数学教学中经验迁移途径

摘 要：数学知识学习中的问题解决都是经验系统的具体反映。这类知识通常需要在教师的教学引导下不断充实、完善并在新情境中产生迁移效果。在教学过程中，要重视学生已有知识经验建构的意义，特别要加强对数学定义、性质、建模、关系等方面的理解，实现并促成经验迁移。

关键词：经验建构;数学情境;迁移途径

杜威认为：教育是一个从已知经验到未知经验的连续，经验不断增加的过程。有了生长的积累，经验才具有生命力。教育过程是“一个不断改组、不断改造和不断转化的过程”，即“教育是经验的继续不断的改组和改造，既增加经验的意义，又能提高指导后来经验迁移的能力”。而经验的改组与改造，其最好的实现形式就是迁移。

学习的成果是一种经验的迁移;正如，加涅所说：学习的迁移是一种学习对另一种学习的影响，或习得的经验对其他活动的影响，也就是已有经验的具体化与新知识的类化过程或新、旧经验的协调过程。经验的协调和同化就形成了学习的迁移效果。实现数学知识、解题方法和思维方式等经验有效迁移，在教学中应处理好“四个理解”。

一、 数学定义的理解是经验迁移的基础

定义是数学之根。掌握好定义及其内涵是经验迁移的基础。数学的许多问题就能学懂弄通。教师应該帮助学生学会数学地、自然地、合理地理解定义。

教学中经常会遇到这类问题：学生虽然已经听懂一个问题，但对类似的问题不能自主解决。究其原因，主要不外乎两点：一是学生没有真正地认识和把握问题的本质，只是停留在能够接受和表面理解的水平上;二是学生对问题解决方法的自然性、合理性，尤其对数学知识的定义缺乏足够的感受和认知，导致所学的知识不仅难以迁移，并且容易遗忘，所以，教师在教学中，要将问题的信息尽可能转译到数学的“定义”上去。

例1 设函数f（x）=x3+（a-1）x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（  ）

A. y=-2x

B. y=-x

C. y=2x

D. y=x

解析：本例虽然综合考查了函数奇偶性、导数运算、切线方程等知识点或基本技能，但最关键的是对这些知识点定义的理解。其数学经验主要来自幂函数类奇偶性的判断和过曲线上点的切线方程表示方法。既体现了经验的复制性，又体现了经验的演绎性，最根本的解题经验就是对函数定义的理解。虽然是一个综合问题，但是只要理解好数学定义，抓住数学定义这个根本，经验迁移就在这个有多个知识点综合的情境下获得实现。于是第一个“经验”就是求得a=1（演绎性），第二个“经验”就是求出切线的斜率是k=f′（0）=1（演绎性），第三个“经验”就是求出切线方程y=x（复制性），其实复制性经验是可以省略的。

例2 已知双曲线x29-y216=1的右焦点F和定点A（9，2），试在这个双曲线上求一点M，使得|MA|+35|MF|的值最小，那么这个最小值是    ;此时点M的坐标为    。

解析：在已有的知识系统中容易知道，点F（5，0）是双曲线右焦点，这是对双曲线定义的最基本考查;但35|MF|的理解不在经验之内，可以引导学生作图转化。设点M（x，y）到对应的准线的距离为d，则有|MF|=ed（e为曲线的离心率），这是对双曲线定义的进一步考查。在本题中，虽然题设条件与结论没有直接的联系，但是，由于对双曲线定义的理解，迅速找到d=35|MF|的几何意义，这是对经验的复制，也是已有知识基础对经验进行改造与重组形成的迁移。通过对双曲线定义的理解，迅速明确了|MF|+35|MF|的数学意义，给思维的灵感创造了契机，体现了经验的再生性，达成了经验的顺应与预见，真正体现了新旧知识的类化与协调过程，实现了经验迁移。这个问题的解决，也验证了数学经验是通过数学适当情境的实践所积累的“知识”，是实践活动的具体产物，同时需要在新情境中产生迁移效果。

二、 数学性质的理解是经验迁移的前提

性质是数学之魂。数学问题的解决，定义是根本，但只是孤立地理解了定义，并不是问题解决的全部。由于数学性质是建立在数学定义的基础之上的，能不能把每一个数学定义弄清楚，并由此深刻领会每一个数学概念所蕴含的性质，这是问题解决的前提，也是实现经验迁移的前提。

例3 设点P在曲线y=12ex上，

点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（  ）

A. 1-ln2

B. 2（1-ln2）

C. 1+ln2

D. 2（1+ln2）

解析：经验迁移的主要目标是让学生能够将他们的已有知识迁移到恰当的情境中，这种能力要求学生能够辨认出新情境中与他们以前所学情境的关键特征相似的主要特征，从而实现一种学习对另一种学习的影响。本例乍看并不容易，一个是指数函数，一个是对数函数，要求两个函数图像上两点之间最短距离，用什么方法？有什么思路？相似特征在哪里？其实，难点在于已知条件，突破的信息同样蕴含在题干之中，那就是两个函数分别是指数函数与对数函数，从而联想到反函数重要的一个性质：图像关于直线y=x对称，把两个不同函数图像上两点距离问题转化为y=12ex图像上点到直线y=x的距离问题，根本不需应用对数函数解析式。由此可见，把握反函数性质，已有知识经验从“性质”角度通过“反函数”这个数学情境的实践积累，在新情境中产生了迁移效果。其中的数学经验经历了一个“选择”的过程，依靠对过去已有经验的加工和改造，“同化”了特殊情境下呈现的信息，体现了思维的再生性，形成更加完善的经验建构，既神奇而又充满科学。所以，对数学性质的理解是实现经验迁移的前提，这也是经验迁移的一条准则。

