Taylor不等式在解题中的应用

董立伟

[摘 要]Taylor不等式可以应用在求解参数取值范围、不等式的证明及估值等问题.

[关键词]Taylor不等式;参数;不等式;估值

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）26-0026-03

Taylor不等式：当[x>0]时，[x-1x≤lnx≤x-1].

Taylor不等式的后半部分以一个等价形式[ex>1+xx≠0]出现在普通高中课程标准实验教科书数学A版选修2-2（人民教育出版社，2007年第2版）第32页B组第1题.

Taylor不等式既是命制导数压轴题的重要模型，也是求解导数压轴题的重要工具.

一、求参数取值范围问题

[例1]已知函数[fx=ln xx-ax2+a].若对任意[x≥1]，有[fx≤0]恒成立，求实数[a]的取值范围.

解：当[x=1]时，[fx≤0]显然成立.

当[x>1]时，[fx≤0]等价于[a≥ln xxx2-1].

由Taylor不等式，当[x>1]时，[x-1x<ln x<x-1]，所以[1x2x+1<ln xxx2-1<][1xx+1].

记[gx=ln xxx2-1]（[x>1]），[hx=1x2x+1]（[x>1]），[ix=1xx+1]（[x>1]）.

因为[hx=-3x+2x3x+12<0]，所以[hx]在[1，+∞]上单调递减.故[hx<h1=12].

因为[ix=-2x+1x2x+12<0]，所以[ix]在[1，+∞]上单调递减.故[ix<i1=12].

又因为当[x→+∞]时，[hx→0]，[ix→0]，所以[gx]，[hx]与[ix]的值域均为[0，12].故[a]的取值范围是[12，+∞].

评析：恒成立求参数取值范围的问题，分离参数是重要的方法.但本题分离参数后所得函数[gx]的形式较为复杂.借助Taylor不等式放缩所得[hx]与[ix]的形式则较为简单.并且利用双侧逼近的思想确定[gx]的值域，规避了对[gx]求导所可能产生的繁雜运算.

[例2]已知函数[fx=2ln x-ax]（[a∈R]）.当[x≥1]时，总有[x fx+a≤0]，求实数[a]的取值范围.

引理：当[x>1]时，[ln x<12x-1x].

证明：构造函数[mx=ln x-12x-1x]（[x>1]）.则[mx=-x-122x2<0]，所以[mx]在[1，+∞]上单调递减，从而[mx<m1=0].

故，当[x>1]时，[ln x<12x-1x].

解：[x fx+a≤0]，即[ax2-1≥2xln x].

当[x=1]时，[ax2-1≥2xln x]显然成立.

当[x>1]时，[ax2-1≥2xln x]等价于[a≥2xln xx2-1].

记[gx=2xln xx2-1]（[x>1]），

由引理及Taylor不等式，当[x>1]时，[x-1x<ln x<12x-1x]，所以[2x+1<gx<1]. 又因为当[x→1]时，[2x+1→1]，所以[a]的取值范围是[1，+∞].

评析：（1）我们希望利用Taylor不等式对[gx]做放缩之后所得到的函数与[gx]的函数取值具有相同的上确界.但是利用[ln x<x-1]放大所得函数[y=2xx+1]与利用[x-1x<ln x]缩小所得函数[y=2x+1]在[1，+∞]上函数取值的上确界并不相同.分析发现，这是由于[ln x<x-1]将[gx]放得太大了.利用引理不等式则不至于将[gx]放大得太多.事实上，引理不等式是Taylor不等式的一个常用加强形式.

（2）例1与例2有共性，即分离参数后所得两个函数形式均为[gx=mxnx]，且[limx→x0mx=limx→x0nx=0]（或[limx→x0mx=limx→x0nx=∞]），其中[x0]为函数取值达到上确界（或下确界）时自变量的取值（我们允许[x0]为[+∞]或[-∞]）.因此，若分离参数后所得函数形式不是这种类型的，可以不用双侧逼近，而只需单侧放缩即可，请看例3.

[例3]已知函数[fx=xex-a]（[a∈R]，[e]为自然对数的底数），[gx=12x+12].对于任意[x∈-32，+∞]，[fx>gx]恒成立，求[a]的取值范围.

解：[fx>gx]即[a<xex-12x+12].

记[hx=xex-12x+12]，[x∈-32，+∞].由Taylor不等式，[ex≥x+1]，等号当且仅当[x=0]成立，所以[hx≥xx+1-12x+12=12x2-12≥-12]，等号当且仅当[x=0]成立.故[hx]的值域为[-12，+∞].

所以，[a]的取值范围是[-∞，-12].

评析：求参数取值范围问题，当分离参数后所得函数含有[ln x]或[ex]的形式时，可考虑利用Taylor不等式对函数做放缩，但放缩前后的函数应在相同自变量的取值处取得相同的上确界（或下确界）.

二、不等式的证明

[例4]已知函数[fx=ln xx+a]（[a∈R]），曲线[y=fx]在点[e，  fe]处的切线方程为[y=1e].求证：当[x>0]时，[fx≤x-1].

证明：由条件，解得[a=0]，所以[fx=ln xx].

由Taylor不等式，当[x>0]时，[ln x≤x-1]所以[ln xx≤x-1x=1-1x].

所以，只需证明当[x>0]时，[1-1x≤x-1]即可.这等价于证明当[x>0]时，[x+1x≥2].由二维均值不等式，显然成立.证毕.

评析：本题借助Taylor不等式，證明了[fx≤x-1]的一个加强不等式.当然，本题直接证明[fx≤x-1]也并不困难.但直接证明如下例5却并不容易，采用证明加强不等式的方法会容易得多.

