整体建构：涵育核心素养的重要方向和主要途径

施俊进，顾萍

摘  要：整体建构是一种学习数学的方式，更是一种教学主张，主张根据数学特有的整体、结构、逻辑等特点，帮助学生从整体上把握知识结构，理解知识之间的内在联系和发展，将相关知识点纳入一个结构或框架中形成模块化体系，使习得的知识结构化、生成的能力结构化. 文章以“二次根式（1）”一课为例，浅析如何帮助学生建立结构性知识体系，发展思维能力、优化思维品质，从而成为培育学生核心素养的重要方向和主要途径.

关键词：整体建构;核心素养;图式体系;整体调控

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出，数学知识的教学，要注重知识的生长点与延伸点，把每堂课教学的知识置于整体的知识体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系. 笔者对人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册（以下统称“教材”）“二次根式（1）”一课从知识内容上进行整体建构（学材再建构），关注了数学知识结构的完整性，关注数学教学过程中教与学的方法的完整性，把学生的数学学习视为一个整体，从知识、能力、思维等方面进行整体把握，从而促进学生数学素养和能力的整体提高、全面发展，这显然是数学教学中涵育学生核心素养的重要方向和主要途径. 现将“二次根式（1）”整体建构的实践研究与思考整理成文，与各位同行交流.

一、整体建构“二次根式”

1. 初建学材

教师的“初建”不仅是重要的基础学材，确保必学内容及学习的要求，而且对学生的学习起着抛砖引玉的引领作用，可以激发学生内隐的知识、能力等储备和学习热情，既保证了学材的质量，又提高了学材的适宜性和适切性.

整体建构要求教师在读懂“二次根式”整章知识结构（如图1）和了解学情的基础上，重组教材并初建学材：将“二次根式的定义和性质”作为一个教学单元进行教学（教材安排分概念和性质两课时进行），引导学生整体建构，并初步形成“二次根式”的结构体系.

2. 学材呈现过程

环节1：任务驱动，激发生成.

自主回顾：（1）求16的算术平方根并用符号表示.

追问：如何求16的算术平方根？

（2）怎样求36，0，3，a的算术平方根，并用符号表示？

建构概念：（1）把带有根号的算术平方根叫做二次根式. 由此，如何定义二次根式？

（2）共同总结二次根式的定义.

反馈练习：（1）找出二次根式（题目略）.

追问：说说你的理由或方法.

（2）下列各式在实数范围内有意义的条件分别满足什么？（题目略.）

【设计意图】根据新、旧知识之间的逻辑联系，引导学生在原有“算术平方根”的基础上自主建构新知“二次根式”，既合乎逻辑的发展结果，又符合学生的认知规律. 通过练习将概念具体化，突出了数学概念的实质.

环节2：互动探究，促进生成.

（1）独立思考，当[a≥0]时，比较[a]和0的大小，并说明理由.（性质1）

（2）[42， 02， 52， 152]分别等于多少？（性质2）

追问：有多少种方法可以得到[42=4]？如何得到[52=5]呢？……由此可以得到的一般结论是什么？

（3）猜想[a2]等于多少？（性质3）

大部分学生回答a，片刻后，少数学生回答“-a”或“[a]”.

追问：结果到底是什么？如何来验证猜想？

方式：由学生先独立尝试，再在小组内进行交流：① 判断各自举出的例子是否全面？② 得到的结论到底是什么？③ 如何从理论上说明这个结论的正确性？④ [a2]与[a2]有何异同点？

【设计意图】以三种不同的形式，引导学生自主探究二次根式的三个性质，发展了学生的思维能力，有效改变了学习方式，有利于学生感悟数学思想，积累数学活动经验. 通过分析比较“异同点”，使学习的重点放在了突出三个性质的数学本质上，有效丰富了学生的数学思考.

环节3：展示分享，自主生成.

（1）化简各式并说明依据.（题目略.）

（2）式子[x2+2， -x2， x+1+5-x]在實数范围内有意义的条件分别是什么？

（3）若实数x，y满足[y=3-x +x-3+2，] 求[xy]的值.

追问：在解题的过程中用到了哪些关于二次根式的知识？你是如何理解的？

方式：学生先独立思考，再在组内交流，最后以全班交流的形式，引导学生展示自己的思考过程，并分享学习心得.