三、 数学建模的理解是经验迁移的桥梁

建模是数学之本。建模本身就是在已有知识体系的基础上，一种旧知识情境到新知识情境的一种迁移。新课标提出：在数学教学中应该强调建模思想渗透，要让学生“经历将一些实际问题抽象为数学问题过程”，让学生经历“问题情景——建立数学模型——求解——解释与应用”的基本过程，发展合情迁移与演绎推理能力。教学时要有利于具体的情境问题向抽象的数学情境过渡，或者讲，一个数学问题最好有一个具体的现实模型来解释，让学生体会到“数学化”过程抽象的冰冷的美丽，要让学生经历已有知识经验的建构过程。

例4 一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图3所示，则该几何体的体积为（  ）

A. 24

B. 48

C. 72

D. 9 6

解析：求该几何体的体积，首先要弄清该三视图代表的几何体的模型，需要还原几何体，结合三视图，先画一个长为6，宽为4，高为4的长方体，如图4所示，在该长方体中可以较快得到多面体

ABCDEFG，从而迅速求得该几何体的体积为48。

为什么会想到建立“长方体”这个数学模型呢？首先，已有的经验体系有：特殊的柱体、锥体以及球体的表面积和体积公式;三视图问题要还原几何体;三棱锥的外接球问题可以借助用四棱柱去解决等等。其次，复杂几何体的几何问题通常借助特殊几何体解决。在数学问题中，处处都体现着建模的关系，对于具体问题，还原到特定的情境，是数学建模的必由之路。

本题的解决，原有认知已经不能接受新信息，这时经验系统对原有经验进行改造，几何体还原，把问题迁移到“长方体”模型中，实现了新旧知识的类化与协调，其数学经验体现了一个“顺应、同化、预见”的过程。与上述问题相似，还有许多这样的多面体外接球问题，如果还关联到对三视图还原，本身比较复杂，也许有些学生甚至就放弃了。不过，如果学生有一种强烈的建模思想，加强对数学建模的理解，把多面体迁移到长方体中，把多面体的外接球问题转化为长方体的外接球问题，这样，就能让已有实践所积累的知识经验迁移到新的情境中，问题迅速得到解决，同时让学生陡添解决这种问题的信心。这种迁移，沟通起经验迁移的桥梁，思维敏捷，真正达到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的美好境界。

四、 数学关系的理解是经验迁移的支点

关系是数学之韵。寻找问题解决的方法，就要寻找思路，也就是寻找题目条件与结论之间的数学关系，它表现为沟通条件与结论的一系列演算或推理。在这其中，激活和提取不同问题情境下的基本经验，至关重要！因为这种经验影响着解题对策和方法选取，如果加强对问题中蕴含数学关系的理解，在解题时就能一下子抓住关键，单刀直入，立即深入问题的核心，成为解决问题的支点。

例5 若不等式x>ax+32

的解集为x|4<x<b，则实数a，b的值分别为    。

解析：本题考查不等式知识，在已有经验内，通常方法是求解不等式，而本题是已知其解，求参数a，b。不过，解集也是以参数的形式出现的，存在一个逆向思维，之前没有这种经验，如何利用已有的知识进行迁移，并形成新的经验？方法（1）：通过分类讨论，将根式不等式转化为二次不等式，从而可以求得，

a=18，b=36;

方法（2）：令y1=x，y2=ax+32，那么在条件4<x<b下，原不等式就表示：抛物线y2=x（y≥0）在直线y=ax+32上方的部分曲线所对应的横坐标的取值。

方法①的真实背景为若已知不等式存在解集，反过来研究不等式中参数的取值。而已有的经验系统是：已知不等式，求解集。即便如此，只要抓住解不等式的本质，思路也是简单的，其解题经验体现了一个“选择、同化”的过程，这就是已有知识系统的积极意义。但由于不等式及其解集中都存在参数，运算量对学生是一个巨大的考验;方法②是由已有的不等式都有其几何背景的知识经验，把解不等式的旧知识情境迁移到几何背景之中，通过观察曲线的位置关系，化解抽象的运算，体现了一个“选择、顺应、同化、预见”的经验过程，方法灵活，计算简单。由此可见，对数学关系的理解往往能成为经验迁移的支点。

学生提取信息的过程往往不是在与最初学习信息时相同的情境中进行的。其实，教师也总是希望学生能把学到的知识与技能迁移到于各种不同情境中去，这样才能打通学生数学“学习比较好”到“学习真正好”的任督二脉。这应该是我们教师在教學过程中应该着重追求的教学艺术。只有这样，数学课堂才能灵动起来，教学才有生命力，数学教学才有生命力。

参考文献：

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[4]涂荣豹.数学解题学习中的元认知[J].数学教育学报，2002（4）.

作者简介：谢卫煌，广东省广州市，广东省广州市第四十一中学。