基于katugampola分数阶积分的Hermite-Hadamard型不等式

海旭冉，王淑红

(内蒙古民族大学 数理学院，内蒙古 通辽 028000)

分数阶微积分是研究任意阶导数和积分的一门应用数学学科，是和微分学一起诞生的古老学科，可以被看作是整数阶微积分的超级组合，可以处理很多整数阶微积分所不能处理的问题.分数阶微积分作为一种非常有用的工具，到现在为止不存在一个统一的定义，学者们从各自不同的角度入手，给出了分数阶微积分的几种不同形式的定义，如经典的Riemann-Liouville分数阶微积分、Caputo分数阶微分算子、Hadamard分数阶积分、调和分数阶积分、Katugampola分数阶积分等，其定义的合理性与科学性已经在实践中得到检验，在科学、工程、数学和经济等领域几乎都有实际应用和深远影响[1-2].近年来，利用各类分数阶微积分，推广凸函数和广义凸函数的经典不等式的问题备受关注，并成为研究热点[3-5].本文在此基础上，利用Katugampola分数阶积分，对拟凸函数及Hermite-Hadamard 不等式进行研究，得到了一些新的积分不等式，推广了Riemann-Liouville分数阶积分的相关结论.

1 预备知识

1.1 Riemann-Liouville分数阶积分

定义1[1]设(a,b)为实数轴R上的区间，其中a0，α是一个复数，则：

(1)

和

(2)

分别称为左边和右边的Riemann-Liouville分数阶积分，其中Γ(·)为伽马函数，

1.2 Hadamard分数阶积分

定义2[2]设(a,b)为实数轴R上的区间，其中a0，α是一个复数，则：

(3)

和

(4)

分别称为左边和右边的Hadamard分数阶积分，其中Γ(·)为伽马函数.

1.3 Katugampola分数阶积分

其中：

和

(5)

和

(6)

Katugampola分数阶积分也称为ρ-Riemann-Liouville分数阶积分[4]，它推广Riemann-Liouville分数阶积分和Hadamard分数阶积分[5-6]：

(7)

和

(8)

1.4 凸函数

定义3[7-8]设I为实数轴R上的任一区间，f(x)是区间I上的函数，如果对于∀a,b∈I,a

f(λa+(1-λ)b)≤λf(a)+(1-λ)f(b).

(9)

则称函数f(x)是区间I上的凸函数.

设函数f(x)是区间I上的凸函数，a,b∈I,a

1.5 拟凸函数

定义4[9]设I为实数轴R上的任一区间，f(x)是区间I上的函数，如果对于∀a,b∈I,a

f(λx+(1-λ)y)≤max{f(x),f(y)}.

(10)

则称函数f(x)是区间I上的拟凸函数.

显然凸函数就是拟凸函数，但是拟凸函数不一定是凸函数.

2 主要结论

首先，建立一个基于katugampola分数阶积分的等式.

(11)

其中函数f(xρ)在区间[a,b]上的Katugampola分数阶积分存在.

证明通过分部积分得到：

和

整理即得式(11)，引理1得证.

注1 在式(11)中当ρ→1时取极限，即得到基于Riemann-Liouville分数阶积分的相关等式：

(12)

下面利用函数的拟凸性和引理1，基于Katugampola分数阶积分建立拟凸函数的Hermite-Hadamard型不等式.

定理1 设f:[aρ,bρ]→R是一个可微函数，其中ρ>0且0≤a

(13)

其中α>0且x∈[a,b].

证明利用引理1和|f′|的拟凸性，可以得到：

定理2 设f:[aρ,bρ]→R是一个可微函数，其中ρ>0且0≤a1)在区间(aρ,bρ)上是拟凸函数，那么有下面不等式成立：

(14)

其中α>0，0≤r≤q.

通过计算即得式(14)，定理2得证.

特别地，在定理2中分别取r=0 、r=1和r=q时，可以得到：

(15)

和

(16)

和

(17)

类似定理2的证明方法，还可以得到下述结论：

定理3 设f:[aρ,bρ]→R是一个可微函数，其中ρ>0且0≤a1)在区间(aρ,bρ)上是拟凸函数，则下面不等式成立：

(18)

其中α>0，0≤r≤min{q,q(ρ-1)}.

特别地，在定理3中分别取r=1和r=q时，可以得到：

(19)

和

(20)

定理4 设f:[aρ,bρ]→R是一个可微函数，其中ρ>0且0≤a1)在区间(aρ,bρ)上是可微的，则下面不等式成立：

(21)

其中α>0，0≤r≤min{q,qρα}.

特别地，在定理4中分别取r=1、r=q和r=qα时，可以得到：

(22)

和

(23)

和

(24)

注2 在式(13)～(24)中当ρ→1时取极限，即得到基于Riemann-Liouville分数阶积分的相关结论.