基于“四个理解” 凸显教学本质

柳军，马燕

摘  要：通过对一节展示课的观课和思考，阐述数学教学应基于“四个理解”设计和实施教学，借助几何画板软件进行数学实验，体现探究过程. 通过学生积极参与数学活动，培养并发展学生的数学学科核心素养.

关键词：四个理解;教学本质;数学实验;核心素养

上好课是每一位有责任心的教师的愿景. 一节“好课”从教学设计到教学实施，需要教师深度理解数学本质，了解学生的学习规律，掌握正确的教学方法，即章建跃博士指出的数学教学要做到“四个理解”（理解数学、理解学生、理解技术、理解教学）. 下面，笔者结合一位教师在某次活动中对“线段的垂直平分线”（第1课时）的教学，谈一谈基于“四个理解”的教学思考，期待大家指正.

一、课堂简录与思考

本节课是沪科版《义务教育教科书·数学》八年级上册（以下统称“教材”）第十五章“轴对称图形与等腰三角形”第2节“线段的垂直平分线”（第1课时），内容包括线段的垂直平分线的作法和线段的垂直平分线的性质.

1. 课堂简录

环节1：温故知新.

上课伊始，教师提问学生：什么是线段的垂直平分线？学生由于遗忘回答有困难，教师引导学生回顾概念.

环节2：动手操作.

问题1：怎样作出线段[AB]的垂直平分线？

教师引导学生阅读教材，并让学生用“折纸法”和“刻度尺、三角板法”（以下统称“过中点画垂线法”）作出线段[AB]的垂直平分线（教师没有追问理由）. 接下来，教师重点介绍“尺规法”. 教师边操作边讲解操作要领，并让学生跟着一步步模仿. 师生共同完成尺规作图（如图1）后教师让学生思考：① 为什么要以大于[12AB]长为半径画弧？② 为什么这样作出的直线EF就是线段[AB]的垂直平分线？你能给出证明吗？对于思考①，教师利用几何画板软件动画演示，若半径不大于[12AB，] 则图1变成图2或图3，即两弧只有一个公共点或无交点，无法作出线段[AB]的垂直平分线;对于思考②，引导学生在图1中连接[AE，AF，BE，][BF，] 结合作图，运用三角形全等和线段垂直平分线的定义给出规范证明.

环节3：探索性质.

问题2：如图4，直线[l]垂直平分线段[AB，P1，P2，P3，…]是直线[l]上的点，试猜想点[P1，P2，P3，…]到点[A]与点[B]的距离有什么关系.

教师设计如下问题串，引导学生探索性质.

（1）在你作出的线段的垂直平分线上，任意取三个点，分别量出这三个点到线段两端的距离，你有什么发现？

（2）通过上述测量活动，你能得到什么结论？

命题：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

（3）你能证明这一命题是否正确吗？

教师引导学生分析命题的题设和结论，画出图形，写出已知和求证，给出规范的证明过程，并利用图形、文字、符号三种语言概括线段垂直平分线的性质定理.

环节4：理解性质.

例  如圖5，直线[AD]是线段[BC]的垂直平分线，求证：[∠ABD=∠ACD.]

待师生共同完成例题的证明后，教师出示达标检测练习题.

练习：如图6，直线[l]是线段[AB]的垂直平分线，[C，D]是直线[l]上除[AB]中点外的任意两点.

求证：（1）[△ABC]和[△ABD]是等腰三角形;

（2）[∠CAD=∠CBD.]

2. 观课思考

正如评课专家所述：从一般的教育、心理的观点来看，执教教师能够准确理解教材和学生的学习心理，课堂教学效果较好.

执教教师专业知识扎实，语言精练，注重创设问题情境，引发学生思考与交流，有“发展学生为本”的教学理念，教学环节非常完整. 另外，执教教师对信息技术的熟练操作和运用更是值得肯定（PPT制作精美、几何画板软件操作熟练、101教育PPT移动教学运用恰当）. 但是，如果从“四个理解”的角度来看，本节课还有很大的改进空间. 从理解教材的视角来看：为什么要这样进行尺规作图？怎么想到的？在难点的突破上还有待改善. 教材习题的功能何在？（说明：教师提供的例题和检测练习题是对教材练习题“已知：直线[l]是线段[AB]的垂直平分线，[C，D]是[l]上任意两点（除[AB]的中点外）. 求证：（1）[△ABC，△ABD]是等腰三角形;（2）[∠CAD=∠CBD]”的改编.）从理解学生的视角来看：学生画线段垂直平分线的学习基础是什么？如何有效设计才能突破学习难点？从理解技术的视角来看：用几何画板软件演示“要以大于[12AB]的长为半径画弧”，学生是否真正理解了其含义？能否落实“信息技术与数学教学的深度融合”？从理解教学的视角来看：线段的垂直平分线的定义是本节课教学的起点和关键，仅仅引导学生口述概念，是否能真正起到温故知新的目的？问题2的提出略显突兀，如何切入更自然？能否通过“数学实验”发现结论，进而证明结论，体现探究的过程？在突出重点和难点方面，问题的设置还可以优化.

