加强知识的综合联系发展学生的理性思维>——复数的内容分析与教学思考

章建跃

(人民教育出版社 课程教材研究所 100081)

0 引言

关于复数的教学，老师们一般都会觉得“容易”，并且因为高考中的复数题非常简单，所以许多老师对复数的教学也不太上心.但如果看一下陈省身先生的话，相信大家的感觉会不一样.陈先生说：

一个数学家应当了解什么是好的数学，什么是不好的或不太好的数学.有些数学是有开创性的，有发展前途的，这就是好的数学.还有一些数学也蛮有意思，却渐渐地变成一种游戏……比如说，解方程就是好的数学.搞数学的都要解方程，一次方程容易解，二次方程就不同.x2-1=0有实数解，而x2+1=0就没有实数解.后来就加进复数，讨论方程的复数解.大家知道的代数基本定理就是n次代数方程必有复数解.这一问题有很长的历史，当年有名的数学家欧拉就考虑过这个问题，但一直没有证出来.后来还是高斯证出来的，还发现复数和拓扑有关系，有了新的理解.因为模等于1的复数表示一个圆周，在这一圆周上就有很多花样.如果从f(x)=0到解f(x，y)=0，那就进到研究曲线，当然也可能没有解，一个实点也没有.于是花样就来了.假使你在f(x，y)=0中把x，y都看成复数，则两个复数相当于四维空间，这就很麻烦，出现了复变函数论中的黎曼曲面.你要用黎曼曲面来表示这个函数，求解原来的方程f(x，y)=0，那就要用很多的数学知识.其中最要紧的概念是亏格.你把f(x，y)=0的解看成曲面之后，那么曲面有很多个圈，球面环面的不同等等花样，都和亏格有关.

此外，你也可以有另外的花样，比如f(x，y)=0的系数都假定为整数，你也可以讨论它的整数解，这就很难了.([1],p.11～12)

从陈先生的这段论述中我们可以体会到，复数是有深远意义的.尽管中学阶段不可能让学生学习复变函数、复数域方程的内容，但教师要知道这个内容的意义，要帮助学生开好复数学习的头.其中的要点，根据F·克莱因的观点，“把复数解释为所熟悉的数的概念的扩张，避免任何神秘感.首要的是应当使学生立刻对复平面上的几何作图说明形成习惯.”([2],p.80)课程标准把复数置于“几何与代数”主题下，也体现了这样的意图.不过，从实数扩张为复数也会出现负迁移，即局限于一维实数的视野看二维的复数会限制人的思维，这样就会因为“一元三次方程的三个根都是实根，但在用公式求解的过程中会出现虚数”而产生“到底有解还是无解”的困惑.这说明，在复数的教学中，既要遵守已有数系扩充的规则，但又要跳出“一维世界”的局限，引导学生到二维复平面上研究复数，这样就能使复数与向量、三角函数的联系成为自然而然，而且使研究范围大大拓展.

1 课程定位

课程标准提出：复数是一类重要的运算对象，有广泛的应用.本单元的学习，可以帮助学生通过方程求解，理解引入复数的必要性，了解数系的扩充，掌握复数的表示、运算及其几何意义.本单元的内容包括复数的概念、复数的运算、复数的三角表示.

分析课程标准的表述可以得出如下认识：

第一，从数学对象的属性看，和实数一样，复数是一类有广泛应用的运算对象，应按研究运算对象的套路展开本单元的学习.

第二，复数的引入是为了方程求解的需要，这是数学史的真实过程，而且这个过程充满曲折，前后经历几百年，直到高斯给出复数及其运算的几何解释、复数在解决物理问题中得到应用，其地位才最终确认.这个历程不仅可以让学生理解引入复数的必要性，还可以从中体验数学家的理性思维和科学精神，所以复数的背景和引入的教学是熏陶数学文化的好素材.

第三，要让学生了解数系扩充的规则和过程.尽管学生从小就学习数及其运算，初中也明确讲运算法则和运算律，在指数的扩充和指数幂的运算性质中也强调了运算性质的重要性，但学生对此并不在意，其实他们也确实很难体会到其中的“味道”.不过，复数集是满足算术运算律的最大数集，我们要借着这最后一次数系扩充的机会，渗透数系扩充的基本思想，培育学生的理性思维.

事实上，一个数学对象，如果它处于不同对象的联结点处，表示方式可以多样化，那么它一定可以成为一个强有力的纽带，可以从中搞出很多“花样”来.

2 内容与要求

2.1 复数的概念

(1)通过方程的解，认识复数.

