“数学通性通法”的研究综述及其现实意义①

金钟植

(广州市白云中学 510108)

1 引言

自《普通高中数学课程标准(2017年版)》(文中简称为“新课程标准”)颁布以来，历经各种培训和自我学习，对课程标准中的“立德树人”、“三会”、“四基”、“四能”和“数学核心素养”方面都有一定的认识和理解，但大部分老师仅限于理解新课程标准目标中的顶层设计，并不清楚在日常教学实践中的抓手是什么.新课程标准中的课程目标可以概括为：数学核心素养四基与四能三会立德树人.很多专家认同的观点是：数学核心素养的培养是落实新课程标准的抓手！但这种说法还是过于抽象，在课堂中如何落实方面还需要更加具体的表述.虽然很多专家在新课程、新教材培训中也给出了一些案例，但在教学中的一些处理上还需更加具体化.因为新课程标准在教学实践中落实的途径是以数学核心素养的培养为主线，所以笔者认为落实到位的关键还是要把“抓手”更加具体化，具体化的途径就是注重提高数学思维能力的教学，再具体说就是注重“数学通性通法”的教学.

笔者从大学时期开始到现在历经三十多年，一直关注数学教育界对“数学通性通法”认知和认同的过程，也一直注重其教学和研究.但从各个角度去观察和研究中发现，目前高中数学教育界对“数学通性通法”认知水平还远没有达到落实新课程理念的标准.笔者的观点也许是片面的，但如果在历经三十多年的教学中有意识地直接或间接地观察全国各地对有关问题的研究成果、专家们讲座中的观点、听一千多节数学课堂中的感悟及课后对学生的调研，综合起来思考，还是具有普遍性的.近期笔者在很多场合或撰文中提到过部分数学教师对“数学通性通法”的错误的认识，即认为注重“数学通性通法”是一种陈旧的教学观点.这种错误的认识来自他们对课程核心目标的理解上存在缺陷.我们应该清楚，新课程标准是从上世纪八十年代《全日制普通高中数学教学大纲》到九十年代对大纲的重新修订再到本世纪初的《普通高中数学课程标准(实验)》的继承和发展的结果.在历经四十年的继承和发展过程中，高中数学课程的核心目标一直没有改变！因为在这种转变过程中，始终把“培养学生的数学思维能力”为课程的核心目标.笔者在前三十年的一线教学中，一直坚持研究一项校本教研课题“培养数学思维能力之通性通法研究”.下面笔者从这项研究过程中的经历和思考，对“数学通性通法”的研究进行综述，在此基础上再谈谈注重“数学通性通法”的现实意义.

2 数学教育界对“数学通性通法”的研究综述

改革开放以后，从上世纪八十年代到目前为止，历经四十年的时间，国内数学教育界对“数学通性通法”的研究经历了四个阶段：八十年代初步形成“认识期”，九十年代进入“争论和认同期”，零零年代进入“微观、中观层面的研究期”及一零年代进入“比较全面的研究期”.下面针对这四个时期的研究情况及四十年中发文数量分析，简略地进行研究综述.

2.1 八十年代初步形成“认识期”

八十年代数学教育界开始意识到数学教学中注重“数学通性通法”的重要性，追其根源是基于两点：首先是随着国内数学教育理论的逐步完善，在培养数学思维能力方面的理论成果不断丰富，在此领域内的研究中自然会提及“数学通性通法”.典型的实例就是当时北京师范大学的曹才翰先生所指导的任子朝的硕士论文题目为“论数学思维结构”，而且当时数学教育的专家学者们都提倡“注重通性通法，淡化特技”；其次是部分一线教师在教学实践中思考如何教学才能更加有利于培养学生的数学思维能力.其中典型的实例就是如下的截图：

从中国知网中输入“主题”为“通法”后搜索出来的八十年代七篇论文中四篇来自一线教师，两篇来自教研员，一篇来自大学教师.

