暴露思维过程的数学教学设计示例

李健

【摘要】现代数学教学理论认为，数学教学是思维活动的教学.因此在数学教学过程中，能够充分暴露数学家、教材编写者、教师和学生的思维活动，阐明数学知识的产生、形成、发展和应用过程，这对于学生学习数学的积极性、学生思维结构的完善以及数学知识体系的形成都具有重要意义.本文透过“两角差的余弦公式”的视角，展现如何在高中数学教学过程中暴露思维，揭示该公式的产生、形成与发展过程.

【关键词】思维过程;两角差的余弦公式;数学教学;教学设计

思维的本质是人脑中的高级精神活动，是人这一主体对客观现实，以及对主体自身活动的能动反映或理性认识.它是人们认识事物的本质，事物间相互联系及其规律的必要手段.然而，在实际的教学过程中，由于部分教师片面地追求知识的记忆与运用过程，忽视了概念的萌生过程、结论的发现过程、方法的形成过程、问题的提出过程、规律的揭示过程，学生的思维活动常被这些教师“满堂灌”的教学模式所掩盖.这种教学模式不利于学生理解与掌握数学知识，因此愈来愈不被教育工作者认可，故建立暴露思维过程的教学设计，体现以学生为主体、教师为主导的教育理念对数学教学具有重要意义.

一、暴露思维过程的意义

数学学习本身就是一个枯燥乏味的过程，如果教师再采用“满堂灌”的教学方式，直接呈现知识的形成过程，忽略学生的思维活动，那么整个课堂就会显得死气沉沉，毫无吸引力.在这种教学模式下，学生被动地接受知识，机械地记忆知识，死板地运用知识，故难以掌握知识的本质，学习效率得不到提升，学习积极性自然也会降低.故教师在数学教学过程中，需要充分地暴露学生的思维过程，鼓励学生积极主动地思考、分析、讨论，从而抽象概括出数学知识，这样学生才能真实地参与到每一个教学环节之中，理解知识的产生、发展、形成过程，从而提升学习数学的兴趣，提高学习数学积极性.

一个完善的思维结构能赋予人一定的观察、记忆能力，有助于理解、分析和解决问题，由于学生主要的思维活动方式就是学习，因此教师如何通过课堂教学，帮助学生形成良好的思维结构是他们需要考虑的重点问题.在教学过程中，不同的思维形式作用于思维过程的不同环节，只有充分暴露思维过程的各个环节，学生的思维形式才能均衡发展，学生的思维结构才会良好地形成.

学生对于数学知识的认识大多是零散的，难以找到知识间内在联系，故随着学生知识的不断增长，知识的遗忘速度也在加快.造成这种现象的根本原因在于学生在数学学习过程中，被掩盖了某些思维过程，导致认知数学知识出现偏差，也就不能形成良好的知识结构.因此教师在教学过程中，充分暴露思维过程，对于学生数学知识结构的建立、推广、发展具有巨大作用，有助于学生从整体上把握数学知识，全面、深刻地了解知识间的内在联系，从而建立一个良好的知识结构.

二、四种思维活动在数学教学中的体现

张乃达先生发现在数学教学过程中，存在着三种思维活动，即数学家的思维活动、教师的思维活动和学生的思维活动，而成功的数学教学，就是实现这三种思维活动的和谐与统一.除此之外，笔者认为在数学教学过程中，还存在教材编写者的思维活动.一套良好的数学教材，应该是在数学家的思维活动前提下，教师以教材编写者的思维活动为母版，通过创新设计，达到数学家、教材编写者、教师、学生的思维活动的和谐统一，从而帮助学生形成良好的思维结构与数学知识结构.

（一）数学家的思维活动是展开数学教学的前提

在数学教学过程中，数学家虽然没有直接参与，但每一个知识的产生、发展、形成都充分蕴含着数学家的思维活动，故数学家的思维过程表现在教学活动的方方面面.因此学生学习数学知识的过程，就是在教师、课本的引导下，重现数学家的思維活动，从而发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程.因此，数学家的思维活动是数学教学得以展开的前提.

（二）学生的思维活动是数学教学的关键

普通高中课程标准（2017年版）提出的课程目标是通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的“四基”“四能”.在数学教学过程中，学生能否通过重现数学家的思维过程，体会数学家的思维结构，总结数学家的思维方法，反思自己思维活动中出现的问题，推进自身思维结构向数学家的思维结构转变，是实现课程标准要求达到的目标，推动学生“四基”“四能”发展的关键，故学生的思维活动是数学教学活动的关键.

