一般观念指导下的初中数学课堂教学

韦素萍

摘  要：在一般观念的指导下，以“等腰三角形”为例进行教学设计，探索研究一个几何对象的“基本套路”. 通过整体架构，在学生明确等腰三角形的研究路径、研究内容和研究方法的基础上，引导学生经历完整的解决问题的过程，从而积累可以有效迁移的基本活动经验，用相似的方法来研究有内在逻辑关联的不同数学对象.

关键词：一般观念;系统教学;等腰三角形

布鲁纳在“教育过程”中指出，用基本的和普遍的观念来不断扩大和加深知识应当成为教育教学的核心;章建跃博士认为，要把研究一个新对象的“基本套路”纳入到教学目标中，使之成为培养学生良好思维习惯的载体. 但是在教学中仍有做的不得法的情况，尤其是对几何对象的教学，常把每个研究对象当成一个个孤立的内容去让学生毫无方向地探究，不注重知识内在的逻辑结构和体系. 这就会引起一个普遍的现象：讲过的、做过的题不一定会，没讲过的、没做过的一定不会;学生对所学的知识点都能说出来，却不会解决问题，面对一个新的研究对象，不知道如何研究. 究其根本原因就是教学中对研究对象的获得、研究内容的明确、研究思路的规划、研究方法的引导等缺少必要的预设和具体做法的指导. 针对这种现状，笔者结合自己对一般观念的理解，阐述在教学中是如何利用一般观念指导数学课堂教学的.

一、一般观念

1. 对一般观念的理解

一般观念（也可称“大概念”“big idea”），是对内容及其反映的数学思想和方法的进一步提炼和概括，是对数学对象的定义方式、几何性质指什么、代数性质指什么、函数性质指什么、概率性质指什么等问题的一般性回答，是研究数学对象的方法论，对学生学会用数学的方式对事物进行观察、思考、分析，以及发现和提出数学问题等都具有指路明灯的作用. 这是章建跃博士在第十一届初中青年数学教师优秀课展示与培训活动上对一般观念的解释.

2. 一般观念导向下的教学关注点

（1）关注数学对象. 抽象研究对象是认识数学对象的第一步，是数学研究的首要任务，教学时需要关注抽象的过程与方法. 明确地教给学生“如何观察，如何定义”一个数学对象，使学生学会抽象的方式和方法.（2）关注研究内容. 对于一个数学对象我们应该研究他的什么内容？明确了要研究的内容学生才有可能发现和提出值得研究的问题.（3）关注研究路径. 以研究数学对象的“基本套路”为线索，搭建研究的大框架，揭示数学知识发生、发展的内在逻辑，这是教学中应该重点关注的.（4）关注研究方法. 这是解决数学问题的基本之道，也是研究数学对象的通性、通法.（5）关注研究结果. 通过对不同数学内容的联系和启发，强调类比、推广、特殊化等思想方法的应用，构建具有整体性、结构化、联系性的知识体系.

3. 一般观念导向下的教学追求

一般观念导向下的教学是以研究一个数学对象的基本套路为线索，通过对数学知识进行整体架构，设计出能体现数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性、思维的系统性等系列化的数学活动. 使学生感悟数学的基本思想，积累可以迁移的数学活动经验，能自觉运用一般观念进行数学学习和探究，实现数学学习的以少驭多、以简驭繁，从“学会”到“会学”，进而發展数学学科核心素养.

二、一般观念指导下的数学课堂教学

根据以上对一般观念的认识，那么在实际教学中对于一个新的数学研究对象，在整体观的指导下，我们可以先为学生构建基本的框架，让学生清楚要研究的内容，研究的路径和方法. 在这样的框架下，研究的内容及其路径清楚了，研究的问题明确了，又有研究方法的指导，则降低了学习的盲目性，同时还能培养学生自己发现和提出问题的能力. 在人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册（以下统称“教材”）“13.3 等腰三角形”（第1课时）这节课中，笔者从回忆三角形的研究路径开始，将三角形特殊化，确定了研究对象——等腰三角形;进而引导学生提出问题：等腰三角形的研究路径是什么？研究等腰三角形的性质就是要研究什么内容？应该如何研究？明确了这些问题后再组织学生通过“操作—实验—猜想—论证”的研究方法来解决问题.

