浅谈数列求和的常用方法

◇ 山东 史红勇

1 公式法求和

利用常用求和公式求和是数列求和的基本方法．

例1设{an}是公差不为0的等差数列,a1＝2,且a1,a3,a6成等比数列,则{an}的前n 项和Sn＝( )．

解析设等差数列的公差为d,因为a1＝2,则a3＝2＋2d,a6＝2＋5d．又因为a1,a3,a6成等比数列,所以＝a1·a6,即(2＋2d)2＝2(2＋5d),整理得2d2－d＝0．因为d≠0,所以所以

故选A．

2 错位相减法求和

将错位相减法用于数列求和,常见于求一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}的对应项之积构成的数列{an·bn}的前n 项和．

例2已知{an}为等差数列,前n 项和为Sn(n∈N∗),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2＋b3＝12,b3＝a4－2a1,S11＝11b4．

(1)求{an}和{bn}的通项公式;

(2)求数列{a2nb2n－1}的前n 项和(n∈N∗)．

解析(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q．由b2＋b3＝12,得b1(q＋q2)＝12,而b1＝2,所以q2＋q－6＝0．又因为q＞0,解得q＝2,所以bn＝2n．又因为b3＝a4－2a1,S11＝11b4,则

联立①②,解得a1＝1,d＝3,由此可得an＝3n－2．所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2,数列{bn}的通项公式为bn＝2n．

(2)设数列{a2nb2n－1}的前n 项和为Tn,由a2n＝6n－2,b2n－1＝2×4n－1,得a2nb2n－1＝(3n－1)×4n,故

③－④,得

3 倒序相加法求和

若首尾距离相等的两项和有其共性则可考虑运用倒序相加法求和．

例3设则S＝_____．

解析因为所以

①＋②,得

4 裂项相消法求和

如果数列{an}的每一项均可拆成两项之差,并在求和时一些正负项可以相互抵消,只剩首尾若干少数项,那么求{an}前n 项和可用裂项相消法．

例4已知等差数列{an}满足(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋…＋(an＋an＋1)＝2n(n＋1)．

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设求{bn}的前n 项和Sn．

解析(1)设等差数列{an}的公差为d,当n＝1时,a1＋a2＝4,当n＝2 时,a1＋a2＋a2＋a3＝12,则4a2＝12,a2＝3,所以a1＝1,d＝a2－a1＝2,所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1．

(2)由(1)可得

所以

5 分组法求和

如果数列{an}的各项均可写成一些易求和的特殊数列的和或差,则可以把数列的每一项分解成两项或多项,或者把数列的项重新组合,使其转化成两个或多个等比数列(或等差数列)的和．

例5等差数列{an}的前n 项和为Sn,数列{bn}是等比数列,且满足a1＝3,b1＝1,b2＋S2＝10,a5－2b2＝a3．

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

解析(1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q．由b2＋S2＝10,a5－2b2＝a3,得

综上,an＝3＋2(n－1)＝2n＋1,bn＝2n－1．

(2)由a1＝3,an＝2n＋1,得Sn＝n(n＋2),