章起始课有效构建“数学导游图”的教学研究

刘乃志，傅海伦，法洪雪

摘  要：在章起始课教学中有效构建并使用“数学导游图”是在整体统领观念下实施教学的一种策略. 建构章节学习的“数学导游图”，既是先前学习经验的外化，又为后续其他类似数学对象的学习积累了新的经验，丰富了数学研究的范式. 依據这一理念，以“认识三角形”一课的教学设计为例进行说明.

关键词：章起始课;数学导游图;整体建构;整体统领;三角形

一、问题的提出

章起始课教学是一个章节教学的开始，是学生学习的起步阶段. 学生学习时就像进行一次有意义的“旅游”，正如旅游时要提前规划一个导游图一样，在数学教学中，章起始课的教学同样需要给学生构造一个“数学导游图”，让学生对这个章节的学习有个整体的感知，以增强自主学习的内驱力，然后再根据“数学导游图”展开后续内容的学习. 经过对北师大版《义务教育教科书·数学》七年级下册第四章的起始课“认识三角形”的研讨，认为章起始课教学要重视“数学导游图”的构建和使用，以发挥章起始课的统领作用.

二、教学内容呈现

1. 经历研究对象的获得，感受图形间的逻辑关系

问题1：猜谜语：形状似如山，稳定性能坚，三竿首尾连，学问不简单.（打一图形.）

问题2：你能给出一个学习三角形的理由吗？

对于问题2，总结学生观点如下.

（1）三角形的形象在我们身边随处可见，它们有趣、美观、有用、神秘，需要我们好好研究.（2）我们前面研究了线和角等基本的几何图形，按照由简单到复杂的研究路径，研究由三条线组成的三角形是必然.（3）线、角等图形都是不封闭的，三角形是最简单的封闭图形，是研究其他封闭图形的基础.

教师总结并形成三角形在基本平面图形中的“位置图”，以及三角形的“来历图”如图1所示.

【设计意图】通过从数学现实和生活现实两个方面获得“三角形”这个数学研究对象，让学生体会研究的必要性和重要性，激发学生研究三角形的欲望，引发学生的学习兴趣. 特别关注了按照数学内部的逻辑性发现研究三角形是遵循从简单到复杂、从不封闭图形到封闭图形的必然选择. 学生基于已有学习经验发表自己的观点，教师引导构建宏观的几何图形关系图谱，让学生感受三角形在平面图形中的位置及与其他图形之间的逻辑关系，形成获得数学研究对象的一般套路，为构建系统研究三角形的“数学导游图”做好铺垫.

2. 构建“数学导游图”，明确研究内容和路径

学生在七年级上学期学习了线段、射线、直线和角等几何图形，积累了一定的几何图形的学习经验. 从封闭图形的视角来看，三角形是学生将要系统学习的第一个封闭图形，包括定义、分类、性质、特例、关系等完整的学习内容，对形成后续其他封闭图形的学习经验和学习套路具有重要意义. 目前，学生还缺少这方面系统的学习经验，为此，教师在教学中采用“几何图形学习经验 + 其他学科学习经验”的方式引导构建“数学导游图”. 部分课堂教学实录呈现如下.

师：根据以往研究几何图形的经验，你能预测我们需要研究关于三角形的哪些内容吗？

生1：研究一个图形，首先要给它下定义.

生2：我们还需要研究三角形的性质.

生3：还要知道三角形的分类.

师：很好！定义、性质和分类是研究一个图形的基本套路. 研究一个图形和研究其他对象的道理是相通的. 例如，生物课上我们要研究“种子植物”这个对象，是不是也要研究种子植物的定义、性质和分类呢？根据你对“被子植物”等的研究经验或者其他学科对象的研究经验，你认为我们还需要研究关于三角形的哪些内容？

生4：对“种子植物”分类中的特例需要进一步研究，那么对三角形分类中的特例也需要进一步研究.

生5：我们需要知道怎样分辨“种子植物”“裸子植物”和“被子植物”？同样的道理，我们需要研究三角形及特殊三角形的判定问题.

生6：我知道可以把一些生物原理应用到科学技术方面，帮助人们改善生活，这属于应用问题. 三角形是不是也应该研究它的应用？

生7：生物课中我们还需要研究不同生物之间的关系. 相应地，是不是也要研究三角形和其他图形或者特殊三角形之间的关系？

师：（对学生的想法表示肯定）大道相通，万物一理. 通过我们以往几何图形的学习经验，以及结合对其他学科学习对象的研究经验，我们可以大致总结出三角形要研究的内容. 大家尝试在练习本上用自己的方式画出三角形要研究的内容图谱并进行展示.