(2)理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.

2.2 复数的运算

掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.

2.3 复数的三角表示

通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.

复数的三角表示是选学内容，但课程标准提出的要求不高.因为这个内容思想深刻，而且可以产生广泛联系，是“好的数学”，所以应尽量让学生学习.

3 本单元学习的认知分析

3.1 认知基础

复数的认知基础主要来自于对数系扩充的内容、过程、基本思想与方法等的感性认识，以及解一元二次方程的知识经验.

3.2 认知困难

复数的认知困难主要可归结为如下几方面：

(1)学生在初中建立的数系扩充经验，理性程度不高，特别是对扩充过程中蕴含的数学思想方法的理解并不深入；

(2)在义务教育阶段，从自然数系扩充到有理数系再扩充到实数系，不是从解方程角度，而是从解决现实问题的需要，作为“相反意义的量”、“已知正方形面积求边长”的数学表达而引入，而引入复数纯粹是为了解决解方程中遇到的负数开方问题，因此已有的数系扩充经验的可迁移性不强；

(3)复数是“二维数”，尽管有数轴上的点表示数的经验，但在平面直角坐标系中用有序数对表示一个数，这是经验上的一个飞跃；等等.

4 内容的理解与教学思考

4.1 复数发展史概述

在古希腊学者丢番图时代，人们已知道一元二次方程有两个根，但其中有一个根为虚数时，宁可认为方程不可解.直到16世纪，人们普遍认同丢番图的办法.

迫使人们认真对待复数的是因为求一元三次方程的解.意大利数学家卡尔丹在1545年出版的著作《重要的艺术》中，全面介绍了求解一元三次方程的代数方法，给出了十三种求解的公式.在公式中出现了十分尴尬的情况：即便一元三次方程的三个根都是实根，但在用公式求解的过程中会出现虚数.例如，方程16+x2+x3= 24x的三个根都是实根，但直接用卡尔丹一元三次方程求根公式，求解过程中会出现虚数.那么，这样的方程是有解还是无解呢？

虚数这个名称是笛卡儿在1637年出版的《几何》中给出的.欧拉在1777年的论文中首次使用符号i表示虚数.

1797年，丹麦测量学家韦塞尔在一篇论文中引入了虚轴，并把复数表示为平面向量.瑞士数学家阿尔冈在1806年出版的著作中把复数对应的向量的长度称为模，他还进一步利用三角函数表示复数.([3],p.122～123)

给出复数的几何表示后，使人真正“看到”了复数的存在，人们才逐渐接受复数.在19世纪，经柯西、高斯、黎曼、魏尔斯特拉斯等人的努力，复数才以漂亮的复变量函数论赢得历史地位.

在物理学界，一直认为能够测量的物理量只是实数，复数是没有现实意义的.尽管在19世纪，电工学中大量使用复数，有复数的动势、复值的电流，但那只是为了计算的方便.计算的最后结果也总是实数，并没有承认在现实中真有“复数”形态的电流.

牛顿力学中的量全都是实数量，但到量子力学，就必须使用复数量.1959年，物理学家设计了一个实验，表明向量势和数量势一样，在量子力学中都是可以测量的，打破了“可测的物理量必须是实数”的框框，但这一实验相当困难，最后于1982年和1986年先后完成.这样，物理学中的可测量终于扩展到了复数.

复数源于纯粹的数学推理，是理性思维的产物.虚数以及复数概念的引入经历了一个曲折的过程，其中充满着数学家的想象力、创造力和不屈不挠、精益求精的精神.由于学生认知水平的限制，中学阶段对复数的运算和应用不能提出太多要求，因此在复数的教学中，通过介绍复数的发展历史，让学生感受数学的文化和精神，理解复数的概念和意义，应该成为重点.

4.2 本单元的内容结构

本单元内容不多，但可以体现研究一个运算对象的“基本套路”，即：

背景——概念——基本性质——运算及其几何意义、运算律——联系与应用.

背景：解方程的历史，遇到的挑战；

概念：数系扩充的思想、过程，复数的定义、表示和分类；

复数的基本性质：复数的几何意义，复数与向量的联系(复数就是向量，向量就是复数)，复数之间的某些特殊关系(如共轭复数)；

复数四则运算的定义、运算律及其几何意义；

复数的三角表示(相关概念、互化)、运算(乘、除、乘方、开方)及其几何意义；

应用：代数中的应用，联系向量、三角的综合应用，几何中的应用等.

