再谈本原性问题驱动下的高中数学概念教学

【摘要】数学概念教学对于学生掌握数学概念、打好数学学习基础有着非常重要的作用.“本原性问题”着重于建立数学思想和理解数学概念，用“本原性问题”驱动数学概念教学的基础是教师对数学概念“基本要素”或“基本构成”的洞彻与把握.本文以复数概念的教学为例，对“本原性问题”驱动下的高中數学概念教学进行了初步探讨.

【关键词】高中数学;概念教学;本原性问题

一、“本原性问题”的提出与发展

“本原性问题”这一概念源于张荫南、张奠宙两位教授的文章《新概念——用问题驱动的数学教学》.[1]

对“本原性问题”概念的界定，目前主要有三种观点：

（1）数学课堂中的“本原性问题”是指在数学课堂教学中师生互动、自然生成的原发性问题.[2]（下称观点1）

（2）哲学中的“本原性”是指一切事物的最初根源或构成世界的最根本实体.把这一概念借用到数学教育中来，“本原性数学问题”（或称为“数学的本原性问题”）就表现为数学教学中数学问题的“要素”或“基本构成”.[3]（下称观点2）

（3）数学问题多种多样.有些问题是波利亚式的——纯粹数学问题，有明确的条件和结论，找准解题策略之后依靠技巧获得解决.还有一种问题是数学本原问题，着重数学思想，建立数学概念，构造思想体系，形成数学思想. [4]（下称观点3）

这三种观点从三种不同的角度刻画了数学“本原性问题”，观点1着重于课程论角度，观点2着重于认识论角度，观点3则从纯数学的角度阐释了这一概念.三种观点之间不是矛盾关系，而是互相补充，互相支持.

二、复数概念的内涵分析

中学教材中对复数的定义如下：形如a+bi（a，b∈R）的数叫作复数.

对复数内涵的理解从形态特征方面讲应当包含以下三个方面：

（1）对实数a，b的理解

它体现了复数域的继承特点.复数是在实数基础上构造的新数，因此复数的内涵与实数的内涵有共性，这个共性主要表现为复数可以是实数（当b=0时）.

（2）对i的理解

它体现了复数域的推广特点.复数域之所以是对实数域的推广，主要是因为引入了新数“i”，“i”的介入使得复数产生了不同于实数的形式和运算上的差异.

因此，在理解复数概念时，抓住对虚数单位“i”的理解也就抓住了复数概念教学的重点和难点.

（3）对“+”的理解

复数1+i绝不是同种数量的累计，也不是距离的和，此处的“+”既有实数中多项式加法运算的过程含义，又有通过符号“+”把实数“1”和虚数“i”组合起来表达二元数“1+i”的结果含义.从语义学角度看，复数就是“复合的数”.此处如果改用其他符号，如“”来表达这种复合关系，也没有任何问题，之所以用“+”，是因为早期数学家（邦贝利）在还没有完全了解复数性质的时候，主观地认为复数运算与实数的多项式运算是完全相同的.

三、复数概念的教学设计解读

1.复数概念引入应该尊重什么

许多研究者或教师认为复数概念的教学应当尊重历史，认为复数产生于解三次方程，因此，在向学生讲授复数概念时应当以解三次方程为例，否则就是不尊重历史.复数概念的引入固然要尊重历史，但是更要尊重认知科学和教育规律，还要正视不同学生群体的数学基础差异和数学能力差异，这就是为什么我们在复数概念引入上“百花齐放”的原因.离开教学对象的现实情况进行教学设计必然是空中楼阁，只是看起来很美.

2.实数系到复数系的扩充为什么不能类比整数系到有理数系

自然数是“数”出来的，分数是“分”出来的.自然数和有理数的概念依据学生的认知经验是可以理解的，因此，对自然数和有理数概念的教学可以运用概念同化的方式.

无理数的概念是超经验的，因此不能如自然数一样“数”出来，也不能像分数一样“平均分”出来.[5]因此，无理数的概念不能由有理数“同化”出来，只能采用概念形成（概念顺应）的方式来学习.为了帮助学生更好地形成无理数的概念，无理数的几何表示（边长为1的正方形的对角线）显然是必不可少的.因此，无理数概念虽然不能用代数方法“数”出来或“分”出来，但它可以用几何方法“画”出来，从而使无理数概念的学习有了好的理解平台.

显然，虚数概念也是超经验的，不可能利用实数概念“同化”虚数概念，而且虚数也不可能像无理数那样用几何法“画”出来，这就构成了虚数（复数）概念教学的一个重点.另外，复数与“整数”“有理数”“实数”有本质上的不同，之前所学的数都是一元形式，而复数是二元形式，这种特点构成了复数概念教学的第二个重点.