当时因为数学教育研究方面的历史局限性，在有关的研究成果中更多的是以具体的解题例子来说明某类问题的解题通法为主，即微观层面的局部研究为主.但即便是成果和认识方面还仅仅是起步阶段，有这种意识已经对后期的发展起到了奠基性的作用.

2.2 九十年代进入“争论和认同期”

九十年代，两种中学数学教育类核心期刊《数学通报》和《中学数学教学参考》刊登了4篇“通法”文章.1992年江西南昌的曾家鹏先生的文章“提倡运用通法，建议淡化特技”(《数学通报》第八期)，当时引起了中学数学教育界广泛的认同，但也引起了不少的争论.争论点主要在于“通法”的界定问题，而且这篇文章主要围绕着个别例题的解法角度谈自身的观点而已，并没有对“通法”属性的研究成果.针对曾先生的观点中存在的一些问题，1995年北京师范大学的王敬庚教授在《数学通报》第五期上发表了一篇题为“关于数学教学中强调通法的思考”的文章，文中第一次提到了通法的“相对性”.这种提法对当时这个领域的研究起到了非常重要的作用，但问题是仅仅谈了通法的局部属性.1997年湖北武汉的甘大旺先生在《数学通报》第二期上发表一篇题为“通法与特技的相对性及启示”的文章，文中更加系统地归纳和总结了通法与特技的相对性以及给我们的启示，但美中不足的是对“通法的相对性”方面还是存在着缺陷.这三篇文章对笔者研究“数学通性通法”给予了很大的帮助，但同时使笔者认识到，对这个领域内的研究来说，研究“通法的属性”非常重要.经过不断学习和研究，笔者在1998年《中学数学教学参考》第十一期上发表一篇题为“通法特点的研究及启示”的文章.文中归纳出通法的六个特点：概括性、隐蔽性、发展性、相对性、多样性和层次性.其中的“相对性”中，除了“通法与特技的相对性”外，还提到了“通法的相对局限性”，即“由题目结构的相对局限性导致通法的相对局限性、主体数学能力的相对局限性导致通法的相对局限性和知识的相对局限性导致了通法的相对局限性”.

这个时期，中学数学教育研究领域已经初步形成“中学数学教育学”学科，专家教授们基本认同“数学通性通法”的重要性，并在一些文章和专著中发表有关论点.针对《高考考试说明》，任子朝提到：高考坚持考查基本数学方法，题目不追求特殊技巧，而是考查学生必须掌握的通性通法(1)任子朝. 贯彻《考试说明》要求,努力做到“两个有利”——谈1991年高考数学试题[J].数学通报，1992(2)：21—24,29.曹才翰、章建跃合著的《数学教育心理学》中，对数学思想和方法的四个层次中，把“通法”放在第二个层次上(2)曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京:北京师范大学出版社，2006:187-188.

2.3 零零年代进入“微观、中观层面的研究期”

因为有了前二十年的研究及实践基础，进入新世纪的前十年，广大的一线教师在微观和中观层面上开始进行实践和研究，其研究成果是值得肯定的，因为在教学实践中，太多的通性通法问题还是属于碎片化的状态，需要不断完善、归纳和总结.微观层面的研究指的是在某类具体问题的解法中的通性通法，比如：数列求和法(公式法、分组求合法、错位相减法、裂项法等).中观层面涵盖两个方面：第一个方面是从思维层次的角度，比如：代入法、消元法、换元法、配方法、三角法、割补法、坐标法、数学归纳法、待定系数法、反证法、数形结合法、构造法等.第二个方面是从知识块的角度，比如：数列求和的通法从中观角度看，本质就是“消项”.