4.3 具体内容的理解与教学

1．引入复数要关注哪些要点

复数的引入要解决两个基本问题：一是引入复数的必要性，即要通过解方程历史的追溯，介绍数学家对这种“虚无缥缈的数”的认识过程，引发认知冲突，自然而然地提出问题；二是要引导学生回顾已有数系扩充过程，归纳其中的基本思想，形成基本套路，从而构建本单元学习的先行组织者.

2．如何从解方程中归结出将数系扩充到复数系所要解决的根本问题

首先，分析遇到的难题，明确要解决的问题.在介绍解方程历史的基础上，先从一般的实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(Δ=b2-4ac<0)出发，用配方法进行同解变形，归结为x2=-a(a>0)的形式，最后归结出：只要能解x2+1=0，那么就能解决任意的负数开方问题.

再梳理从自然数系逐步扩充到实数系的过程与方法，得到数系扩充的基本思想：在扩充后的数系中规定的加法、乘法，与原数系中的加法、乘法协调一致，并且使加法和乘法所满足的运算律仍然成立.

最后，在上述思想引导下，考虑通过扩充实数系而使方程x2+1=0有解.扩充过程中，要强调“希望在扩大的数集中，新的加法、乘法运算保持运算律”的关键性作用.

根据上述想法，引进一个新的数i，其定义是i2=-1.将i添加到实数集中，并和实数进行加、乘运算，就会产生新数.例如，把实数a与i相加，结果记作a+i；把实数b与i相乘，结果记作bi；把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a+bi；等.把a+i看作a+1i，bi看作0+bi，a看作a+0i，i看作0+1i，总之，实数与i进行加、乘运算后的结果都可以写成a+bi(a，b∈R)的形式.

为了促进学生领悟数系扩充思想，人教A版在这里给了一个“思考”栏目：([4],p.68)

把新引进的数i添加到实数集中，我们希望数i和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律. 那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？

教学中要注意落实这个“思考”的意图，让学生开展独立思考，进行上述“思想上的数系扩充实践”，发展理性思维.

3．引入复数概念要完成哪些事情

引入复数概念要完成的事情是：定义——分类——几何意义——基本性质.这里有几个问题要讨论一下.

(1)定义：要说清楚复数的内涵、要素.从a+bi(a，b∈R)的形式看，虚数单位i是关键性的，这是定义的核心；有两个组成部分a，bi，称a为实部，b为虚部(不是虚部系数).

(2)复数的相等：引入新对象后，为了保证对象的确定性，就要明确两个元素相等(或相同)的含义(定义).这里，当a，b∈R时，a+bi=0⟺a=0且b=0.由两个复数相等的定义，可以把复数看成一个有序实数对，从而为复数的几何意义奠定基础.在定义一个数学对象时必须说清楚什么叫“相等”，学生对此可能没有这种意识，并不认为这一点很重要，教学时应给予说明.

(3)如何引导学生研究复数的几何意义？这里可以引导学生解放思想展开想象.首先可以类比实数的几何意义，其次可以联系向量的坐标表示.类比用数轴上的点表示实数，提出是否可以对复数作出几何表示；由复数是二维数，引导学生从确定复数的条件出发思考复数的几何意义.

复数z=a+bi(a，b∈R)由a，b唯一确定，而且a，b不能交换顺序，本质上是一对有序实数对(a，b)，所以复数集与直角坐标系上的点集之间可建立一一对应关系：z=a+bi↔Z(a，b)，这就是复数的一种几何意义.

关于“复平面”的教学，要注意如下几点：

①复数z=a+bi用复平面内的点Z(a,b)表示.复平面内的点Z的坐标是(a,b)而不是(a,bi)，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1而不是i；

②不要强调复平面与一般坐标平面的区别；

③对于虚轴上的点表示的数，除原点外都表示纯虚数.不要在“y轴叫做虚轴”、“y轴(去除原点)叫做虚轴”哪种定义更“合理”上纠缠，这是没有意义的.

复数的向量表示：因为复数z=a+bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)一一对应，即复数集与复平面内的点集一一对应，而有序实数对即为平面直角坐标系中向量的坐标，所以复数集C与复平面内以原点为起点的向量组成的集合也是一一对应的，这是复数的另一种几何意义.

复数的模与实数的绝对值具有内在一致性，由此可知模与距离概念的关联，可以表达平面上的距离问题.如果再与复数的辐角结合起来，那么复数就与两个最基本的几何量建立起了内在关联，由此可以利用复数及其运算研究几何、三角的问题，其作用与向量是异曲同工的.