（三）教师的思维活动是数学教学顺利实施的保障

学生由于受自身认知水平和知识水平的限制，往往不能独立地完成对数学家思维过程的重现，也不能从已暴露的数学家的思维过程中完成对数学信息的编码，也就不能使数学教学活动顺利地进行.教师作为数学教学活动的主导者，就需要依据学生的思维特点，通过指导、调控的方式，帮助学生解决思维活动中的问题，清除学生遇到的障碍，推进学生的思维活动与数学家的思维活动同步，以保证数学教学过程顺利进行.

（四）教材编写者的思维活动是数学教学过程的母版

数学教材是教材编写者依据课程标准的理念，按照数学知识结构，根据学生的认知特点，结合数学家的思维活动，设计出的辅助教师进行数学教学活动的蓝本.因此，数学教材充分暴露了教材编写者的思维活动.需要注意的是，教材编写者的思维活动是根据学生一般心理状况设计的，故教师在进行教学活动时，如果不考虑学生的实际情况，只是跟着教材走，也不利于学生形成良好的思维结构.因此教材编写者的思维活动是数学教学过程的母版，教师需要在此母版之上，进行适当的调整与改编，设计出符合学生思维的教学设计.

三、暴露思维过程的“两角差的余弦公式”的教学设计

“两角差的余弦公式”是最新高中数学人教A版（以下简称新版教材）必修第一册第五章第五节“三角恒等变化”的内容.从知识结构上分析，三角恒等变化是三角函数与数学变化的立足点与生长点，而“两角差的余弦公式”作为三角恒等变化的基础与起始点，是前面学过的诱导公式的延续与发展，也是接下来学习半角、倍角公式的依据.从学生认知水平分析，学生刚刚学习过三角函数的有关知识（新版教材还未学习向量的有关概念），对于诱导公式的记忆还较深刻，会求特殊三角函数值.从学生能力水平分析，学生通过前期的学习，具备一定的运算能力和解决问题能力，但毕竟是高一的学生，语言表达能力与逻辑推理能力还有待提高.

两角差的余弦公式属于原理性知识，而原理性知识教学可分为原理结论（命题）的发现与关于这个命题的证明两部分.

（一）循序渐进，提出问题

师：回忆诱导公式的有关内容，回答下列问题.

2.观察以上公式，你们找到什么共同点了吗？

3.对于以上公式，你们能提出什么一般性问题？（多媒体显示）

设计意图：数学问题的提出不可能一蹴而就，学生的思维难以达到数学家的思维水平，也就不能从复杂的信息源中，找到合适的信息，提出合适的问题，故教师要根据教学经验，找到符合学生认知的合适根据地.这里教师通过回忆诱导公式的有关内容，寻找四个诱导公式中共同点的方式，循序渐进，引导学生从特殊的诱导公式中，一步一步地抽象出如何求cos（α-β）的问题.

（二）活动探究，提出猜想

生1：cos π2-β=sin β…①，cos（π-β）=-cos β…②，cos 3π2-β=-sin β…③，cos（2π-β）=cos β…④.在这几个诱导公式中，都是求一个特殊角减β的余弦值，那能不能通过一个一般性的角α代替这四个特殊角，得到一个有关于cos（α-β）…⑤的公式？

师：很好，那你觉得这个公式的表达式可能是什么？

生1：……

师：直接说出表达式有点难度，我们先仔细观察①②③④四个式子，猜测公式⑤中有哪些元素？

生2：cos β和sin β.

师：你是怎么猜测的？

生2：上述诱导公式①②③④的结果中都含有cos β和sin β，如果将α替换成诱导公式中的π2，π，3π2，2π，那么对于式子⑤中应该含有cos β和sin β.

师：很好，老师也觉得公式⑤中存在cos β和sin β这两个元素.那么，除了这两个元素以外，还存在其他元素吗？

生2：因为cos（α-β）=cos[-（β-α）]=cos（β-α）…⑥，所以也可以将β替换成π2，π，3π2，2π，那么公式⑤中应该还有cos α和sin α.

师：非常好，通过诱导公式⑥，我们知道α和β具有对等性，所以对于公式⑤，就一定含有cos β，sin β，cos α，sin α这四个元素.那么，接下来我们就要探讨这四个元素能构成怎样的运算结构.

生3：因为sin π=0，所以我判断肯定没有除法结构，并且通过赋值的方式，我发现这四个元素的运算结构也不是全部相加和全部相乘.

师：你能说得更具体一些吗？

生3：因为sin π=0，如果有除法结构，公式⑤就可能没有意义.又因为sinπ2=1，cosπ2=0，将α替换成π2代入公式①，那么公式①的结果就应该有1，0，cos β和sin β这四个元素，但是实际上只有sin β这一个元素，所以我判断这四个元素不是全部相加或相乘.