[例5]已知函数[fx=2x3+31+mx2+6mx]（[m∈R]）.若[f1=5]，函数[gx=aln x+1-fxx2≤0]在[1，+∞]上恒成立，求证：[a<2e].

证明：由[f1=5]，得[m=0]，所以[fx=2x3+3x2]，[gx=aln x+1-2x-3].

[gx≤0]等价于[a≤2x+3ln x+1].由Taylor不等式，[ln x≥x-1x]，所以[a≤2x+3x-1x+1=2x2+3x2x-1].

记[hx=2x2+3x2x-1]，[x>1].则[hx=2x-32x+12x-12].[hx=0]得[x=32].

当[x∈1，32]时，[hx<0];当[x∈32，+∞]时，[hx>0].故[hx]在[1，32]上单调递减，在[32，+∞]上单调递增，所以[hx≥h32=92].

故[a≤92<2e].

评析：利用Taylor不等式对函数做放缩，寻找所证不等式的加强不等式是证明不等式的好方法.但有些情况下加强不等式的证明可能还需利用分类讨论.请看例6.

[例6]函数[fx=aln x-a2x-6x]（[a∈R]）.若[a>0]，证明：当[x∈0， 2]时，[fx<0]恒成立.

证明：由Taylor不等式，[ln x≤x-1].故只需证明当[a>0]，且[x∈0， 2]时，[ax-1-a2x-6x<0]，即[a-6x2-ax-a2<0].

记[gx=a-6x2-ax-a2]，[x∈0， 2] .则[gx=2a-12x-a].

（ⅰ）当[0<a≤6]时，[gx≤g0=-a<0]，所以[gx]在[0， 2]上单调递减.故[gx<g0=-a2<0]成立.

（ⅱ）当[a>6]时，[g0=-a2<0]，[g2=-a2+2a-24=-a-12-23<0].故当[x∈0， 2]时，[gx<0]成立.

评析：证明不等式的问题，可以利用Taylor不等式寻找原不等式的一个加强不等式来辅助证明.

三、估值问题

[例7]已知函数[fx=aex-x-1].设[m]为整数，且对于任意正整数[n]，[1+121+122·…·1+12n<m]，求[m]的最小值.

解：由Taylor不等式，当[x>0]时，[ex>x+1].依次取[x=12i， i=1， 2， …， n]，则有

[1+12<e121+122<e122…1+12n<e12n]

将上述[n]个式子相乘，得

[i=1n1+12i<i=1ne12i=ei=1n12i=e1-12n<e<3].

又因为当[n=3]时，[i=131+12i>2]，所以[m]的最小值为3.

评析：本题寻找满足条件的正整数[m]的最小值.解答首先借助于Taylor不等式，找到[m]的一个上界，之后再取[n]的特殊值找出[m]的理想下界，利用双侧逼近的办法，确定出[m]的最小值.有些问题，可以先利用Taylor不等式找到参数的一个理想上界（或下界），之后利用先猜后证的方法确定参数的最值.请看例8和例9.

[例8]已知函数[fx=1+ln xx-1-kx].若[fx>0]对任意的[x∈1，+∞]恒成立，求整数[k]的最大值.

解：[fx>0]对任意的[x∈1，+∞]恒成立，等价于[k<xx-11+ln x]对任意的[x∈1，+∞]恒成立.

由Taylor不等式，[ln x≤x-1]，所以[k<x2x-1]，[x∈1，+∞].

记[gx=x2x-1]，[x∈1，+∞]，则[gx=x2-2xx-12].

当[x∈1， 2]时，[gx<0];当[x∈2，+∞]时，[gx>0].故[gx]在[1， 2]上单调递减，在[2，+∞]上单调递增，所以[gx≥g2=4]，从而有[k<4].下证整数[k]的最大值为3.

当[k=3]时，[fx=1+ln xx-1-3x].[fx>0]即[xln x-2x+3>0].

记[hx=xln x-2x+3]，[x∈1，+∞].[hx=ln x-1]，[hx=0]得[x=e].

当[x∈1， e]时，[hx<0];当[x∈e，+∞]时，[hx>0].故[hx]在[1， e]上单调递减，在[e，+∞]上单调递增，所以[hx≥he=3-e>0]成立.

故整数[k]的最大值为3.

[例9]已知函数[fx=aex-x]，[a∈R].若关于[x]的不等式[aex≥x+b]对任意的[x∈R]和正数[b]恒成立，求[ab]的最小值.

解：若[a≤0]，因为[b>0]，故当[x=0]时，可得[a≥b]不成立，所以[a>0].

因为对任意[x∈R]和正数[b]，[aex≥x+b]恒成立，所以，特别地，对[x=0]也成立.从而有[a≥b]，即[ab≥1].下证[ab]的最小值为1.

事实上，取[a=b=1]时，有[ex≥x+1]，此即Taylor不等式，成立.

故[ab]的最小值为1.

评析：估值问题，常常需要先确定变量的一个大致范围.而Taylor不等式则是构造不等关系，寻找变量大致取值范围的有力工具.

Taylor不等式是高中数学中的一个重要的不等式.它以Taylor公式为背景，是连接指数、对数等超越函数与代数函数的桥梁，在函数放缩、简化运算及寻找解题思路中起着重要的作用.因此，教师应当关注对Taylor不等式的教学，精心挑选例题，开展Taylor不等式的探究及应用活动.通过这样的数学活动，让学生了解Taylor不等式的背景，掌握Taylor不等式的常用变形及加强形式，体会Taylor不等式在探寻解题思路中的作用.

（责任编辑 黄桂坚）