教师在学生展示的基础上给出三角形研究的“数学导游图”（如图2），指出本章将要研究哪些内容. 并进一步强调几何图形的研究一般遵循“定义—分类—性质—判定—特例—关系—应用”的路径展开.

【设计意图】由于学生之前积累的几何图形的学习经验不足，三角形又是学生系统研究的第一个封闭图形，其研究经验是进一步研究其他图形的基础. 因此，采用了“几何图形学习经验 + 其他学科学习经验”的方式引导学生构建三角形学习的“数学导游图”，既包含了“学什么”，又体现了“怎样学”，蕴含着研究三角形的基本路径和方法. 这样设计，不仅让学生对于后续的学习“一览众山小”，还给出了几何研究的基本内容和基本套路.

3. 利用“数学导游图”展开教学，发挥其整体统领作用

活动1：三角形的定义.

教师引导学生通过呈现的丰富图片（图略）抽象出三角形定义，然后根据定义找出图3（房梁）中的三角形. 学生在表达时出现困难，自然提出三角形的表示问题. 观看微课：三角形的定义及表示.

【设计意图】通过生活中的三角形形象抽象出三角形的定义，这也是图形定义的一般套路. 设置学生表达三角形的障碍来让学生理解三角形表示的意义，让学生知道表示三角形就像给人起名字一样，是必要而有用的，体现数学学习的整体统领观念.

活动2：三角形的性质.

按照我们确定的“数学导游图”，在初步认识三角形之后，我们还要研究它的性质，以期对三角形进行更加深入地理解. 我们要从哪里入手研究三角形的性质？

学生发言、交流，明确从边和角两个方面研究，教师指出本节课先从学生熟悉的角开始研究.

先回忆小学学过的测量、撕纸等研究三角形角的方法，指出这些方法的不严密性，需要通过逐步、有理有据的推理方法进行验证. 教师先引导学生结合撕纸的方法思考和180°相关的知识：平角、补角、同旁内角（平行的条件下），再组织学生用不同的方法进行证明.

【设计意图】教师按照事先规划的“数学导游图”的研究内容和路径（顺序稍有调整）引领学生进行研究，学生学习方向清晰，学习目标明确，学习主动性强烈. 学生已经知道三角形的内角和等于180°这一结论，但是对于结论的得出采用的是观察、测量、实验等方法，教师指出这些方法的不严密性，引出要用推理的方法进行证明（这也是初中与小学研究三角形内角和本质的不同之处），充分发挥了章起始课的整体统领作用.

活动3：三角形的分类及特例研究.

教师让学生演示部分被遮住的三角形，猜一猜：學生所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？师生交流后对三角形按照角的大小进行分类：钝角三角形、直角三角形和锐角三角形.

对分类中的特例进行研究：直角三角形是三角形按照角的大小进行分类中最为特殊的一种，是我们研究的重点. 关于它的研究分散在初中数学各个年级的学习中. 这节课让我们按照研究一个几何图形的基本套路先进行初步研究（定义、表示、性质等）.

直角三角形的表示：通常，我们用符号“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”.把直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两边称为直角边.

探究直角三角形和角相关的性质：直角三角形是一种特殊的三角形，除了内角和等于180°，它的角还有更特殊的性质吗？如何验证？

学生思考、交流后，得到结论：直角三角形中的两个锐角互余.

练一练：如图4，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔，试根据图中所标数据求∠ACB的大小，确定当轮船距离灯塔C最近时∠ACB的度数.

【设计意图】继续按照规划的“数学导游图”进行分类及特例的研究. 特例是由分类得出的，在分类得出的三类三角形中，每类三角形中最大的角决定了三角形的形状，只有直角三角形最大角的度数是确定的，是特例中的特例，因此要进行重点研究. 让学生明确每一步研究的理由，体现数学研究的整体性. 同时，对于直角三角形的研究又体现了对一个数学对象研究的基本套路，学生前面积累的学习经验自然迁移过来，进一步丰富研究经验，又一次发挥了“数学导游图”整体统领的作用.

4. 完善“数学导游图”，实现章起始课教学的“高瞻远瞩”

三角形的相关内容较多，贯穿整个初中学段的学习. 师生围绕开始制定的“数学导游图”进行回顾，并进一步完善（如图5），编织一张更加完整的学习“网”. 教师指出后续要学习的内容，让学生始终站在整体的角度进行学习，做到“见木见林”，实现章起始课教学的“高瞻远瞩”.

【设计意图】充分发挥“数学导游图”在课堂总结中的统领作用，通过“数学导游图”回顾本节课所研究的内容，犹如在主干上生长出枝叶，对后续学习进行展望，让学生充满期待. 完整知识体系的建立促使学生进一步积累几何研究的经验，形成后续四边形等其他几何图形的研究范式.

