独立检验的基本思想及其初步应用教学设计

何根芳

一、学习目标

（一）通过学生观看“吸烟与患肺癌关系”视频，引导学生思考如何论证自己所得到直观判断的正确性，发展学生的直观想象及逻辑推理核心素养。

（二）引导学生积累收集、整理数据经验，掌握利用2×2列联表及条形等高图对样本数据结果做出判断的方法，总结分析统计数据的方法与经验，发展学生数据分析核心素养。

（三）引导学生探讨所作结论是否有误判可能，通过探讨所作结论可靠性问题，培养学生质疑能力，进而类比反证法思想，通过设问、追问，以相互独立事件之间的概率关系去引导学生用频率估计概率，借助已有知识独立事件概率公式去得出“吸烟与患癌无关”的数量关系，发展学生的数学建模及数学运算核心素养。

（四）通过小组对小概率事件进行分析，引导学生明确设定规则做出判断一般思路，理解独立性检验的基本思想和一般步骤，发展学生的数学抽象及逻辑推理核心素养。

二、教学重点与难点

重点： 独立检验的基本思想，K2的含义及独立检验步骤。

难点： 随机事件相关性判断可靠性分析，利用独立性检验解决实际问题。

三、教材分析，学情分析

学生已经学完了必修3中的统计知识，对于样本数据分析处理积累了初步经验。在选修2-3前面章节中学习了随机事件发生的概率及事件的独立性的概念，在选修2-2中学习了反证法的基本思想，同时对于小概率事件几乎不可能发生有一定的理解。

通过上一节对相关关系的学习，学生明白两个变量之间可能存在相关关系，但是对于如何利用频率估计概率，从而借助独立事件概率公式建立相关关系等价关系式缺乏相关活动经验。因此本节课通过层层设问，引导学生以旧知识为工具，突破理解独立性检验基本思想。

四、教学过程

环节一 创设情境，激发兴趣

情境：学生观看吸烟与患肺癌关系视频。

【问题】我们都听说过吸烟更容易患肺癌，可是有老烟民说有人烟不离手还长寿，有人不抽烟还得肺癌，你准备用什么来反驳他这句话呢？

关键点1：生活常识（情感判断）

关键点2：用数据说话（理性分析）

关键点2：数据获得方式（抽样调查）

关键点3：样本信息应该有几类分类？

吸烟、不吸烟、患癌、不患癌（分类变量）

关键点4：调查结果如何呈现

设计意图：增强学生数据意识，引出2×2列联表及条形等高图概念，发展学生直观想象、数据分析核心素养。

环节二 问题驱动，探究概念

【问题】得到2×2列联表的数据之后，同学们能不能根据这个数据得出吸烟与患肺癌是否有關呢？

关键点1：比例不同（直观感受）

关键点2：吸烟患肺癌概率比不吸烟患肺癌概率高（用样本频率估计概率）

设计意图：通过对表格的分析，引导学生熟悉2×2列联表特征，巩固用频率估计概率做出判断的基本思想，发展学生的数据分析核心素养。

【问题】除了用表格分析数据的结果，还可以用什么方式来展现呢？

关键点1：等高（统一标准，方便比对）

关键点2：

频率估计概率

设计意图：引导学生通过回忆初中所学统计知识，学会利用图表直观判断得出结论，发展学生的直观想象核心素养

【问题】我们说直接判断吸烟与患肺癌有关好不好判断？在数学中，我们有一个思想是正难则反，判断有关比较困难那我们可以考虑什么？你为什么会认为判断无关容易一些呢？能不能利用2×2列联表数据建立两个事件无关关系式？

关键点1：做出假设H0：吸烟与患肺癌没有关系

关键点2：无关与已有知识事件独立相呼应

关键点3：

相互独立概率公式： P（AB）= P（A）·P（B）

关键点4：频率估计概率。

设计意图：引导学生回顾所学知识，借助独立事件作为工具去探究新知识，在探究过程中，进一步让学生感受用频率估计概率的思想，培养学生的数据意识，引导学生通过数据建立数学模型做出理性判断，发展学生的数据分析，数学运算，数学建模核心素养

