浅谈对高中数学模型建构教学的思考

江琦

【摘要】模型建构的过程是培养数学核心素养的有效载体，建构物理模型更是高中数学一种有效的教学手段.本文从两则公开课的教学设计案例出发，分析高中数学模型建构教学的特点，并对建构方式提出了四点思考，指出模型建构教学是培养学生数学核心素养的重要途径.

【关键词】核心素养；模型建构；物理模型；数学情境

王尚志教授在“关于普通高中数学课程标准修订”的专题报告中提出中国学生在数学学习中应培养好六大核心素养.而模型建构的过程是实践这六大核心素养的一个良好载体.在高中新人教版数学教材中，不乏具备物理背景的内容.下面笔者结合自身参加青年教师公开课比赛时的两则教学案例，以“物理模型”建构为例，谈谈对高中数学模型建构教学的思考.

1案例两则

案例1《平面向量基本定理》的教学设计

通过之前的课堂教学环节，学生形成初步猜想：如果e1、e2是平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内的任意向量a，存在实数λ1、λ2 ，使得a=λ1e1+λ2e2.这时，笔者抛出第一个问题：将一个向量分解成两个向量，是否有似曾相识的感觉？学生迅速想到了物理中的斜面模型：

斜面上静止的木块所受到的重力G可以分解成沿斜面向下的下滑力F1和垂直于斜面向下的压力F2.

用物理背景印證了学生的猜想之后，笔者抛出第二个问题：当G用图中选定的分力F1、F2表示时，这种表示是否是唯一的？学生根据已有的物理知识，很快得出结论：唯一.继续追问：空间的任意一个向量a用给定的一组基底表示：a=λ1e1+λ2e2，系数λ1、λ2是否唯一？由物理现象引出数学结论.

紧接着，笔者抛出第三个问题：G是否只能用图中的这组分力F1、F2表示？ 学生讨论之后表示否定：如果θ角度数变一下，F1、F2也会改变.继续追问：平面中不共线的基底e1、e2是否唯一？结论也呼之欲出了.

有了这三个问题作为思考的基础，从物理背景出发，得出平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使得：a=λ1e1+λ2e2.其中，不共线的向量e1、e2叫做表示平面内所有向量的一组基底.在斜面模型的帮助下，得出定理中最难理解的“系数唯一性”和“基底不唯一性”就变得水到渠成.

案例2《两个基本计数原理》的教学设计

鉴于学生已经学习过了串联与并联电路图，笔者用物理中的“电路模型”来进行加法计数原理和乘法计数原理的教学.

师：请大家帮老师来分析一下这个电路：

生：这个并联电路共有n组开关，每组又分别有i（i=m1，m2，m3…）个开关并联.

师：闭合其中任意一个开关，灯泡会不会亮？

生：会亮.

师：如果约定，灯泡亮为事件A完成，那么闭合其中任意一个开关就是完成事件A的一种办法，请问：完成事件A总共有多少种不同的办法呢？

生：N=m1+m2+m3+…+mn.

随即得出加法计数原理的定义：完成一件事A，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，以此类推，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成事件A共有：N=m1+m2+m3+…+mn种不同的方法.

师：再看下面这个电路：说说电路的特点.

生：有n组开关串联，每一组又分别有i（i=m1，m2，m3…）个开关并联.必须每组都有一个开关闭合，灯泡才会亮.

师：一共有多少种开关闭合的方式能让灯泡亮起来？

生：N=m1·m2·m3·…·mn.

师：我们还是约定灯泡亮为事件A，那么完成事件A有n个步骤，每个步骤又有i（i=m1，m2，m3…）种不同的办法，那么完成事件A总共有N=m1·m2·m3·…·mn种不同的办法.这叫做乘法计数原理.

教材中是借用生活中的实例来引出加法计数原理及乘法计数原理的.虽然容易理解，但是从实例中具体的数字到概念中抽象的m，n，学生还是缺乏直观认识.借助物理中的“电路模型”来进行两个计数原理的教学，利用学生原有知识结构来构建新的概念，比课本上所用方法更易接受.

