如何用函数思想指导高中数学解题

李腾

【摘要】  本文主要阐述如何用函数思想指导高中数学解题，并结合当下高中学生数学解题实际情况，首先分析函数思想概述，其次从通过函数思想处理方程问题、通过函数思想处理不等式问题、通过函数思想处理数列问题、通过函数思想处理应用问题几个方面深入说明并探讨用函数思想指导高中数学解题的措施，进一步强化函数思想在高中数学解题中的运用，为相关研究提供参考资料.

【关键词】  函数思想;高中数学;解题思考

函数思想是数学学科的一个思想，会对数学解题成效产生较大的作用，也是师生分析与解决问题的关键理念.将函数思想引入数学教学，本质上便是以题目的内在关联或者某个特点为中心，研究其性质或图像，从而解决问题.在高中数学中，函数是重要的组成部分，贯穿教学的各个环节，尤其是最近几年的高考题目增加了对函数知识的考查比例.所以，在实际的教学中教师要充分引进函数思想，指导学生巧妙地解决数学问题.

一、函数的概念

设A，B是两个非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x） 和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A.其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域，与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f（x）| x∈A }叫作函数的值域.

注意：

（1）“y=f（x）” 是函数符号，可以用任意的字母表示，如y=g（x）;

（2）函数符号“y=f（x）”中的f（x）表示与x对应的函数值，是一个数，而不是f乘以x.

二、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

解决函数问题前必须准确确定该函数的定义域.函数的定义域包含三种形式：

（1）自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如分式函数的分母不为零、偶次根式函数的被开方数为非负数、对数函数的真数为正数等）;

（2）限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中的重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，学生解题时容易犯错误;

（3）实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义.

求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求学生能用初等方法求一些简单函数的值域问题，例如：

（1）配方法（将函数转化为二次函数）;

（2）判别式法（将函数转化为二次方程）;

（3）不等式法（运用不等式的各种性质）;

（4）函数法（运用基本函数性质或抓住函数的单调性等）.

三、通过函数思想处理方程问题

所谓方程，就是含有未知数的等式，即便与函数定义有所差异，然而两者之间存在很大的关联.在函数中引进解析式表示题目关系便是运用方程的一种表现形式.通过函数思想解决方程问题，本质上是将函数视为已知量为零的方程模式，从而完成数学知识的转化，巧妙地把方程转变为函数.

比如在解方程的过程中，尤其是相对烦琐的方程，通过简便的理念解决方程需要耗费诸多的时间和精力，难度相对大一些，所以要依据函数思想，立足于函数图像及性质对方程的解进行研究，从而得到正确答案.

这样观察函数图像及其x轴的交点，就可得到所求问题的答案，m<a<b<n，因为a<b与m<n，所以构建函数可提高解决问题的效率.

四、通过函数思想处理不等式问题

把函数思想作用在求解数学问题上，能够获取一定成效.学生针对不同形式的基本函数较为熟悉，若可以深入掌握函数概念，能够缩短解决问题的时间，提高学习效率.函数是呈现两个变量之间关系的一种模型，可针对高中数学学科不等式问题产生指导作用，故在解决不等式问题的过程中可以适当引进函数思想.也就是说，教师在具体教学中要让学生树立函数思想意识，使学生在解决问题时提高函数思想应用质量，提升学生学习信心.

利用函数解不等式的依据：不等式f（x）> g（x）的解集就是函数f（x）位于g（x）上方的图像部分的点的横坐标的值的集合.特别地，f（x）> 0的解集就对应于f（x）的图像位于x轴上方的部分的点的横坐标的值的集合.此外，求解“抽象不等式”往往可借助函数的单调性或图像.

五、通过函数思想处理数列问题

数列是按照某种顺序进行排列的一列数，同时其中任何一个数字都作為数列中的一项，所以在处理数列问题过程中，我们可把数列视作项数的一种函数，涉及的通项公式称为函数公式.对于高中数学问题的解决，我们可以把数列  视作函数，借助函数知识展开解题.

需要注意的是，函数以及数列之间存在相同点，函数思想本质上是变量规律与内在关联的研究，以关系的研究找到数量特征，所以函数和数列之间存在通性，我们可以利用函数的性质和图像分析数列，两者的区别只是连续性与离散性，在类比之下融合函数思想处理数列问题.

六、通过函数思想处理应用问题

在具体生活中分析两个变量的关系，特别是路程、环保和生产等问题，常和角度、数量及面积存在关联.这一部分应用问题和学生生活紧密相连，也是高考考查的热点问题.在处理这些问题的过程中，我们要善于找到问题中的数量关系，并借助函数解析式进行表达，把问题转化为函数最值问题.解答应用问题一般包含以下几个步骤：（1）审题，也就是阅读题目，明确题目结论及条件，思考被分析量之间的关系，并以符号的形式表达出来;（2）构建模型，探索数量关系，借助函数解析式完成表达;（3）解答，即借助知识与方法得到结果，并结合具体意义检验结果，得到正确答案.

函数思想的形成并不是短时间内可以实现的，而是需要师生之间共同努力，长时间的训练与积累，不间断地促使学生发展函数思想，自主通过函数知识解决实际问题，如通过函数思想处理方程问题、通过函数思想处理不等式问题、通过函数思想处理数列问题等，在最短的时间内获取解决问题的最大成效，培养学生的数学素养与思维能力.

【参考文献】

[1]易建平.在高中数学解题教学中培养函数思想[J].现代教学，2017（9）：63.

[2]涂方珍.高中数学解题中函数与方程思想的实例探究[J].数理化解题研究，2018（16）：32-33.

[3]陈海蓉.数形结合思想在高中数学解题中的应用探究[J].高考，2019（17）：194.