零零年代是我们国家开始进行新课改的十年，随着数学学科的课程改革，学科教育研究方面也进入了新的时代，已经形成了“中学数学教育学”学科.虽然“数学通性通法”的顶层设计进一步完善，但在教学一线有一种现象是值得反思的，即过分强调“数学思想和方法”的教学，导致有些教师误以为“数学思想和方法”统领数学教学的一切，岂不知没有“数学通性通法”的基础，哪来的“数学思想和方法”？在当时的一线教学中，甚至有些学校老师公开课的课题为“数学思想和方法”，而课后答辩中感受到这位老师连起码的通法都没有系统掌握，其实通法的宏观层面就是数学思想和方法.针对这种情况，笔者于2001年(之前一直是自主研究)开始组建了所在学校数学教研组老师为主，社会上的部分老师为辅的一个校本教研课题研究团队，研究课题为“培养数学思维能力之通性通法研究”.经过几年的教学实践中的思考和研究，开始从微观层面上取得成果之际，《高中数理化》杂志社于2006年聘笔者为特约编委，并在2007年杂志扩版为高一版、高二版和高三版时，征求有关办刊栏目，笔者建议增加“通法研究”栏目.2007年开始，我们这个研究团队给这个栏目贡献十五篇论文，并受到社会各界的充分肯定.下面截图是当年高二版第五期上刊登的读者与杂志社的来往书信(3)本刊编辑部.编读往来[J].高中数理化(高二版)，2007(5)：2.：

一点建议

编辑老师，您好.读完今年前4期的《高中数理化》，我和我的学生都深受教益.在此向为此付出艰辛努力的编辑老师们道一声辛苦了．每次拿到杂志，我们首先看的是《题根研究》和《通法研究》2个栏目，这2个栏目的文章尤其精彩，对我们教和学有极大的帮助，省了很多无用功.只是每期只能看到一部分，让我们等得好辛苦!建议能否把这2个栏目的文章汇集在一起，出一个单行本，让我们一睹为快、一饱跟福呢？

——四川省南克市二中 刘伟民

有待我们共同努力

刘老师您好，感谢您对我刊的厚爱.《题根研究》和《通法研究》这2个栏目都是我刊2007年新开辟的栏目，带有实验色彩.为了保证这些栏目的含金量和指导性，从2006年上半年起，我们组织了近百位特、高级教师进行了相关课题研究.现在陆续刊发的一些文章就是课题研究中相对成熟一些的成果.这些研究的原创性和开拓性，使其成为一项大规模的工程，有待各位一线老师的参与和合作.希望您也能参与到我们的项目研究中，一同来完成这项把学生从题海中拯救出来的伟大使命!

——本刊编辑部

经过一年“通法研究”栏目的运行(稿件除了课题组的成果，也陆续发表了来自全国各地一线教师的优秀成果)，使笔者深感到责任重大，同时也体会到广大一线教师需要更加注重“数学通性通法”的教学，所以在杂志社的要求下，于2008年第二期的三个版中发表了一篇题为“谈谈对通法的认识和理解”的论文，此文转载于人大报刊复印中心的刊物《中学数学教与学》的第八期上.笔者指导的东北师范大学的全日制研究生齐威娜于2008年完成硕士论文“对中学数学解题通法的研究”，课题组成员朴今子老师于2009年在东北师范大学李清老师的指导下完成在职硕士论文“高中数学通法的研究与启示”.

2.4 一零年代进入“比较全面的研究期”

经历前三十年，“数学通性通法”的研究开始进入比较成熟的发展时期. 除了数量极大的微观、中观的研究成果，期间的成果主要体现在两个方面：首先从宏观的角度，对“数学通性通法”的概念进行界定，其次是有一批的数学教育研究方向的硕士论文的主题为“数学通性通法研究”.