学习复数概念时，困扰学生的有两个问题：（1）为什么用“i”表示-1的一个平方根？（2）数的形式由一维形式如何发展到二维形式？

因此，复数概念的教学有两个难点需要突破：（1）为什么要继续扩充实数系（扩充的必要性是什么）？

（2）为什么把复数表述成“a+bi”的形式（扩充的合理性是什么）？

四、基于“本原性问题”驱动的复数概念的教学设计

文献2中提到复数概念教学中通过整体思维中的“悖论”为复数的发现提供“本原性问题”，笔者对这一说法是赞同的，因为它体现了文献3中的理念：“每一个数学概念都有其产生、形成并不断完善的过程.概念教学中，如果把教学活动设计成类似于数学家提炼概念并不断完善数学概念的过程，可以发展学生深层次的概念理解，可以使数学教学中‘过程和结果并重.”但仅仅到这里，用“本原性问题”驱动数学教学的目标并没有完全达到，因为到此只解决了一个问题：为什么要继续扩充实数集？接下来需要进一步解释扩充的合理性.下面的教学实录是笔者采用中国传统的“铺垫”（过程性变式）理论获得的.

【片段1】

师：我们知道自然数集N={0，1，2，3，…}中的数除了用于记数外，还可以进行运算，如通常的加法和减法运算.你们能举一些自然数加减法运算的例子吗？

生：加法：3+5=8，5+5=10，…

减法：3-5=-2，5-5=0，…

师：我们发现两个自然数相加一定是自然数，而两个自然数相减却不一定是自然数，这说明两个自然数相减以后可以产生一些不同于自然数的新数，为了表示这些数，我们引入符号“+”“-”，从而引入新数：负整数.将它和自然数合在一起，由此完成对数集N的扩充：Z={0，SymbolqB@1，SymbolqB@2，SymbolqB@3，…}.

该过程说明三个问题：

（1）数的扩充是为了满足运算的需要（为数的扩充找到一种必然性）.文献6中称之为“进步性”.[6]

（2）新数的产生通过引进新的数学符号来完成（为解释为什么用“±i”表示-1的平方根做铺垫）.文献6中称之为“引新性”.

（3）新數与原来的数形成新的数集Z，保留了原来对加法和乘法运算的性质的同时，增加了对减法运算的性质（a，b∈ZSymbol^C@ a+b，a×b∈Z，且a-b∈Z，为进一步学习复数的运算法则找到必然性）.文献5中只谈到与原运算的一致性，其实此处运算也“进步”了.

【片段2】

师生互动：Q？R.

师：为什么要把有理数集Q进一步扩充？

生：因为有理数开方运算的结果不一定是有理数，如2的平方根.

师：为了表示这些非有理数，教材中是如何处理的？

生：引入符号“ ”表示开平方产生的非有理数，如 2.

师：这种非有理数并不是刚一出现马上被人接受的，所以达瘙簚芬奇把“2”这样的数称为“无理的数”，这就是无理数名称的由来.

此处进一步强化数集扩充的必要性——运算的需要，强化数集扩充的基本思路——引入符号表示新数，为学生理解用“i” 表示-1的一个平方根做进一步铺垫.

通过数轴表示每次所产生的新数的位置，当实数充满数轴后，把数的范围扩展到平面就水到渠成了，难点（1）不攻自破.

师：负数不能开平方，是因为我们规定任何实数的平方都是非负数，负数开平方的结果不是实数，因而不能用实数表示.如何解决负数的开平方运算问题呢？

生：引入符号来表示负数的平方根.

师：我们知道若a<0，则a=（-1）（-a），由于（-a）的平方根可求，所以只要找到-1的平方根，即解方程x2=-1，即可求出任意负数的平方根.根据前面的学习我们知道，假设-1的平方根是存在的，则它一定是我们没有见过的新数，为了表示它，我们必须引入符号.

生：但初中数学老师一直告诉我们负数没有平方根.

师：对，正如无理数概念的产生一样，17世纪德国天文学家开普勒称-1的平方根为“不可思议的、虚幻的、虚构的数”，因而数学家笛卡儿就用英文单词“imaginary”的第一个字母来表示-1的一个平方根.

以上三个片段合起来构成了教学中的有层次的推进（铺垫），这种推进是靠有效的问题产生动力的，其在不断强化两个数学思想：（1）为什么要推广数集产生新数？（完善运算的必要性）（2）新数是如何用数学方法构建的？（引入新符号表示新数的合理性）从而为解决难点（2）铺平了道路.

结 语

“本原性问题”能够驱动学生深刻理解并掌握数学概念，它不同于情境教学，也不同于问题解决，但它也不排斥情境教学和问题解决等教学模式，它只是强调数学教学是对数学思想和数学概念的教学，强调从数学概念本身的角度来设计教学，而不是从解决数学问题获得数学技能的角度或者其他角度设计教学.

【参考文献】

[1]张奠宙，张荫南.新概念：用问题驱动的数学教学[J].高等数学研究，2004（03）：8-10.

[2]徐文彬，杨玉东.“本原性问题”及其在数学课堂教学中的应用[J].数学教育学报，2005（03）：14-16.

[3]杨玉东，李传峰.用本原性问题驱动数学概念教学——以高一数学“函数单调性”为例[J].中学教研（数学），2006（01）：1-5.

[4]张奠宙.教育数学是具有教育形态的数学[J].数学教育学报，2005（03）：1-4.

[5]张奠宙，王华，司擎天.无理数教学三人谈：超经验数学研究之一[J].数学教学，2015（08）：封二-2.

[6]王克亮.思想与文化并重 探究与体验并行：再上“数系的扩充”的体会与感悟[J].中学数学教学参考（上旬），2013（1-2）：17-20.