综合实践理念指导下的“数学活动”设计

2021-03-19 15:18沈小亮
数学教学通讯·初中版 2021年9期
关键词:数学活动作图抛物线

沈小亮

[摘  要] 核心素养背景下,教育评价由“知识核心”向“素养发展”转变,而自身内容和学习方式都具备特殊性的初中数学综合与实践活动,对提升学生数学核心素养也就具有独特的意义. 文章以 “探究点所在曲线的形状——抛物线”(人教版九年级上册)数学活动为例,启发学生用数学的眼光去思考问题,引导学生用数学的方法深入体验,从而提升学生的综合素质.

[关键词] 综合实践;数学活动

《义务教育数学课程标准》指出:“综合与实践”是以一类问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动. 在學习活动中,学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法,在综合与实践理念指导下解决问题[1]. 活动内容设置的目的在于让学生经历问题的解决过程,积累学生的活动经验,培养学生的应用意识和创新意识,从而使学生的数学核心素养得到提升. 笔者对综合与实践内容的教学实施做了思考,现以“探究点所在曲线的形状——抛物线”(人教版九年级上册)为例,与同行交流、探讨.

活动再现

1. 如图1,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(0,2). 在x轴上任取一点M,完成以下作图步骤.

(1)连接AM,作线段AM的垂直平分线l,过点M作x轴的垂线l,记l与l的交点为P.

(2)在x轴上通过改变点M的位置,取多个不同的点M,重复(1)的操作得到相应的点P,把这些点用平滑的曲线连接起来.

观察画出的曲线L,猜想它是我们学过的哪种曲线.

2. 在曲线L上任取一点P,完成以下步骤.

(1)连接PA,线段PA与PM有什么数量关系?为什么?

(2)假设点P的坐标是(x,y),你能由PA与PM的关系得到x,y满足的关系式吗?

(3)由此你能确定曲线L是哪种曲线了吗?为什么?这结论与你先前的猜想一样吗?

教学设计

1. 温故知新,提出问题

教师:任意画线段AB并用尺规作图画它的垂直平分线,线段垂直平分线的性质是什么?

学生1:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.

教师:若把刚才所画的线段AB放在直角坐标系中,其长度如何表示?

学生2:构造直角三角形,利用勾股定理计算.

教师:直角坐标系中的线段长度一定都要用勾股定理计算吗?

(全体学生若有所思)

学生3:如果线段AB是平行(或重合)于坐标轴,直接用坐标相减即可,就不需要用勾股定理计算那么麻烦了.

教师:很好,直角坐标系中位置、坐标、长度三者之间可以实现互相转化.

教学分析:通过回忆所学知识,并设问引导学生说出直角坐标系中线段长度的合理算法,促进学生对问题的理解与转化,也为接下来的数学活动做好铺垫.

2. 动手作图,观察猜想

学生自主作图完成活动1,教师巡视指导并投影展示学生作图结果,如图3~5所示.

学生4:如图3,猜想它是我们学过的抛物线.

学生5:学生4的点M都是整数点,太特别了,取非整数点也可以,如图4,也是抛物线.

教师:还有不同的作图结果吗?

学生6:学生4和学生5的点M都是正数,曲线只有一半,应该在x轴负半轴也取点,如图5,这样形状就更完整,也更明显了.

教师:猜想曲线L的形状只要一些特殊点就能进行大胆猜想,但学生6理解了“在x轴上多次改变点M的位置”这句话,他的作法更具有一般性.

教学分析:有了“温故知新,提出问题”的铺垫,学生作图的环节会进行得比较顺利. 学生根据要求准确作图,积累了画图的操作经验,再经历观察与猜想,培养了学生的直观想象素养. 教师让学生的不同作图方法进行碰撞与补充,渗透了“有序”地选择具有代表性的点的决策思维.

3. 实验证明,理解模型

教师:同学们通过取点作图,猜想它是抛物线. 但毕竟大家取的是有限个点,现在老师可以借助数学软件进行取点,点越多曲线形状越精准. 大家再次观察,直观感受曲线形状.

(教师利用几何画板进行操作、验证,学生惊呼:“好漂亮的抛物线!”)

教师:我们从形的角度猜想它是抛物线,那么如何证明呢?

(学生面露难色)

教师:教材中是如何描述抛物线的?

学生7:二次函数y=ax2+bx+c的图像叫作抛物线y=ax2+bx+c.

教师(追问):所以有想法了吗?

学生8:设点P的坐标是(x,y),由PA与PM的关系得到x,y满足的关系式是二次函数.

教师:是的,根据教材的描述,我们可以选择这种方法,大家现在按这种方法开始证明.