自2011年章建跃先生在《中小学数学》上发表题为“注重通性通法的教学是好的数学教学”，数学教育界开始研究“数学通性通法”的概念界定.这就是从“用什么”到“是什么”的转变，也就是研究其本质是什么.章老师认为：“通性”就是概念所反映的数学基本性质，“通法”就是概念所蕴含的数学思想和方法(4)章建跃.注重通性通法才是好的数学教学[J].中小学数学(高中版)，2011(11)：50..有关概念界定方面比较优秀的文章还有江苏的王明山、邰日昶两位老师于2015年7月在《数学教学研究》发表的文章“高中数学通性通法界定探究”.这篇文章列举了部分专家对这个概念内涵的界定，并指出作者对其内涵的界定为：师生熟知、核心可广泛应用、明确的知识结论称通性；在知识结构相对稳定的时期内，由通性自然得到的，能解决一类问题的普通方法称通法.更通俗地说，通性指的是“究竟是什么”，而通法则是“通常如何做”(5)王明山，邰日昶. 高中数学通性通法界定探究[J].数学教学研究，2015(7)：32-37,41..笔者认为两篇文章中提到的内涵本质上是相同的，但有时“通性通法”难以分割，所以在日常教学中是不是可以这样理解：谈到性质的时候叫“通性”，谈到思想和方法的时候就叫“通法”，但在解决问题的过程中应该叫运用“通性通法”解决问题.

进入一零年代，以“数学通性通法”研究为主题的硕士研究生论文有17篇，其中出自苏州大学的多达6篇.这些论文中，比较优秀的是苏州大学2016届顾晓峰的硕士论文“专家型高中数学教师通性通法的教学研究”.这篇硕士论文最值得肯定的有两个方面：首先是这位硕士生在选定课题以后,认真阅读了有关文献并进行了非常有逻辑性的文献综述，并提出自己的理解和看法，最大的亮点是对“数学通性通法”概念也给出自己理解下的界定：在解决一类具有相同性质的数学问题时所采用的具有某种规律性和普遍意义的常用解题模式和常用的数学解题方法.其次给出“通性通法教学”的理论框架(6)顾晓峰.专家型高中数学教师通性通法的教学研究[D].苏州大学，2016(6).：

在这个阶段，笔者依旧组织一个校本教研团队继续深入研究“数学通性通法”，并取得如下的成果和重新的认知：

从成果角度看，主要体现在研究和实践成果.研究方面是从思维根源的角度剖析一些通法的运用方式和从通法的多样性的角度研究通法的优化问题，共有10篇有关文章发表在《高中数理化》、《中小学数学》(高中版)等杂志上.在实践方面，把过去对通法的研究成果与高三教学有机地结合起来，使得在习题课教学有效性方面取得了明显的改进，特别是经过五年的连续实践，把所在学校的高考中的数学学科由比较弱势学科转化为强势学科.

对“通性通法”的重新认知主要体现在两个方面：首先认识到注重“数学通性通法”的教学与新课程标准中的“数学核心素养”、“四基”、“四能”、“三会”和“立德树人”在教学中的落实之间的内在联系，其次通过大量的调研和思考，认识到注重“数学通性通法”的教学还需要很长的路要走.

2.5 按“发文数量”的研究综述

以下截图是1980年到2019年的四十年中，在中国知网中输入“主题”为“通法”，并把研究层次定为“基础教育与中等职业教育”(简称“中国知网检索”)后搜索的发文数量分布图：

其中八十年代发文数量为7篇，九十年代发文数量为25篇，零零年代发文数量为126篇，一零年代发文数量为640篇.其中，《数学通报》发文9篇，《中国数学教育》发文30篇，《数学通讯》发文20多篇，《高中数理化》发文50多篇.从中国知网检索可查询到，国内各类数学教育类期刊和综合性的基础教育类期刊均有有关方面的研究成果发表.作者主要来自大学和教学研究机构的专家学者、一线教师和数学教育方向的硕士研究生.从发文的数量和质量上也不难看出在数学教学中，注重“数学通性通法”教学的认知过程是：从前三十年的积累，到一零年代有质的飞跃.

3 注重“数学通性通法”的现实意义

在引言中已经提到：落实新课程标准的“抓手”就是注重“数学通性通法”的教学.下面根据笔者三十多年来的观察、思考及研究体会，仅从四个教学案例分析谈其现实意义.