(4)基本性质：已有的经验是数的基本性质指“数的大小关系”，但复数没有大小关系，或者说：若两个复数都是实数，则可以比较大小；否则，不能比较大小.

实际上，“大小关系”的本源是自然数的大小关系：自然数源于对数量的抽象，因为“数量有多少”，所以“自然数有大小”，大小关系是自然数的最本质关系.所以，实数的大小关系基于生活直觉.由此，可以从皮亚诺公理出发，用数学归纳法证明：

①对于任意两个自然数a，b，ab有且只有一种关系成立(称为“三歧性”)；

②自然数的大小关系具有传递性；

③传递性在四则运算中仍然成立：我们用符号“*”统一表示四则运算，用“≈”统一表示①中的三种关系，只要注意到乘或除一个负数要改变大小关系，那么对于有理数a，b，c，有

a≈b⟹a*c≈b*c，

所以大小关系在有理数中仍然成立.

④根据实数理论，实数是通过有理数列的极限得到的，而有理数列四则运算的极限等于有理数列极限的四则运算，即

所以，基于自然数的大小关系对于实数仍然成立.

因为复数不是源于度量的需要，而是源于解方程，解方程的运算一般不具有上述③、④所示的性质，所以就传递性而言，复数不能像自然数那样比大小.

进一步地，数学推理论证的本质在于传递性，因此复数的“大小关系”是不能像实数那样，基于自然数的大小关系经过逻辑推理而得到.

我们可以定义复数的顺序，如

a+bi

⟺a

这个顺序与实数的大小关系相容，似乎非常像大小关系，但它不是大小关系.

如果我们引导学生把眼光从一维直线提升到二维平面，可以发现，在复平面上看，对于复数的关系，可以从更广泛的“对称性”进行讨论.这样，引入“共轭复数”的概念就自然而然了：

复平面内关于x轴对称的两个点所对应的两个复数有特殊关系，称为共轭复数.

4.复数的四则运算及其几何意义

引入一种新的数，就要研究关于它的运算；定义一种运算，就要研究其运算律(运算性质).这里需要让学生思考的问题是：

如何定义复数加法、乘法的运算法则才是合理的？

(1)关于复数的加法

可以采用分析法：设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，希望加法结合律成立，所以

z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(bi+di)；

希望乘法对加法满足分配律，所以

z1+z2= (a+c)+(bi+di)

= (a+c)+(b+d) i.

按这样的法则，当b=0，d=0时，复数的加法法则与实数的加法法则一致，这说明这样定义复数的加法法则与实数中的加法运算是和谐的.

乘法法则的分析类似.

定义运算法则后，如何引导学生研究运算的几何意义是需要重点考虑的一个问题.特别是，能不能让学生自己提出这个问题？

为此，可以从两个角度进行引导：一是从数及其运算的一般研究路径出发，提出需要研究的基本问题；二是从复数的几何表示出发，复数有几何意义，那么关于它的运算也一定有几何意义.在此基础上，联系向量运算的几何意义，就比较容易由学生自己发现和提出问题了.

那么，复数加法的几何意义的教学重点是什么呢？

教学重点是：引导学生探究复数加法与向量加法的统一性.可以从三个方面进行引导：①复数与复平面内以原点为起点的平面向量一一对应；②向量加法的坐标形式及其几何意义；③复数的加法法则.将这三个方面放在一起，并借助复平面进行分析，就能使学生领悟复数加法的几何意义就是复数的加法可以按照向量的加法来进行.

(2)关于复数的减法

首先，类比实数的减法，规定复数的减法是加法的逆运算；

然后，依据复数的加法、复数相等的定义，通过解实系数方程，得到复数的减法法则.

教学中可提醒学生，这里实际上使用的是待定系数法，它也是确定复数的一个一般方法.

复数减法的几何意义，等同于向量减法的几何意义.

(3)复数的乘、除运算

复数的乘、除运算与加、减运算的研究过程大同小异.

复数的乘法与多项式乘法有很强的可比性，将复数a+bi看成是关于i的“一次二项式”， 将复数的乘法按多项式的乘法进行，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部“合并同类项”即可.

复数的除法可以类比根式的除法，写成分数的形式后，利用共轭复数进行“分母实数化”就可以得出结果.

原则上，在完整地进行复数加法教学后，减法、乘法和除法可以让学生自学.

(4)共轭复数的性质

这是一个有意思的问题，可以引导学生在思考“具有特殊关系的复数在运算中是否也会出现什么特殊性”的基础上，自己展开探索活动，并注意从代数、几何两个角度作出解释.