三、结论与建议

在章起始课教学中构建“数学导游图”体现了整体统领的观念，让学生在数学学习中“有木有林”，做到大处着眼、小处入手，积极主动地进行数学学习. 从小处来讲，“数学导游图”可以统领一个章节的学习，教师的教和学生的学都可以按照规划的“数学导游图”有序地展开;从大处来讲，学生通过“数学导游图”积累数学学习的一般经验和基本套路，又能迁移到其他同类知识的学习中，构建更有效的纵横联系的“数学导游图”，不断增强数学知识、方法等的联结，从而达到更好的教学效果.

1. 章起始课教学要让学生建立起一个章节的“数学导游图”

章起始课教学重视“数学导游图”的构建，就是要发挥章起始课的整体统领作用.《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，把每堂课教学的知识置于整体知识体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性. 因此，在本节课的教学中如何引导学生完成对“三角形”一章的整体认知也是必须要考虑的问题.

本节课的教学通过引导学生构建“数学导游图”，让学生经历完整的数学学习过程，对数学概念是如何建立的、数学概念是什么、为什么要建立相关数学概念，以及围绕研究对象学习的内容和路径等有清晰的认知，让后续学习变得有章可循，有利于学生建立良好的数学认知结构，形成研究数学问题的一般套路.

2. 用整体统领的观点来搭建“数学导游图”

整体指事物的全局和发展的全过程，是事物发展的统领部分，对事物的发展起主导作用. 在章起始课教学设计中，用整体的观点去理解数学、设计教学，对教学效果的提升大有裨益.

整体统领的观点要求我们从数学内部的前后一致、逻辑连贯出发，发现并提出研究对象，并能用同类研究对象的研究套路去构建新的研究对象所要研究的内容. 就三角形的教学来说，前面学生已经学习了线（直线、射线和线段）、角、平行线和相交线等相对“同化”的几何知识，以上图形从一条线到两条线，从简单到复杂，图形都是不封闭的. 进一步我们还可以研究什么图形呢？从这个角度出发，自然地把三角形推了出来. 按照这个整体统领的观点，我们能“同化”出三角形要研究的基本框架：定义、要素、分类、性质、特例、关系等，初步构建基本的三角形学习“数学导游图”.

3. 基于“数学导游图”进行数学教材单元整合

章起始课构建出的“数学导游图”统领着一个章节的学习，教师的教（备课）和学生的学习活动都可以按照规划的“数学导游图”有序地展开，这就给我们从整体上设计单元教学提供了依据和“抓手”. 教师可以依据章起始课构建的“数学导游图”一以贯之，重新整合一个单元的教学（甚至是跨越式的整合），更好地体现数学知识的前后一致与逻辑连贯. 例如，“三角形”单元教学可以从更高的视角上设计为7个课时的教学.

第1课时：認识三角形（学习三角形的定义、分类等内容）;

第2课时：三角形的性质（从边和角两个角度进行研究）;

第3课时：特殊三角形（重点研究等腰三角形和直角三角形）;

第4课时：全等三角形（研究全等三角形的定义、性质、判定等）;

第5课时：相似三角形（研究相似三角形的定义、性质、判定等）;

第6课时：三角形的应用（研究三角形、全等三角形、相似三角形等的应用）;

第7课时：单元回顾与反思（回归“数学导游图”）.

4.“数学导游图”的构建让学生积累丰富的学习经验

建构主义认为，学习就是构建内在的心理表征的过程. 学生并不是把知识从外界搬到记忆中，而是以已有的经验为基础，通过与外界的相互作用来建构新的理解. 在章起始课教学中，教师引领学生或学生自主建构章节学习的“数学导游图”，既是先前学习经验的外化，又为后续其他类似数学对象的学习积累了新的经验.

在“三角形”一章起始课中构建“数学导游图”，可以很好地引领和激发学生进行章节后续的学习，让后续学习“见木见林”. 学生对于“三角形”一章的学习经验又会对几何大家庭中的其他几何图形的学习起到程序固化和统帅的作用，丰富几何研究的范式. 例如，学生在学习四边形时，自然会联想到三角形的学习经验，自主构建四边形学习的“数学导游图”，让学习达到事半功倍的效果.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]何睦.“历史发生教学原理”视角下章节起课教学的建构与反思：以“函数的概念”为例[J]. 中国数学教育（高中版），2014（6）：34-38.

[3]邹黎华.“建构主义”观下的数学教学[D]. 福州：福建师范大学，2001.

[4]刘乃志. 初中数学教材整合的思考和实施路径[J]. 中学数学教学参考（中旬），2017（1 / 2）：15-20.