环节4：反思提升，实现生长.

问题引领：（1）说说你对二次根式定义的理解.

（2）我们是如何研究并得到二次根式性质的？

追问：猜想二次根式性质的作用是什么？

（3）通过学习，积累了哪些重要的学习方法或学习经验？

追问：通过学习，你能提出什么问题？

【设计意图】课堂小结不仅立足于知识获得、技能形成，更注重能力发展、品德养成等. 通过自主提出问题、类比迁移，提升思维含量，激发学习的积极性，促进了学生数学学科核心素养的提升.

二、整体建构的实践思考

常规教学中，采用先让学生学习知识“个体”，再到“部分”，最后到“整体”的教学方法，学生难以自主打通孤立的知识点之间的联系. 整体建构就是帮助学生用整体的观点进行学习，同时在学习各部分知识时又明确它在整体中的作用，这对完善学生的认知结构具有积极的作用.

皮亚杰在《结构主义》一书中指出，结构（也叫一个整体、系统、集合）就是由具有整体性的若干转换规律组成的一个有自身调整性的图式体系. 整体建构二次根式的过程，是学生新、旧图式体系相互作用的过程. 考虑到学生原有的图式体系，在学生知识能力的最近发展区内搭建学习支架，使旧图式体系促进了新图式体系的形成. 对于本节课来说，即是通过复习算术平方根，激发了学生对二次根式概念的理解，进而促进了性质的自然生成. 特别地，整体建构促使学生形成了有序的关于二次根式的知识结构，思维更具活力，从而自然而然地实现生长，即学生能自主搭建深入学习的支架，形成新的“n次根式”的图式体系. 由此，整体并不是各组成个体或部分（成分）的简单总和，其还包含作为整体的性质. 显然，对数学课本文本进行整体建构，所引发的教学功能常常是裂变一般的效应.

1. 整体建构的含义

基于数学知识发生的规律、知识本身的逻辑关系及其内在联系，通过再建构适合教学目标及学生认知实际和需求的结构化学材，站在整体的高度，采用结构化教学，帮助学生建立结构性知识体系，完善认知体系和经验世界，发展思维能力、优化思维品质、培育数学素养、陶冶生命情操.

同时，整体建构的数学教学要求师生站在同一系统高度，且将数学课程作为一个整体，把数学教学的各要素视为一个整体进行组织、管理和传递，进行整体调控，进而激发学生数学学习的内驱力，从而实现数学教育教学最优化. 特别地，把数学教学的各要素视为一个整体，就是在教学过程中保持思维情境、学材选择、活动组织、结构安排、师生关系及媒体使用等各要素间内在的一致、平衡与和谐.

2. 整体建构的基本原则——“三以”和“四须”

以《标准》为准绳;以学情为依据;以课本为参照，即在遵循《标准》的基础上，从学情出发（学情不仅仅是学生当前的学习现状，更是所有教学资源的现状），以课本为蓝本进行整体建构.

必须与学生的学习基础和自学能力同步，即要与学生的自学能力相适应. 学生刚进入初中时，由算术过渡到代数，有个适应过程. 可以先将教材中的一课时的教学内容作为一个小整体进行建构. 随着自学能力的不断提升，可以将紧密联系的几个教学内容整合成一个单元，形成一个相对独立的大知识块进行整体教学.

必须与学生的认知结构和知识体系相匹配，即要与知识体系相适应，有助于学生建立良好的认知结构.

必须与学生思维能力和思维品质的提升相呼应. 有利于学生思维方法的形成、思维能力的发展.

必须与学生的学习兴趣和价值认同相吻合，即整体建构要促进学生由知识间的内在联系与发展而产生自己的联想、猜想，思维能力和水平不断提升，创新意识随之不断增强. 这样能激起学生兴趣和深入学习研究的欲望，而研究的成果又进一步提升了学生的自信，形成良性循环.

3. 整體建构的实施策略——“四顺应”

顺应知识本身的逻辑关系或知识之间的内在联系. 根据二次根式和算术平方根的内在联系（二次根式实质就是带根号的算术平方根），引导学生自主建构“二次根式”定义.

顺应学生原有的认知基础. 引导学生从对算术平方根原有的知识基础和学习经验出发，不仅自主构建了“二次根式”的定义，而且自主生成二次根式的三个性质. 顺应并利用这个基础，创设思维情境，激发了学生自主探究的热情，提高了学生的思维水平.