5.复数的三角表示

复数的三角表示是复数的一种重要表示形式，它沟通了复数与平面向量、三角函数等之间的联系，可以帮助我们进一步认识复数，也为解决平面向量、三角函数和平面几何中的问题提供了一种重要途径，同时还为今后在大学期间进一步学习复数的指数形式、复变函数论、解析数论等高等数学知识奠定基础.

比较强烈地建议：要把本节内容作为必学.

(1)复数的三角表示式

这里的首要问题仍然是：如何引导学生发现和提出“复数的三角表示式”这一问题？

从知识基础看，前面已经建立了复数与向量的坐标之间的联系.另外，三角表示式与三角函数相关联，三角函数中学生曾经研究过“水车模型”，求解过在半径为2的圆周上做匀速圆周运动的点的坐标问题，特别是在三角函数概念一节，证明了

如果角α终边上任意一点P(x,y)(不与原点重合)到原点的距离为r，那么

这些都为用三角函数表示半径为r的圆上点的坐标做了较为充分的准备.如果教师直接讲解，那么学生听懂应该没有困难，但这样就失去了一次提高学生发现和提出问题能力的机会.所以，应该设法让学生自己来“捅破窗户纸”.为此，人教A版设置了一个“探究”栏目引导学生展开研究：

图1

这个“探究”是如何提出来的呢? 实际上，其背后的思想是：一个事物有多种表示方式，那么它们之间一定有内在联系，探索这些联系并得出相应的数学表达是数学研究的主要任务之一.教学中应引导学生仔细体会这一点，其实这是使学生领悟数学基本思想、积累基本活动经验的过程.

复数的三角表示式实际上是用另一种有序实数对(r,θ)确定一个复数，与极坐标一样.因为复数的三角表示式有固定的结构，需要通过概念辨析活动让学生加深认识：

第一，直角坐标系中，设角θ的终边与半径为r的圆(圆心在原点)的交点坐标为Z(a，b)，则有

z=a+bi=rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ).

学生可能会认为，含有正弦、余弦的复数就是复数的三角式，需要给一些反例.例如：

左边不是三角式，右边是三角式.

(2)复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

复数的乘法、除法、乘方和开方，用三角表示非常简洁，而且反映本质，特别是这些运算的几何意义非常明显、好用，在解决问题中威力巨大.另一个重要性是，与旋转变换、伸缩变换的联系，例如：

图2

这就是复数乘法的几何意义，是用旋转和伸缩变换来表示的.

另外，只要令z=z1=z2=r(cosθ+isinθ)，就有

z2=z1z2=[r(cosθ+isinθ)]2

=r2(cos2θ+isin2θ).

这里，z的次数可以推广到一般的n，有

[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)，

这就是棣莫佛定理.

利用三角表示作为知识的综合与联系的纽带作用，可以发现很多有意义的问题.

例如，与解一元n次方程的联系，特别是xn=1，其中蕴含的内容非常丰富；与三角函数的联系，可以方便地得出一些三角恒等式；证明一些几何题(实际上就是向量法)；与旋转变换、伸缩变换等几何变换的联系；等等.

5 小结

我们以陈省身先生的一个故事来结束本文.2003年岁次癸未，第二年是甲申(猴)年.陈先生突发奇想，要设计一套题为“数学之美”的挂历.他亲自构思、设计，用通俗的形式展示数学的深邃与美妙.挂历中的12幅彩色月份画页的主题分别为：复数、正多面体、刘徽与祖冲之、圆周率的计算、高斯、圆锥曲线、双螺旋线、国际数学家大会、计算机的发展、分形、麦克斯韦方程和中国剩余定理.……陈先生特别青睐复数，故把它作为挂历的首页主题.事实上，他发现的“陈示性类”就是复向量丛上的拓扑不变量.陈先生说：复数是一个神奇的领域.例如有了复数，任何代数方程都可以解，在实数范围就不可以……我的眼光集中在“复”结构上，“复丛”比“实丛”来得简单.在代数上复数域有简单的性质.群论上复线性群也如此，这大约是使得复向量丛有作用的主要原因.“几何中复数的重要性对我而言充满神秘.它是如此优美而又浑然一体.”([1],p.22～23)作为整体微分几何的开创者，他所领略到的复数之美、复数之用是我们难以企及的，以陈先生的故事和论述来结尾，似乎扯得太远，但我的想法是要以此引起广大高中数学教师对复数教学的充分重视，彻底抛弃“考什么教什么”的习惯，着眼于学生的终身学习、致力于学生数学学科核心素养的发展进行教学，为学生奠定后续数学学习的良好基础.