师：好，生3已经通过赋值的方式为我们排除了多种运算结构，我们再继续思考，公式①的结果本来应该包含1，0，cos β和sin β四个元素，但实际上公式①中只含有sin β一个元素，那是不是因为某种运算结构，使其他三个元素都省略了？

生4：因为在公式①中，不存在cos β，而cos α=cos π2=0，我猜测应该有一项是cos αcos β.又因为α和β是对等的，sin α=sin π2=1，所以另一项应该是sin αsin β，所以cos（α-β）=sin αsin β+cos αcos β…⑦或者是cos（α-β）=sin αsin β-cos αcos β…⑧.

师：很好，生4已经帮助我们推测出cos（α-β）的结果只有两种情况了，还可不可以通过赋值的方法继续推测？

生5：将α替换成π代入公式⑦，cos（π-β）=sin πsin β+cos πcos β，而sin π=0，cos π=-1，代入，得cos（π-β）=-cos β满足公式②.将sin π=0，cos π=-1代入公式⑧不满足，在继续将α替换成3π2，2π代入公式⑦，其结果也满足公式③和④，所以cos（α-β）=sin αsin β+cos αcos β.

设计意图：在整个公式的猜想过程中，教师并没有直接阐明公式的具体形式，而是作为一个主导者，通过一系列问题，帮助学生通过观察、分析、比较、抽象、推理和概括，找到cos（α-β）可能含有的元素、猜测与验证元素组成的运算结构，进而推测出两角差的余弦公式的具体形式.这种充分暴露学生思维的教学活动，有利于加深学生对于公式的理解，推动学生形成良好的思维结构.

（三）故技重演，验证猜想

师：我们已经猜想出cos（α-β）=sin αsin β+cos αcos β，那么接下来就要证明这个猜想是否正确.大家还记得诱导公式是通过什么推导的吗？

生：单位圆.

师：那我们还能不能继续通过单位圆推导出公式⑦？

生：……

师：首先，我们确定单位圆与x轴正半轴交于点A（1，0），以x轴非负半轴做始边作角α，β，α-β.（α≠β+2kπ），它们的终边分别与单位圆交于P1（cos α，sin α），A1（cos β，sin β），P（cos（α-β），sin（α-β））.观察图1，α-β可以用哪个角来表示？

生1：∠P1OA1和∠POA.

师：这两个角相等，你能得到什么结论？

生1：因为同一个圆中相等的角所对的弧、弦相等，所以P1A1=PA.

师：由P1A1=PA，又能得到什么式子？

生1：因为P1A1=PA，根据两点间的距离公式，得到[（cos α-β）-1]2+sin（α-β）2=（cos α-cos β）2+（sin α-sin β）2…⑨.

化簡，得cos（α-β）=sin αsin β+cos αcos β.

设计意图：关于公式的证明，由于新版教材并未学习向量的有关概念，所以这里通过单位圆来证明公式.然而，学生难以想到通过两点间的距离公式来证明公式⑦，故这里先通过找α-β角，再由角相等得到弦相等，由弦相等得到式子⑨，最后化简得到公式⑦，学生通过一步步的分析，最终完成公式的证明.因此在教学过程中，当学生的思维过程遇到阻碍时，教师就需要通过设计合适的问题，指导、调控学生的思维活动，帮助学生的思维过程与成功的数学家的思维活动同步，从而缩短获得知识所需的时间，提高课堂效率.

四、简要结语

“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行.”南宋诗人陆游教育自己的儿子，想要深入理解书本上的知识，必须要亲自实践，数学知识的学习同样如此.在教学中，如果学生并没有深刻理解知识的产生、发展、形成、应用过程，思维活动没有在教学过程的各个环节中充分暴露，也就难以掌握数学内容的本质，形成良好的思维结构.因此，教师在进行教学活动时，要有暴露学生思维过程的意识，体现学生是学习主体的理念，结合知识结构特点和学生认知特点，指导学生真正学习知识而不是记忆知识.

【参考文献】[1]张乃达.数学思维教育学[M].南京：江苏教育出版社，1990：1.

[2]齐振海.关于思维结构及其在认识中的作用[J].现代哲学，1986（04）：10-13.

[3]张乃达.数学思维教育学[M].南京：江苏教育出版社，1990：219-222.

[4]张昆，郑蕾聪.二次开发数学教材的创新实践探究：透过人教A版“两角差的余弦公式”的视点[J].中小学课堂研究，2020（03）：19-21.