二、基于“四个理解”的教学思考

1. 理解数学，凸显学科育人

数学育人的载体是数学内容及由内容反映的思想方法. 因此，教师只有深入理解教学内容，充分认识并把握数学知识的结构、本质与内在联系，才能用自然的、联系的、发展的眼光看数学，才能顺着数学本身的发展轨迹和内在逻辑合理组织并实施教学，才能有效实现学科育人的目标. 分析教材呈现的材料，可以构建出本节课的知识结构，如图7所示.

从宏观上看，线段、等腰三角形、角都是轴对称图形. 其中，线段是最基本、最简单的轴对称图形，线段垂直平分线的研究思路和方法可以迁移到对等腰三角形、角平分线的研究中，为类比学习奠定基础，全等三角形又是证明图形性质和判定的重要依据. 从微观上看，折纸和过中点画垂线的本质相同（依据定义），区别在于“折纸法”体现运用轴对称性研究几何图形问题（为后续研究有关的图形问题埋下伏笔），“过中点画垂线法”则体现数形结合思想. 这两种方法都只能近似地作出已知线段的垂直平分线，若要精准作图，就需要引入“尺规法”，而“尺规法”作出的中垂线又是探索和发现性质的基石.

另外，为了巩固性质，教材仅安排一道练习题，意在要求学生把文字语言和符号语言转化为图形语言，进而借助图形直观分析和解决问题. 同时，因为学生的思维习惯不同，结合条件画出的图形可能会有所不同，有利于培养学生的构图能力，以及思维的灵活性和广阔性. 课堂上，执教教师对练习题的改编降低了题目的难度，虽然能使课堂教学更加顺畅，但却使练习题失去了应有的教育价值和功能. 教材的安排为学生的学习迁移做好了准备和铺垫，在“实验—猜想—归纳—验证”的学习过程中，培养学生的逻辑思维能力和多种思维品质. 在使学生获得知识的同时，培养能力，实现数学育人价值.

2. 理解学生，凸显学习本质

理解学生就是要研究学生，理解学生已有的生活经验和数学经验，当前知识结构与学生的认知结构，以及与获得新的意义的“距离”等. 因此，教师要具有强烈的学生意识，基于学生原有的数学认知规律和情感发展规律创设合适的教学情境、提出合适的数学问题，引发学生的思考与交流，形成并发展数学学科核心素养.

（1）理解学生的数学认知规律.

学生在七年级已经了解线段中点的意义，能通过度量或折纸作线段的中点，并能用三角尺或折纸过一点作已知直线的垂线. 前面，学生又经历了轴对称图形、轴对称概念和性质的探索过程，并在探索轴对称性质的过程中发现了线段的垂直平分线的概念. 这个概念是本节课教学的起点，也是探索画法和性质的关键. 其中，“尺规法”作线段的垂直平分线和线段垂直平分线性质的探索和证明是本节课教学的重、难点. 基于上述思考，在“温故知新”环节，教师应该抓住概念的本质（不能仅停留在让学生口述概念），借助图形直观，帮助学生理解概念中“中点”“垂直”的含义. 运用“折纸法”和“过中点画垂线法”作线段的垂直平分线时，要恰时、恰点追问：如何找线段的中点？如何过中点作垂线？紧扣学生已有知识，即线段垂直平分线的定义展开教学，为知晓用“尺规法”作线段的垂直平分线奠定基础.“尺规作图”和“探索性质”时，要让学生通过观察、实验、猜想、推理、交流、反思等活动，激发学习兴趣，经历知识的形成过程，培养和发展学生的直观想象、逻辑推理素养.

（2）理解学生的情感发展规律.

苏霍姆林斯基曾说：在人的心灵深处都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者. 因此，在利用“尺规法”画线段的垂直平分线和探索性质时，教师不能只是让学生“模仿”或“牵着学生走”，而是要基于学生的情感发展规律精心设计问题，让学生带着问题在宽松、愉悦的氛围中自由探究. 同时，教师还要把课堂教学由学生观看教师“下棋”改为学生自己“下棋”，而教师则为学生设置“棋的难度”，创设“下棋”的环境和条件，提供必要的指导和帮助.

3. 理解技术，凸显深度融合

在“互联网+”时代，信息技术的广泛应用正在对数学教育产生深刻影响. 在数学教学中，信息技术是学生学习和教师教学的重要辅助手段，为师生交流、生生交流、人机交流搭建了平台，为学习和教学提供了丰富的资源. 因此，教师应重视信息技术的运用，优化课堂教学，转变教学方式和学习方式. 同时，还要做到真正理解技术，理解信息技术是服务于数学教学目标的手段;理解信息技术的使用不是要替代传统的教学工具，而是要发挥信息技术的形象化、可视化等功能，做传统的数学教学不能做或做得不太好的事情.

