思想）进行解三角形问题的解答;等等。

4.“解三角形”的数学建模与实际应用问题。

在这类实际应用问题的解答中，学生往往在读题审题、数学运算方面存在问题，但更深层次的原因是数学抽象和数学建模意识和能力的欠缺。《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，高中数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六个方面。其中数学建模素养是指对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型并解决问题。数学建模是运用数学知识去解决社会生产和生活实际问题的基本手段，是促进学生数学理解的有效路径，也是推动数学科学发展的不竭动力。就高中“解三角形”问题而言，教师需要选择一些较易理解和较易进行数学建模的问题，引导学生在真实的情境中从三角形的视角去抽象认知、提出问题，运用数学思维去分析实际问题、建构认知模型，使用“解三角形”的代数和几何知识的视角去寻找条件差异、确定解题方法，进行逻辑缜密、计算严谨的求解过程，运用合理的数学方法去检验自己的解题结果，以此再尝试去改进和优化已有思维模型，实现数学学科核心素养的培育。

（作者单位：江苏省吴江中学）