案例1近期在广州市高中数学教研活动中听了一节课题为“平面与平面垂直的判定”的公开课，授课教师为广州市第五中学的李大伟老师.这节课是典型的注重“数学通性通法”的优秀课案例！广州市教研院的曾辛金老师从新课程标准的落实角度进行了点评，笔者再从注重“数学通性通法”的角度对一些教学片段进行点评.从教学设计看，主要是以三个问题为主线，即“问题1：大家回顾一下直线与平面垂直、直线与直线垂直的定义过程”、“问题2：二面角的大小定量地反映了两个平面相交的位置关系，如何度量二面角的大小呢？不妨回顾异面直线所成角和直线与平面所成角的定义”、“问题3：有方法判断平面与平面是否垂直吗？”，而每个问题都有若干个追问.从这三个提出的问题，不难看出李老师在教学中注重了类比、猜想、分析、综合、化归等数学思维的发生和发展过程，从中抽象出新的概念、性质和定理.其中最突出的就是通过新旧知识之间的内在联系的客观事实，通过问题导向来引导学生不断思考和跟进课堂教授的主线，这样设计的价值有利于培养学生的数学核心素养中的数学抽象、直观想象和逻辑推理等.从通性通法的角度看，李老师抓住了立体几何位置关系中“空间问题平面化”和“平面问题空间化”及由“平行”与“垂直”类比的通性通法：

现实意义章建跃先生在近期的培训中，经常提到要注意教材的两条基本逻辑：一是教学内容的逻辑，二是学生心理的逻辑，进而在教学中要注意两者有机结合的教学设计的基本套路，其中几何教学的基本套路为：背景概念判定、性质结构(联系)应用.也提到“问题提出”的三个原则：反映教学内容的本质、在学生思维最近发展区和问题的发展性.

这个案例中的教学设计确实落实了章建跃先生针对新课程与新教材培训中的基本理念，而这些理念中蕴含着注重“数学通性通法”教学的现实意义.

案例2今年五月笔者曾在广州市大同中学听一节高三年级的专题课，课题为“数列求和”，授课教师为李彩莲老师.这堂课的最大亮点是：从通法的多样性出发，能把“数列求和”的四种方法概括为一种，即都可用“裂项法”.笔者与朴今子合作曾于2018年发表过一篇题为“从通法的多样性谈通法的优化问题”的文章，文中的一个例子与李老师的想法不谋而合.但课后的交流中感觉到，李老师并没有读过那篇文章.在笔者听过的几十节数列求和问题的课中，能达到这个高度的仅此一节.课堂中首先列举了前三种方法可求和的数列的裂项形式，例如：2n-1=n2-(n-1)2;2n=2n+1-2n，这两种裂项属于等差和等比数列的裂项，再例如：数列{(2n-1)2n}求和问题可以用“错位相减法”，但也可以用“裂项法”，不同的是裂项的难度大一些，但分析的时候可以先猜想这个数列的裂项形式为：(2n-1)2n=[p(n+1)+q]2n+1-(pn+q)2n，再利用待定系数法可求出p=2,q=-5，代入即可化为裂项形式.也可以把求系数的过程作为分析思路的过程，在解答过程可以用构造来替代，这样过程显得更为严谨：因为

(2n-1)2n=[(4n-6)-(2n-5)]2n

={2[2(n+1)-5]-(2n-5)}2n，

即(2n-1)2n=[2(n+1)-5]2n+1-(2n-5)2n，进而达到裂项的形式.最后给出一个学生从未见过的数列的裂项问题：求数列{(-1)n(n2+n)}的前n项和Sn.启发学生通过猜想和待定系数法得到裂项的形式，然后从演绎推理的角度去写解答过程，关键在于构造如下的恒等式：

所以裂项过程如下：因为

这节课是注重“数学通性通法”的一节精彩的复习课，整堂课都是围绕着“数列求和”中的通性通法展开，更加难得的是能够分析出四种通法的概括.从课堂中学生的反馈中不难看出，李老师在平常的教学中通过注重“数学通性通法”来落实“四基”，特别需要提出的是，如果学生没有通过猜想和待定系数法构造为裂项形式的思维活动经验，那么别说学生能解决最后一道例题，可能老师直接分析思路也未必能听得懂.

