线性方程组解的逆向问题的一种解法分析

兰 星

(广东技术师范学院 天河学院，广东 广州510540)

对于数域F上的非齐次线性方程组

其矩阵形式为:

定理 对于数域F上的非齐次线性方程组AX= β，当r时，其通解可表示为:

其中η*是方程组AX=β 的特解，ξ1，ξ2，…，ξn-r是对应的齐次线性方程组的基础解系，Å是增广矩阵，r(A)表示矩阵A的秩。

我们现在关心的问题:给出一个线性方程组的通解X=c1ξ1+c2ξ2+…+cn-rξn-r+η*，若何来求出对应于通解X=c1ξ1+c2ξ2+…+cn-rξn-r+η*的一个线性方程组AX=β。为此我们通过逆向探求分析该问题，从而得出求解此问题的一种有效方法。

方法分析

上述问题中，通解的主要部分是齐次线性方程组AX=0 的基础解系，因为ξ1，ξ2，…，ξn-r是齐次线性方程组AX=0 的基础解系，则有Aξi=0(i=1，2，…，n-r)。即A(ξ1，ξ2，…，ξn-r)=0，对此式两边取转置可得:

由方程(1)可以知道AT的m个列向量就是齐次线性方程组AX=0 的解向量。而且列向量组其实就是系数矩阵A的m个行向量α1，α2，…，αm，于是，只需要以已知的基础解系为行向量作矩阵B，然后再求出BX=0 的基础解系，并以该基础解系为行向量作矩阵，这个矩阵就是所求的线性方程组的系数矩阵A，最后，再根据所告诉的特解便可求出非齐次线性方程组的常数项。

据上述方法分析，不仅给出了已知齐次线性方程组的基础解系，求一个齐次线性方程组的方法，同样给出在知道非齐次线性方程组的解结构时去求出一个非齐次线性方程组的方法。下面举例说明。

例1:求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系由下列向量组成

例2:求一个以(1，2，-3，4)T+c(2，1，-4，3)T为全部解的非齐次线性方程组。

解:令B=(ξT)=(2 1 -4 3)，对矩阵B施行初等行变换有则有，故方程BX=0 的基础解系为:

［1］ 白述伟. 高等代数选讲［M］. 哈尔滨:黑龙江教育出版社，1996.

［2］ 王卿文. 高等代数学综论［M］. 香港:香港天马图书有限公司，2000.

［3］ 刘学鹏. 教学方法的改革与优化［J］. 临沂师范学院学报，2003(6).