1. 发现问题

问题1：通过类比角的研究过程，我们研究了三角形，我们研究了关于三角形的哪些知识呢？是按怎样的路径展开研究的？

师生活动：前两章我们一直在研究三角形的相关知识，我们研究过它的组成要素——边、角，以及相关要素——高、中线、角平分线之间的关系，还研究了两个三角形的特殊关系——全等. 全等三角形的研究都是从性质和判定两个角度入手的.

【设计意图】教师引导学生回忆并归纳出研究一个几何图形的“一般套路”，确定研究路径：定义、表示—性质—特例.

问题2：像研究直线的特殊位置关系“垂直”和“平行”一样，三角形也有特殊的情况需要研究，是什么呢？

师生活动：对几何对象的研究按照从一般到特殊的思路进行，引导学生将三角形特殊化，归纳出通过边的特殊化得到等腰三角形（特例是等边三角形），通过一个内角取特殊值得到直角三角形.

接下来我们就来研究一类特殊的三角形——等腰三角形.

【设计意图】对于一类数学对象，“特殊化”是发现问题和提出问题的重要方法，以三角形研究知识发展的逻辑及现实情境为线索，确定了研究对象——等腰三角形.

2. 提出问题

问题3：你认为可以研究等腰三角形的哪些问题呢？按怎样的路径展开研究？

师生活动：一起回忆几何图形的研究思路，等腰三角形是特殊的三角形，研究的内容是“特例”有哪些不同于“一般”的特殊性质，以及“特例”的判定;从而构建等腰三角形的研究路径：定义—性质—判定.

【设计意图】通过类比构建等腰三角形的研究路径，用相似的路径研究不同的问题.

3. 分析问题

问题4：根据三角形特殊化的过程，试说出等腰三角形的定义. 画一个等腰三角形并用符号语言描述等腰三角形的定义.

师生活动：学生说出等腰三角形的定义，在纸上画出等腰三角形，用符号语言描述等腰三角形的定义. 教师给予适时地引导和总结.

追问：在前面我们学习了轴对称图形，试根据之前的学习经验动手折或者剪一个等腰三角形，展开后你得到的是等腰三角形吗？理由是什么？

师生活动：学生尝试制作一个等腰三角形，教师为有需要的学生提供帮助.

【设计意图】通过操作实验制作等腰三角形，为后面探究和证明性质时添加辅助线做铺垫.

问题5：等腰三角形的性质是研究什么内容？判定呢？

师生活动：师生共同归纳得出性质是从定义出发，推出等腰三角形的组成要素——边和角，以及相关要素——高、中线、角平分线之间的位置关系、大小关系，而判定是从性质互换条件和结论出发进行研究.

【设计意图】“几何要素之间确定的位置关系、大小关系就是几何图形的性质”这个一般观念，对于发现和提出性质的猜想具有指导意义，使研究更具有方向性.

4. 研究性質

问题6：从剪或折的过程中可以看到，等腰三角形的哪些元素是重合的？由此你能得到什么结论？

师生活动：学生先观察自己手中的等腰三角形纸片，通过把等腰三角形纸片对折，找出有哪些重合的线段和角，然后概括有关等腰三角形性质的猜想.

追问1：通过观察手中的一个等腰三角形，根据轴对称的知识得到这样两个猜想，然后发现你们手中这些等腰三角形都有这样的猜想，怎么说明这些结论对所有的等腰三角形都适用呢？

【设计意图】根据轴对称性质得到等腰三角形的两个底角相等，三线合一，但是猜想不一定正确，操作不具有一般性，还需要严格地逻辑证明.

追问2：怎样证明这两个关于等腰三角形性质的猜想呢？

师生活动：教师引导学生回顾几何命题的证明步骤，分析猜想的题设和结论，画出图形，写出已知和求证，学生独立在纸上完成两个猜想的逻辑推理证明，组内交流后向大家展示不同的证明方法，以及是如何想到这些方法的.

