线性代数方程组有解判别定理的教学方法探讨

陈建春

【摘要】本文针对大学线性代数课程中线性方程组解的存在性这一教学内容，从二维几何空间内两条直线的相对位置关系出发，阐述了两条直线不同交会情况下，需要满足的几何条件与线性方程组解的判别定理中矩阵秩的关系在数学上的等价性.从几何空间的自由度与约束度的概念出发，分析了这两个因素对方程组解的存在性的影响.教师在教学中采用由具体到一般的教学思路，有助于学生对抽象的数学概念的理解.

【关键词】线性方程组;解的存在性;约束度;自由度

【基金项目】西安电子科技大学2019教学改革重点项目资助（20901190007）

一、引 言

线性方程组是线性代数中非常重要的知识点[1][2]，涉及线性方程组解的存在性的判别以及方程组的解法等内容.由于方程组的有解判别定理的条件是采用矩阵的秩这一抽象概念表述的，所以学生较难理解和把握.对于这部分教学内容，有的教师从具体的案例出发阐述了其解法与技巧[3][4]，有的教师从教学方法方面进行了有益的探讨[5][6]，但这些做法基本上都是从纯数学概念的角度去分析相关问题.本文针对方程组有解判别定理，按照从具体到抽象自然过渡的思维方式，探讨其教学方法.从学生熟悉的相对具体的几何空间出发，对线性方程组的几何意义及有解、无解、多解需要满足的几何条件，与线性方程组有解判别定理中抽象的矩阵秩的关系建立联系与对比，使学生对线性方程组解的判别定理的理解有一个由具体到抽象的自然过渡.最后，关于方程的个数及未知量的个数，从几何空间上的约束度及自由度的概念出发，直观地解释了二者对方程组解的存在性的影响，进一步加深学生对方程组问题本质的理解.

二、线性方程组有解判别定理

设A为一个m行n列的已知实矩阵，b为一个m维的已知实列向量，x为n维的未知列向量，则n元一次线性方程组的矩阵形式可表示为：

构造增广矩阵B=[A|b]，则有方程组解的存在性定理如下[2]：

定理：对于（1）式所表示的n元一次线性方程组，

1.其有解的充分必要条件是rank（A）=rank（B）;

2.其有唯一解的充分必要条件是rank（A）=rank（B）=n;

3.其有多解的充分必要条件是rank（A）=rank（B）

显然，其无解的充分必要条件是rank（A）≠rank（B），其中rank（·）表示矩阵的秩.其定义如下：

三、方程组解的存在性定理的几何解释

几何平面是学生最熟悉的几何空间之一，下面就以平面上两条直线的相对位置关系来引入二元一次方程组的解的存在性问题，并从几何角度解释这种直线的相对位置关系与方程组解的实际情况之间所存在的对应关系.

设X1-X2平面上两条已知直线l1和l2的方程为：

其中，ai，bi，ci，i=1，2均为已知实数，现在要解决的问题是寻求两条直线的公共部分，即交点.

显然，从方程的角度（2）式是一个二元一次线性方程组，所要解决的数学问题就是要求这两个二元一次线性方程的联合解.该线性方程组的系数矩阵A和增广矩阵B可分别列出，即

如果从几何的角度理解这个问题，就要考虑这两条直线在平面上的相对位置关系，其存在以下三种可能性：

1.两条直线交于一点

在几何平面上，出现这种情况的条件是这两条直线的斜率不相同，即

其位置关系的示意图如图1所示（两条直线交于一点）.

如果从一般的线性方程组的角度考虑，这种情况对应于二元一次线性方程组（2）有唯一解.根据前述定理，线性方程组有唯一解的充分必要条件是方程组的系数矩阵的秩等于其增广矩阵的秩，且等于线性方程组未知量的个数，即定理的第2条：

显然，（5）式的条件与（6）式的条件是等价的.因为（5）式可以写为

而此关系式表明rank（A）=rank（B）=2，即（6）式成立.反之亦然.