顺应学生的最近发展区. 通过从特殊到一般的过程，经历三种不同的形式生成二次根式的三个性质，都顺应了学生的最近发展区. 特别地，学生不仅能自主得到非教材结论，而且还能提出“n次根式”的相关内容，从而达到潜在的发展水平.

顺应学习兴趣. 顺应学生的学习兴趣，才能激发参与、激活思维. 当学生产生学习的兴趣或欲望时，自然会主动想学，从而逐渐学会、会学，学习自然会兴趣盎然，学习的积极性和内在动力自然会得到进一步激发，思维也得到进一步提升. 反之，如果通过努力，问题仍然得不到解决，兴趣当然就无法保持，学习积极性得到扼制，自主发展就没了可能.

4. 整体建构的实施路径——“四环节”和“三融合”

通过课堂教学中的任务驱动、互动探究、展示分享、反思提升四个环节（如图2），体现了具有自主学习、探究体验、展示交流、教师指导等特征的以学定教的课堂教学范式. 在师生互动、动态生成的过程中，促进了师生之间思考、经验等的共享，情感、体验等的深度交流，同时又丰富了师生各自的知识和经验，兴致和情感，思考和灵感等隐性学材.

有机、灵活、交替地将教师初建、师生共建、学生独建融合起来，就是一个整体建构的过程.

首先，教师根据师生的智力因素和非智力因素，独立初建学材，为学生提供丰富的数学学习素材和多样化的学习条件，并形成层次不同的课程资源. 其次，在教学实施过程中，师生共同对学材进行共建和再建. 最后，在教师的引导下，学生能独建并生成适合自己的个性化的学材. 显然，有了教师的初建和师生的共建，才会更好地促进学生的独建. 同时，教师进行调整后的再建，作为下一轮次的独立初建的主要资源，并依次循环往复（如图3）. 三种建构有时几乎是同步进行、浑然一体的. 在师生共建的过程中，要努力激活师生资源，并使之不断地自生、共生，互慧共进. 当然，学生资源的生成，即学生独建才是我们的目的所在.

整体建构要求教师根据数学特有的整体、结构、逻辑等特点，帮助学生从整体上把握知识结构，理解知识之间的内在联系及其发展，掌握新知的生长点，并知道如何由知识点生成知识体系，即学生获得的知识不仅是“是什么、为什么和怎么得到的”，而且还懂得了“我是怎么学会的”，也就是知识获得过程中的程序性和策略性知识. 更为重要的是，学生获得了对自己学习活动的一种自我意识和积极体验，以及形成了正确的价值选择. 同时，整体建构也体现在板书设计从传统的知识点的罗列发展到知识包含图，最后发展到结构性板书，也称为思维导图（如图4）. 结构性板书，突出了思维过程的重点和关键点，能够直观、有层次地显示出知识的组织结构和连接方式，从整体上架起结构. 有利于学生感受数学的整体性，并感悟数学知识之间实质性的联系，以达到理解数学的目的.

处于某种联系中的知识往往能让学生实现情境记忆，记出一点就能带出许多或生成其他的相关知识，这样的学习才是真正的“活”的学习，这就是整体建构所追求的在结构中教与学，即把碎片化的知识有效连成线、结成网、组成体，将相关知识点纳入一个结构或框架中形成模块化体系，使习得的知识结构化、生成的能力结构化，最终学生能独建构，并生成适合自己的个性化学材. 结构决定功能，结构决定效率，这显然是数学教学中涵育学生数学学科核心素养的重要方向和主要途径.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]施俊进. 基于“原有基础”，引导“整体架构”，促进“协同发展”：“二次根式（一）”教学实践与反思[J]. 中学数学（初中版），2013（1）：4-7.

[3]施俊进. 学材再建构，在结构中教与学：以“一元二次方程”单元教学设计为例[J]. 中国数学教育（初中版），2018（7 / 8）：12-15.

[4]施俊进. 初中数学“学材再建构”初探[J]. 学校管理，2016（6）：32-33.

[5]施俊进，徐小建. 例谈初中数学“学材再建构”的实施策略和原则[J]. 数学教学通讯（中旬），2017（4）：5-8.