【设计意图】由猜想到证明. 学生实现了由实验几何到论证几何的过渡，这个过程有助于发展学生的逻辑思维能力和语言表达能力，让学生在运用不同方法证明性质的过程中，提高思维的深刻性和广阔性，使合情推理和演绎推理有机结合.

追问3：试用符号语言来描述这两个性质.

【设计意图】从图形语言、文字语言，再到抽象的符号语言使得性质精致化.

5. 应用性质

问题7：等腰三角形的性质有什么作用？

师生活动：学生思考后教师总结，等腰三角形的性质提供了一种证明角相等、线段垂直、判断角的平分线的方法，然后师生利用性质一起完成教材上的例1.

6. 小结

问题8：本节课学习了什么知识？

追问1：如何获得研究等腰三角形性质的思路？

追问2：为什么可以通过这个路径发现、提出、分析和解决问题？

追问3：沿着这个路径你还能发现什么有研究价值的对象？能提出什么问题？

师生活动：学生先回顾本节课的研究历程，然后与同桌交流，最后教师及时总结如何研究一个几何对象的“特例”.

（1）研究思路：定义—性质—判定.

（2）研究内容：组成元素（边、角）、相关要素（高、中线、角平分线）.

（3）研究方法：操作实验—归纳猜想—演绎证明.

（4）数学知识之间是有联系的，具有内在逻辑联系的一类数学对象是值得研究的，我们可以用相同的思路、方法来分析和解决问题. 例如，还可以沿着这个思路将等腰三角形继续特殊化，研究等边三角形、等腰直角三角形.

【设计意图】通过引导学生回忆等腰三角形的研究过程，再次进行整体构建，形成体系，形成问题研究的“基本套路”，为后续的学习提供思路和方法. 从整体上认识几何图形研究的一般方法，感受数学研究对象的确定、研究方法的选择和研究过程的发展脉络.

三、结束语

对于“等腰三角形”这个内容，可能有的教师认为：知识很简单啊，这样做有必要吗？“等腰三角形”是研究几何图形“特例”的典例，在使学生了解研究一个几何图形的“基本套路”上具有奠基作用，对后续其他几何图形（等边三角形、平行四边形、矩形、菱形）的研究都具有示范作用，甚至可以直接引用. 所以需要教师在一般观念的指导下，对当前的教学内容进行深入、细致地解析，以知识发生、发展过程的逻辑为基础进行研究方法的指导. 使学生不单纯是知识的学习，同时也是贯穿始终的由内容所反映的思想方法的学习. 这样学生得到的知识才能迁移到其他数学对象的学习上，当面对一个新的数学对象时，才能知道从哪里下手研究，要研究什么. 例如，在学习“等式的性质”时，我们可以指导学生归纳研究代数的性质就是研究运算当中的不变性，那么在学习不等式的性质时，学生就会想到如果对不等式两边同时做加、减、乘、除运算会有什么规律;学习了一次函数的图象和性质就可以把研究一类函数的思路、研究内容、研究方法迁移到后续函数的学习当中. 让学生体会到其实数学学习的过程是不断重复的，只是研究的对象在不断地抽象化而已.

一般观念指引下的数学活动是一种系统性、结构性、思想性的思维活动，有利于培养学生的理性思维. 如果学生能经历不同学段的一般观念的反复渗透，那么其在未来一定可以在一般观念的指导下，自己发现值得研究的对象，发现和提出值得研究的数学问题，根据自己以往的学习经验，可以自己探索研究的方法，自己设计研究路径，获得有价值的数学结论，从而创造力的培养也就蕴含其中了.

参考文献：

[1]章建跃. 章建跃数学教育随想录[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017.

[2]章建跃. 学会用数学的方式解读内容设计教学：以“相交线”为例[J]. 数学通报，2019，58（1）：8-12，15.

[3]章建跃. 研究三角形的数学思维方式[J]. 数学通报，2019，58（4）：1-10.