现实意义这个案例充分体现了注重“数学通性通法”的现实意义.首先对通法的优化体现了培养学生的数学核心素养中的“逻辑推理和数学运算”，其次通过典型例题的通法训练落实了“四基”.在注重“数学通性通法”教学中，经常会经历“概括、推理、比较、分析、综合、归纳”等思维活动，所以在通法的得出和运用中始终蕴含着有利于培养数学核心素养的数学思维活动.

案例3“直线与平面平行的判定”的习题课是高中立体几何中必须要安排的一节专题型的习题课，但在笔者听过的将近五十节课中，从注重“数学通性通法”角度看，没有一节课是达标的.听过的所有课中，在证明“平面α外的直线a与这个平面内的直线b平行”时，对如何作出直线b，没有给出明确的说法，而是不讲根据地问“是不是该作中位线？”之类的问题.根据直线与平面平行的性质定理不难发现，直线b应该是直线a所在平面β与平面α的交线.所以从“数学通性通法”的角度去谈“如何作出直线b”的分析过程是：经过直线a的平面β中找出与平面α的两个公共点，连结这两个公共点就是作出了直线b.可以概括地说成“作交线b”，本质上来说这种通性通法来自“直线与平面平行的判定定理和性质定理”的融合.例如：正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，AP=DQ．求证：PQ∥平面BCE．

分析：要证明PQ∥平面BCE，只需证明PQ平行于平面BCE内的一条直线，由于PQ与AE所确定的平面APQ与平面BCE有公共点E，只需连结AQ并延长交BC于K，连结EK，则EK为“交线”，余下分析略.不难看出这种通性通法的运用显得思维过程自然.

现实意义如果不注重“数学通性通法”的教学，就很难让学生通过理解知识的本质去分析问题和解决问题，也就很难提升学生的数学核心素养，更谈不上通过数学教学落实“四基”和“四能”.通过这个案例也充分体现了实施新课程的过程中，对我们一线教师的专业功底是极大的考验.教师本身对知识本质的理解、知识之间的内在联系的认识方面有缺陷，再加上不懂得注重“数学通性通法”的重要性，何谈在教学中实施新的课程标准？解决这个问题的途径主要还是靠教师自身的学习和思考以及所在学校加强校本教研.

现实意义在有关三角变换的习题课中经常遇到以上所举的反例中出现的状况，根本原因在于老师们没有从通性通法的角度分析三角公式的本质，即针对公式没有从“角的结构”和“函数名的结构”角度分析公式的“正用”和“逆用”.更致命的是大部分老师们并不清楚寻找解题思路的逻辑性，只是在讲“这么这么做”，并不能讲“因为什么”，像这种没有分析过程，直接演绎推理的解题教学是把学生推入“题海”深渊的根本原因.所以在落实新课程标准的数学解题教学中，注重“数学通性通法”教学是提高课堂有效性的必然选择.根据这个案例，从通性通法的角度如何进行教学才能使我们的课堂更加有效呢？笔者认为从“信息加工论”的角度进行解题思维教学是最有效的教学.其过程如下框图：

这个案例的现实意义在于为了落实新的课程标准，通过注重“数学通性通法”的教学，提高素养、培养“四基”，在这个过程中需要的是适度地反复的思维过程，这种反复主要途径之一就是我们平常的解题教学和课后布置的作业.

以上是对“数学通性通法”研究的简要综述以及通过案例谈到的注重“数学通性通法”的现实意义.概括地说，要使我们的数学教学有利于培养新时代的接班人，在教学的具体领域内还需要很多的事情去做，其中对“数学通性通法”的研究和实践也同样需要不断完善和发展.