深化课本习题教学 培养创造思维能力

曩树权

【摘要】学生在解决数学问题过程中所特有的各种思维活动就是思维创造性.它既可揭示事物的本质又可产生新颖独特的想法.因此，在课本习题教学过程中，教师要通过对课本例、习题的深化、改造、推广，从多个角度提出新颖独特的解决问题的方法，培养学生思维的灵活性、思维的敏捷性、思维的创造性，从而培养学生以不变应万变的能力.

【关键词】习题教学;培养能力;创造性思维

教材中的习题是教材的重要组成部分，是数学知识应用的浓缩，是数学问题的精华，具有典型性、代表性，简明扼要、难度适中、编排合理，具有面向大多数学生的特点.因此，在数学课堂教学中，特别是在九年级的一二轮复习过程中，只有认真研究教材，深化和改造课本習题，才能培养学生驾驶课本知识的能力，才能做到“以不变应万变”，对克服“题海战术”起着积极的作用.对课本习题进行深化和改造，不仅可以开阔学生的解题思路，培养学生的思维能力，而且还能大大激发学生学习数学的热情.笔者以一道极为普通的课本习题为例，谈谈深化课本习题，培养学生思维能力的一点粗浅体会.

题目 如图1，△ABC内任意一点P，连接BP并延长交AC于点D，连接CP，用不等号“>”或者“<”表示∠A，∠BPC，∠BDC的大小关系，并说明理由.

一、一题多解 培养思维灵活性

培养学生思维的灵活性，就是培养学生善于根据事物的变化改变思维角度，寻找较佳的捷径.在教学中，教师要善于引导学生从多方面，多角度去思考数学题目，使学生学会在多维思索中灵活处理问题的方法，从而培养学生思维的灵活性.比如，此题用三角形的任一外角大于与它不相邻的一个内角这个定理证明即可.若要证∠BPC>∠A，还可以连接AP并延长交BC于E（如图2），或延长CP交AB于E（如图3），或过C作AB的平行线交BP的延长线于E（如图4），这几种方法有的步骤可能较烦琐，但可以帮助学生对同一问题用多种方法思考，用各种途径探求不同的解答方案，这样，既可培养学生解题的思维品质，又能拓宽学生的解题思路，使学生熟练掌握知识的内在联系，使思维向多方向发展，培养其思维的灵活性.

二、探索推广 培养思维创造性

培养学生思维的创造性，就是培养学生善于探索与引申，勇于创新的精神.在教学中，教师要有意识地提供典型材料，引导学生去探索，从而培养学生的创造性.

1.对结论进行改造

已知，如图1，点P是△ABC内一点，连接BP并延长交AC于点D，连接CP，求证：∠BPC=∠A+∠ABD+∠ACP.改造后题目的难度稍微加大，但教师稍加指点学生，学生即可开窍.

2.对题目进行深化

点P是△ABC一点，但不是任意一点，而是受一定条件限制了，这样更能培养学生的创造性思维.

（1）如图5，点P是△ABC的内角平分线的交点（内心），求证：∠BPC=90°+12∠A.

（2）如图6，点P是锐角三角形ABC内三条高线的交点（垂心），求证： ∠BPC=180°-∠A.

（3）如图7，点P是△ABC的三边垂直平分线的交点（外心），求证∠BPC=2∠A.

3.对条件和结论进一步深化

在前两个问题中，三角形都是一般三角形，第一种情况是点P是△ABC内任意一点，第二种情况是点P分别是角平分线、高、三边垂直平分线交点，已知∠A，求∠BPC与∠A的关系.由一般到特殊培养学生的创造性思维，若三角形ABC是等腰三角形或者是等边三角形，则点P受一定条件限制又会怎么样呢？请看下面几道题：

（1）如图8，已知点O是等边三角形ABC内一点， OA=4，OB=5，OC=3.求∠AOC的度数.

此题将△BOC绕C顺时针旋转60°即可.

（2）如图9，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，OA=4，OB=6，OC=2.求∠AOC的度数.

此题将△AOC绕A顺时针旋转90°即可.

（3）如图10，点O是等边三角形ABC内一点，∠AOB=110°， ∠BOC=135°.

试问：以OA，OB，OC为边能否构成一个三角形？若能，请求出三角形各内角的度数;若不能，请说明理由.

此题作等边三角形OCD即可.

三、灵活运用 培养思维的敏捷性

在教学中如能充分挖掘和发挥典型习题，推广结论，不但能迅速解决一些数学问题，提高解题速度，而且能培养学生的思维敏捷性.

利用上面的结论能迅速简捷地解决一些问题.

例1 已知：如图11，点P是△ABC内的一点，AB=AC， ∠ABP=∠PCB，∠A=50°，求∠BPC的度数.

解 因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB.

又因为∠ABP=∠PCB.

所以∠BPC=∠A+（∠ACB-∠PCB）+∠ABP=∠A+∠ACB=∠A+12（180°-∠A）=115°.

例2 如图12，点P是△ABC的内角平分线的交点（内心），∠BPC=130°，求∠A的度数.

解 ∠BPC=130°=90°+12∠A，∠A=80°.

例3 如图13，点P是△ABC的三边垂直平分线的交点（外心），且AC2=AB2+BC×AB，∠ACB=40°，求∠BPC度数.

解 延长AB到D使BD=BC，连接DC.因为AC2=AB2+BC×AB，所以AC2=AB（AB+BC）=AB·AD，所以ACAB=ADAC.在△ABC与△ACD中，∠A为公共角，所以△ABC∽△ACD，所以∠BDC=∠ACB， ∠ABC=2∠BDC=2∠ACB=80°， 所以∠A=60°，所以∠BPC=120°.

综上所述，在数学课堂教学中，特别是九年级复习课的教学中，教师要秉承“以本为本，以纲为纲”，立足课本，对典型课本习题进行横联、推广、运用，以起到讲一题，连一串，通一类的效果，这样不仅能有效落实双基知识，更能有效培养学生探索问题的习惯，达到提高学生的应变能力和创造能力的目的.

【参考文献】

[1]陈伟江.逆用直线方程的点斜式解题[J].数学教学研究，2003（5）：38-39.

[2]彭合成.创新教育论[M].长沙：中南大学出版社，2006.