(学生进行自主探索、合作交流,教师巡视指导,学生展示证明结果)

学生9:设点M是在x轴正半轴,则有PM=y,PA=,利用线段垂直平分线的性质得PA=PM,所以y=,化简得到关系式y=x+1,是二次函数,所以证明曲线L是抛物线.

(教师板书学生9的证明过程)

教师:太好了!我们用求解析式的方法算出了x,y满足的关系式是二次函数,根据教材对抛物线的描述,证明了曲线是抛物线.

(学生报以热烈的掌声)

学生10:那如果点M不是在x轴正半轴呢?

教师:哇,学生10对这个问题进行了深度思考,点M不在x轴正半轴的话,可以证明吗?结论一样吗?

(学生再次思考、计算,教师投影展示学生计算的结果)

教师:通过努力,我们从代数的角度证明了图形问题,证明了自己的猜想是对的. 同学们有没有发现教材中是从数的角度定义了抛物线,而我们通过作图得到的也是抛物线,所以对于抛物线,你们能否从形的角度也下个定义呢?

(从学生的表情看出这个问题有难度,所以接下来教师引导启发,学生尝试描述,并互相补充、完善,教师板书抛物线的新定义)

教学分析:教师让学生经历从“形”的角度观察问题(直观),再让学生从“数”的角度进行深度思考(数形结合),在此过程中提升了学生逻辑推理、数学运算、数学抽象等核心素养. 关于抛物线的新定义的探索,培养了学生的创新思维,同时也提升了学生数学抽象、数学建模的核心素养,学生对抛物线从感性认识上升到理性认识.

4. 体会模型,提升感悟

教师:同学们,我们通过探究,对抛物线又有了新的认识,接下来通过以下几道练习题来应用这个模型.

(教师投影出示练习题,学生独立思考,小组讨论交流,教师巡视指导)

(1)如图7,已知点A(0,-2),平面内满足到点A距离与到x轴距离相等的所有点组成的曲线L的解析式为(  )

(3)在(2)條件下,若点B(4,5),当PA+PB的值最小时,点P的坐标为__________.

(学生展示讲解,教师点评)

教师:同学们,给大家留一个思考题. 数学活动中的点A(0,2)若改成点A是平面上(除x轴外)任意一点,点M是y轴上任意一点,重复相同的操作,不同的点P组成的曲线L依然是抛物线吗?抛物线等同于二次函数吗?

教学分析:本节课让学生经历从作图到运算、从形到数体会抛物线的新定义. 学生通过解决问题、应用模型等环节,再次体会数学建模的一般步骤,积累解决问题的经验,提升直观想象和数学建模的核心素养. 课堂结束了但思维没有结束,教师留下思考题让学生探究后了解二次函数和抛物线的关系,能够提升学生数学抽象素养,使其学会批判的数学思维.

教学感悟

1.重视综合实践理念,实现数学活动课堂活化

《义务教育数学课程标准》指出:综合与实践内容的实施是通过数学活动来实现的,重在实践、重在综合[1]. 教师在这个理念的指导下,设计有效的数学探究活动,使学生经历数学的发生发展过程. 本节课通过作图提高学生的画图能力,通过猜想曲线形状提高学生的识图能力,通过巩固练习提高学生的用图能力,这些活动也直接或间接提升了学生的直观想象素养. 华罗庚曾言“数缺形时少直观,形少数时难入微”,本节课上,教师引导学生进行深度探究,从数的角度证明曲线L的形状是抛物线,使学生重新认识抛物线,建立模型. 在此过程中,免不了的演绎推理、运算、归纳与交流无疑提升了学生的逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学建模等核心素养,综合实践成了实现积累活动经验、展现思考过程、激发创造潜能等目标的重要和有效的载体.

2.巧设活动问题属性,促进综合实践走向常态

本节课的教学设计考虑了学生的主体性,让学生经历“思考问题情境——操作猜想——实验证明——归纳定义——反思应用——总结提升”的过程,促进了学生的深度学习. 而这种研究问题、解决问题的思路,并不是只在综合与实践课堂才能呈现. 比如平方差公式的学习,又比如勾股定理逆定理的探究等,也可以沿用这一套学习的方法和思路. 课程标准指出:“综合与实践”的教学活动应当保证每学期至少一次,可以在课堂上完成,也可以课内外相结合[1]. 笔者提倡把这种教学形式体现在日常教学活动中. 目前教育评价已由“知识核心”向“素养发展”转变,所以经验的积累、素养的提升、思维的培养等不能仅依赖于有限的几次综合与实践课,而应通过有效的活动问题设计让综合实践理念融入常态教学,使综合实践活动真正成为提高教师自身素质和学生素质的互动过程.

参考文献:

[1]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准(2011年版)[S]. 北京:北京师范大学出版社,2012.

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