数学问题解答

2021-03-08 06:07陶兴红
数学通报 2021年1期
关键词:两圆外接圆过点

(安徽省六安第二中学 陶兴红 237005 )

解由y3(5-2x3)=3,可得

所以由均值不等式得

即52P3≥55,所以P≥5,

(河南辉县一中 贺基军 453600)

证明设四边形AEFB的周长为p1,△CEF的周长为p2,由题设知p1=p2,过点B作直线BG∥AD,延长CA交直线BG于点G,如图.

因∠AGB=∠CAD=∠BAD=∠ABG,

故AG=AB,EG=EA+AB.

在△CGB中,EF∥AD∥GB,

由p1=p2得CF=FB.

根据题设,△ABC的外接圆记作圆O1,△CEF的外接圆记作圆O2. 延长AD交圆O1于点N,连接并延长NF交圆O1于点M,连接BN,CN和MC.

在圆O1中,由∠BAN=∠CAN知BN=CN,又由BF=CF知直线FN垂直且平分BC,因此MN是圆O1的直径,MN的中点是O1.

由∠CEF=∠CAN=∠CMF知M,E,F,C四点共圆即M在圆O2上,因此圆O1与圆O2除交点C外另有交点M.

在圆O2中,∠MFC=90°,因此MC是圆O2的直径,MC的中点是O2.

在△ABC和△CEF中,由正弦定理得

由∠ACB=∠ECF=30°得

O1M=AB,O2M=EF.

在△O1O2M中,可得∠O1O2M=90°,

2578已知正实数x,y,z满足x+y+z=1,求证:

(浙江省海盐县元济高级中学 张艳宗 314300;北京航空航天大学图书馆 宋庆 100191)

证明首先证明如下不等式.

当x,y,z>0时,

9(x+y)(y+z)(z+x)

≥8(x+y+z)(xy+yz+zx).

由于

9(x+y)(y+z)(z+x)-8(x+y+z)(xy+yz+zx)

=(x+y)(y+z)(z+x)-8xyz

=x(y-z)2+y(z-x)2+z(x-y)2≥0

上式即证.

由柯西不等式,

2579以AB为直径的圆⊙O的方程为x2+y2=1,A(1,0).C为射线AB上一个动点,D位于直线AB上方,DC⊥AB于C点,△ACD的CD边的旁切圆⊙P与⊙O相切.试证:P点的轨迹方程为2y=|x2-1|,(x<1且x≠-1).

(浙江台州市洪家高级中学 邬天泉 318000)

证明以BA为x轴,BA的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,A(1,0),设C(a,0).以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1,

(1)

设△ACD的CD边的旁切圆的方程为

(x-a+b)2+(y-b)2=b2,

(2)

这里P(a-b,b),(b>0).

联立(1)(2)得两圆的根轴方程为

2(a-b)x+2by=(a-b)2+1,

(3)

由于上述两圆相切,

则原点O到直线(3)的距离为1,

即 |(a-b)2-1|=2b,

(4)

即动点P的轨迹方程为

2y=|x2-1|.(x<1且x≠-1)

2580如图所示,在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,P为△ABC内一点,且∠PAB=∠PBC=∠PCA(即P为△ABC的勃罗卡点),△ABC的外接圆半径为R,△PBC,△PCA,△PAB的外接圆半径分别为R1,R2,R3,则

(1)R1R2R3=R3;

第三,后期维护由所有权人负责。较大规模的工程,一般是建立工程管理机构,由其负责供水管理以及包括管道工程在内的工程维护;小规模的供水工程,一般由受益村自用自管。

(河南质量工程职业学院 李永利 467001)

证明设∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,

则在△PBC中有

∠BPC=π-α-(C-α)=π-C,

由正弦定理可知

以上三式相乘即得(1)式.

由(1)式和恒等式abc=4Rrp可知,

故(2)式成立.

2021年1月号问题

(来稿请注明出处——编者)

2581如图1,半径为r、R的⊙B、⊙C外切于点A(R>r),两圆的一条外公切线与⊙B相切于点D,与⊙C相切于点E,点H1、H2在BC上,且BH1=CH2.过点A作DE的垂线,与过点H1垂直于BC的直线相交于点F1,与过点H2垂直于BC的直线相交于点F2.

图1

(北京市朝阳区教育研究中心 蒋晓东 100028;北京市朝阳区芳草地国际学校富力分校 郭文征 100121)

2582设a,b,c,d>0,a+b+c+d=4.求证:

abcd(a2+b2+c2+d2)≤4.

(陕西省咸阳师范学院教育科学学院 安振平 712000)

(江苏省徐州市第一中学 张培强 221140)

2584在△ABC中,三内角A、B、C所对边长分别为a,b,c,外接圆、内切圆半径和半周长分别为R、r和s.试证:

(浙江湖州市双林中学 李建潮 313012)

2585如图,点I为△ABC的内心,直线AI,BI,CI分别交线段BC,CA,AB于点D,E,F,记S△BID=s1,S△CID=s2,S△CIE=s3,S△AIE=s4,S△AIF=s5,S△BIF=s6,求证:

(山东省泰安市宁阳第一中学 刘才华 271400)

猜你喜欢
两圆外接圆过点
“两圆一线”巧算等腰三角形
一个圆锥曲线性质的推广
将相等线段转化为外接圆半径解题
一个两圆相交的基本结论的应用
仅与边有关的Euler不等式的加强
圆与圆的位置关系
一道IMO试题的另解与探究
数学(二)
一个三角形面积取值范围问题的探究
错在哪里