2模型建构教学特点的思考

2.1充分重视尊重学生内部心理和知识结构的变化，使其同化新知识的过程变成一个愉快的过程.例如：在案例1中，学生的基本情况是可以熟练地对物理中矢量进行合成与分解，且已经明确向量的物理背景.故学生在处理向量问题时是有主动地去寻求构建物理模型的倾向的.顺应倾向引导学生主动构建，将抽象的定理变为熟悉的物理模型，让学生更快更好地进入学习情境，提升学习的信心，使得教学过程更加轻松愉快.再如：案例2中，加法和乘法计数原理的定义，通过构建熟悉的“电路模型”，将抽象的定义摆在一个熟悉的场景中，更贴近学生原有的知识结构，降低了思考的难度.从两则案例的教学现场来看，学生的参与程度高，情绪积极性高，思维活跃度高.

2.2模型构建的过程有助于原有知识信息的提取，同时有利于新的知识信息的形成.例如：在案例1中，通过对斜面模型中，力的分解这一物理知识的回忆，印证了向量可以由平面中一组不共线的基底表示这一新知，同时也有助于学生理解对于确定基底“唯一表示”的含义；通过对物理中斜面倾斜角的变化讨论，又引申出了平面向量基本定理中“基底不唯一”这一结论.而在案例2中，通过构建“电路模型”唤起学生对串联、并联电路相关知识的回忆，从而类比提取出与加法计数原理和乘法计数原理有关联的信息内容，最终形成新的知识概念.学生通过自我选择、整合、提炼得到信息，真正实现对新知识的理解.

3模型建构教学方式的思考

3.1建构要抽象适度

案例1中，从“平面内任意一个向量可以用两个不共线向量来表示”这一数学情境中抽象出“力的分解”这一物理模型，这个构建是符合学生认知能力和思维发展阶段的，是一种抽象适度的模型建构.随后，在讨论“系数唯一性”以及“基底不唯一性”时，学生很自然主动地再次构建出了“斜面”模型.假如没有一开始的构建铺垫，在后面讨论“系数唯一性”以及“基底不唯一性”时学生是很难想到去主动建构斜面模型，类比考察重力分解情况的.案例2中，笔者本来的设计是通过计数原理的定义特征，引导学生构建出“电路模型”，以加深对定义的理解.但在试讲过程中发现，学生根本找不到可建构的物理模型，过度抽象了.

3.2注重双向建构

“模型背景”和“数学情境”之间的建构可以是双向的，一方面可以从“数学情境”中抽象出具体的“模型背景”；另一方面也可以从具体的“模型背景”中抽象归纳出“数学情境”.教师可以根据实际教学情况来灵活设计.案例1中，由学生的初步猜想建构出斜面模型是“数学情境”到“物理模型”的建构；随后由重力分解情况的探讨抽象归纳出平面向量基本定理的具体定义，这又是“物理模型”到“数学情境”的构建.两者结合设计，很好地实现了双向建构，让学生真切体会到学科之间这种相互融合的密切关联.

3.3展现建构过程

建构绝非是一步到位的，往往需要在给定数学情境的基础上，通过适当的分析，一步一步地进行类比转化，最终建构出来的.教师应当充分尊重学生在建构过程中的体验，展现建构过程.案例1中，由猜想a=λ1e1+λ2e2建构出“斜面模型”在试讲时进行的并不是十分顺利，后来笔者有意将这种向量线性运算的形式，说成“将a分解成两个不共线的向量e1、e2”，从而引导学生向着“向量分解”这个方向思考下去，就很顺利地构建出重力分解的“斜面模型”；反思案例2中，学生构建“电路模型”失败，其中一个重要的原因就是笔者没能将引导建构的过程很好地展现出来，增加了建构的难度.

3.4建构动态模型

动态模型更能体现出数学元素改變时引发的变化过程，比起静态模型更加完整，更具有视觉感染力.反思案例1中，在讲到“基底不唯一”问题时，如果能利用几何画板，展现出当斜面倾斜角θ改变时重力G分解情况的动态变化情景，学生的理解会更加深刻.

4模型建构教学渗透数学核心素养

此次普通高中数学课程标准修订的一个重要方面就是提出了培养数学核心素养，分别是数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析.而在上面案例的模型建构过程中，也体现了几个方面的核心素养，例如：（1）数学抽象——从电路闭合问题抽象出加法计数原理和乘法计数原理的定义；（2）直观想象——从“斜面模型”几何的直观感受，想象出倾斜角发生变化时两个分力的变化情况；（3）逻辑推理——从斜面倾斜角变化后，两个分力的改变，推理出平面中不共线的基底是不唯一的.对于数学运算、数学建模、数据分析这几个核心素养在一般的模型建构中也有很广泛的体现.可以说六大核心素养是蕴含在模型建构教学的整个过程中的，因此模型建构教学是培养学生数学核心素养的重要途径.