环节三 知识生成，卡方检验

【问题】得到关系式ad≈bc后，我们可以怎么判断吸烟与患肺癌关系的强弱呢？样本容量的不同会导致|ad-bc|的不同，那么这时又该如何比较相关关系的强弱呢？

关键点1：对ad-bc的探讨;

关键点2：为什么带绝对值;（之差可能为负数，直接比较大小不合适）

关键点3：|ad-bc|的大小表示什么？（越大，吸烟与患肺癌关系越强，越小，吸烟与患肺癌关系越弱）

关键点4：统一评判标准

设计意图：引导学生去分析所得结论的意义，并进一步思考如何用统一标准去评价相关关系的强弱，引出统计量卡方的概念。

【问题】早在1990年英国的统计学家K. Pearson就提出了通过构造随机变量

关键点1：分母的合理性，除以总数消除样本容量的影响，2×2分类变量，各个维度有区别

关键点2：n为样本容量，样本容量越大统计数与相应总体参数越接近

关键点3：（ad-bc）2考虑分母是4次，所以分子要统一，不用绝对值而是用平方

设计意图：通过学生分析卡方的成因，探讨公式中每个变量的合理性，发展学生逻辑推理，数学建模的核心素养。

【问题】统计学家经过研究后发现，在H0成立条件下，P（K2≥6.635）≈0.01，你是怎么理解这句话的？

关键点1：在H0成立条件下，K2观测值超过6.635概率非常小，是一个小概率事件

关键点2：小概率事件通常不会发生，因此有理由判断H0假设不成立

关键点3：做出这种判断会犯错，犯错误概率不会超过0.01。

设计意图：引出独立性检验原理：在假设H0下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断H0不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率。

【问题】同学们通过计算，可以得到K2的观测值是多少？（k≈56.632），由此你可以得出什么结论呢？如果计算的观测值比临界值要小，你又能得出什么结论呢？

关键点1：k>6.635，可认为吸烟与患肺癌有关

关键点2：做出这种判断会犯错误，犯错误的概率不超过0.01;

关键点3：前面结论是基于小概率事件通常不会发生做出的，所以观测值小于临界值时，只能说明得不出吸烟与患肺癌有关。

【问题】怎样判断K2的观测值是大还是小呢？做出误判的概率有多大呢？

关键点1：确定一个正数k0，当k≥k0就认为观测值大，否则认为观测值小;

关键点2：需要观测值大于临界值所对应的概率

关键点3：误判概率不超过 P（K2≥k0）

关键点4：临界值表。由于不同样本中K2的观测值不同，我们统一将实际问题中K2的观测值用k表示。在H0成立的情况下，有如下结果：

設计意图：通过对临界值的探讨，引导学生进一步感受临界值的必要性和意义，体会数值所代表的意义，得出独立性检验的基本方法和步骤。

【问题】你能总结一下独立性检验的基本步骤吗？

关键点1：明确研究问题，分类变量;

关键点2：根据实际问题确定犯错误概率上界k0;

关键点3;利用公式的观测值;

关键点4：若k≥k0，就判定“两个变量有关”，且做出此判定的犯错概率不超过 P（K2≥k0）;否则，则说明样本数据中没有发现足够证据证明两个变量有关（或者说不能在犯错误概率不超过 P（K2≥k0）前提下得出两个变量有关）。

环节四 总结

【问题】通过这节课，你有哪些收获？

设计意图：学生总结反思，从而明确独立检验方法和步骤以及假设检验原理;引导学生进一步强化数据意识，通过本节课形成的数学经验，进一步思考数学知识的工具性作用，认识到统计方法对于我们生活中做决策的指导意义。

【本文系广州市教育科学规划课题2019年度课题“建构深度教学，在问题引领下发展学生核心素养的课堂教学研究”（课题编号：201912014）研究成果】

【参考文献】

[1] 章建跃. 为什么说“三维目标”已经“过时”[J]. 中小学数学：高中版，2021（Z1）：124-125.

[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学标准[M].北京：人民教育出版社，2017.