2.两条直线完全重合（多个交点）

在几何平面上，两条直线完全重合发生的条件是这两条直线不仅斜率相同，而且截距也相同，即

其位置关系的示意图如图2所示（两条直线交于多点）.

从线性方程组的角度出发，这一情况对应于二元一次線性方程组（2）有无穷多解.根据前述定理，线性方程组有无穷多解的充分必要条件是方程组的系数矩阵的秩等于其增广矩阵的秩，且小于方程组未知量的个数，即定理的第3条：

（7）式的条件等效于（8）式.因为（7）式可以写为下面三个关系式：

上式中，当ai，bi，i=1，2至少有一个不为0时，意味着rank（A）=rank（B）=1<2，即（8）式成立.反之亦然.

3.两条直线不相交（平行）

在几何平面上，两条直线不相交发生的条件是这两条直线的斜率相同，但是截距不同，即

其位置关系的示意图如图3所示（两条直线不相交）.

从线性方程组的角度去理解，这一情况对应于二元一次线性方程组（2）无解.根据前述定理，线性方程组无解的充分必要条件是方程组的系数矩阵的秩与其增广矩阵的秩不相等，即定理的第1条的逆否形式：

显然，（9）式的条件等效于（10）式.因为（9）式可以写为下面三个关系式：

上式中，当ai，bi，i=1，2至少有一个不为0时，意味着rank（A）=1≠rank（B）=2，即（10）式成立.反之亦然.

四、线性方程个数与未知量个数对方程组解的影响的几何解释

在线性方程组（1）中，方程的个数为m，未知量的个数为n.一般情况下，m和n的大小关系是任意的，当m=n时，我们称该方程是恰定方程组;当m>n时，称其为超定方程组;当m

1.方程个数m对线性方程组解的影响

m的大小体现了方程组约束条件的多少，每一个方程都是一个约束条件.显然，约束越多（m增大），方程组有解的可能性减小，反之则增加.

从几何空间理解，设m=n=2，则（1）式是二维几何平面的两条直线.若n=2不变，m增加到3，即增加一个方程，则表示在二维几何平面上增加了一条直线.新的方程组表示三条直线的公共交点，显然原来两条直线交于一点的可能性将趋于减小.

2.未知量个数n对方程组解的影响

n的大小体现了自由度的大小，每一个未知量都代表着一个自由度.显然，自由度增大（n增大），方程组有解的可能性增大，反之则减小.

从几何空间理解，设m=n=2，则方程（1）代表二维几何平面上的两条直线.若m=2不变，n增加到3，即增加一个自由度，则空间扩展为三维几何空间，方程组中的每个方程不再代表二维几何平面上的直线，而是代表三维几何空间上的平面.新的方程组表示两个平面的公共交点，显然原来两条直线交于一点的可能性将趋于增加.

五、总 结

针对一般n元一次线性方程组解的存在性及有解判别定理中矩阵秩的关系这一抽象概念，通过将其与几何空间上多个直线（或平面）能否相交的相对位置关系及需满足的条件做对比，讓学生直观理解线性方程组解的存在性的几何意义及有解判别定理的本质含义;从约束度和自由度与方程个数及方程未知量个数的对应，从几何角度解释了其对方程解的影响.使学生完成由熟悉的知识到一个新的知识的自然过渡，提高学生对该部分知识学习的兴趣，加深学生对方程组问题的理解.

【参考文献】

[1]同济大学.工程数学：线性代数（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]刘三阳，马建荣，等.线性代数（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3]赵彦晖，王艳.直接构造基础解系或通解的线性方程组解法[J].高等数学研究，2018（3）： 43-47.

[4]金晓灿，王海侠，张丽琴.线性方程组课堂教学的应用案例[J].数学学习与研究，2016（11）： 8-10.

[5]张学福.线性方程组解的结构的分类教学[J].数学学习与研究，2014（11）：68-69.

[6]赵晔.线性方程组教学方法初探[J].新课程学习（下），2014（11）：116.