就本节课而言，教师借助几何画板软件的可视化功能，演示“为什么要以大于[12AB]长为半径画弧”的要求时，虽然能让学生从直观上形象地看出“大于[12AB]长为半径画弧”的必要性，而且用时较短，为探索性质留足时间和空间，但是学生缺少动手实践、亲身体验的过程（传统的画图工具“圆规”可以弥补这一缺憾）. 而线段的垂直平分线性质中，“线段垂直平分线上的点……”是指“任意点”，探索性质时如何让学生意识到是“任意点”，是传统教学手段做不好的事情，此时借助几何画板软件进行数学实验，使静态的点[P]动起来，实现数学对象的形象化、任意性和数学关系的显性化，让学生在一种直观、动态的情境中观察数学对象和变化中的数量关系，经历数学家思考问题的方式和方法，从中体会数学探究的过程，真正实现信息技术与数学教学的深度融合，使直观想象、逻辑推理素养在数学课堂中落地.

4. 理解教学，凸显探究过程

理解教学就是教师在清楚数学知识本质与蕴涵的思想方法、学生的认知规律的基础上，把数学知识和学生作为有机的、统一的、相互促进的整体加以处理. 因此，教学是架通数学和学生的桥. 承前所述，“尺规作图”和“探索性质”是本节课教学的重、难点，为了突破重、难点，我们可以根据教学内容，从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生充分开展作法和性质的探索过程，让学生在经历作法和性质形成与应用的过程中，真正理解并掌握作法和性质. 具体可以进行如下设计.

片断1：“尺规作图”设计.

想一想：结合线段垂直平分线的定义，如何作线段[AB]的垂直平分线？

说一说：在利用“折纸法”画垂直平分线时如何确定线段中点和垂线？

引导学生抓住已有的知识——线段的垂直平分线的定义进行思考，为利用“尺规法”作中垂线做铺垫.

议一议：如何用圆规确定线段中点和画出线段的垂线？

教学中要充分发挥学生的主体地位，促使学生自主构建、归纳方法. 视学生的情况恰时、恰点追问：圆规有什么作用？圆心是什么？半径如何确定？并要求学生尝试作图. 通过动手操作，自然发现“要以大于[12AB]长为半径画弧”的原因.

做一做：让学生任意画一条线段，然后用“尺规法”作出这条线段的垂直平分线，并归纳作法和步骤.

证一证：证明所作直线是已知线段的垂直平分线.（证明按上述授課教师的方式进行.）

【设计意图】“折纸法”和“过中点画垂线法”本质上都是“作中点—画垂线”，而“尺规法”则要求学生用圆规画相等的线段构造全等三角形，利用全等三角形的性质找到线段的中点和过中点的垂线，这是对学生思维的一次挑战.“折一折”能让学生在动手操作中自然发现中点和垂直两个几何特征，为“议一议”做准备;“议一议”让学生在合作、交流、操作等活动中发现“尺规法”确定两点的必要条件是确定圆心和半径，体会以“大于[12AB]长为半径画弧”的必要性，突破教学难点;“做一做”和“证一证”是让学生在动手操作、推理论证中感受“尺规作图”的规范性和合理性，形成尺规作图的基本技能和能力，发展学生的直观想象和逻辑推理素养.

片断2：“探索性质”设计.

量一量：根据片断1“做一做”中学生作出的图形（图1）提问：由尺规作图，我们知道线段[AB]的垂直平分线[EF]上的特殊点[O，E，F]到[A，B]两点的距离相等，那么直线[EF]上任意点到[A，B]两点的距离是否都相等呢？试在直线[EF]上再任取一个点，量一量，写出你的猜想.

实验：如图8，首先，在几何画板软件中画出长度可变的线段[AB，] 构造线段[AB]的中点[O，] 过点[O]构造垂线[EF.] 然后，在垂线[EF]上构造动点[P，] 连接[PA，][PB，] 度量出其长度.

接下来进行如下操作：（1）先把点[P]拖到中点[O]处，再拖动点[P]在直线[EF]上移动;（2）拖动点[B，] 改变线段[AB]的长度，再进行（1）的操作.（若有条件可以让学生自己完成实验.）

观察上述操作过程中线段[PA，PB]长度的变化，你有什么发现？（猜想命题.）

证一证：按照上述授课教师的方式进行.

【设计意图】本环节以学生利用尺规作图得到的图形为背景提出问题，构建知识之间的逻辑联系，不仅使知识的产生、发展自然，也体现了从特殊到一般的研究问题的思想方法. 让学生“在直线[EF]上再任取一个点，量一量”和“几何画板软件实验”，充分体现了运用几何实验发现性质，进而培养学生的直觉思维和创造性思维的育人功能. 实验发现的结论，再经过推理论证，使得推理证明成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，使图形认识与图形证明有机整合，有效提升学生的逻辑思维能力，落实直观想象和逻辑推理素养.

参考文献：

[1]李昌官. 数学教学应顺其自然、追求自然[J]. 课程·教材·教法，2005，25（12）：38-42.

[2]潘小梅. 基于“三个理解”，设计凸显过程的教学[J]. 中学数学教学参考（中旬），2012（11）：19-22.

[3]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[4]庞彦福，孙学东. 初中数学有效学习评价[M]. 北京：北京师范大学出版社，2015.