数学核心素养视角下的“双轨迹问题”赏析

凌海霞 (江苏省沙溪高级中学 215421)

近几年来，高考数学试卷及各地高考数学模拟试卷中常常出现“双轨迹问题”，除了考查数学相关知识与方法外，还重点考查了学生的数学运算、直观想象、逻辑推理等数学能力，符合课标倡导的课程教育目标．在数学高考复习中应该加强数学核心素养的培养，首要的任务是选择好相关的素材，通过引领、示范开展好数学课堂活动．

1 合理分解条件，培养学生的数学运算能力

解析几何是用代数方法处理几何问题．通过代数符号、数据进行数学运算，可以培养学生的数学运算能力.

(说明：类似这样的一个动点满足同时在两个轨迹上的问题，我们称其为双轨迹问题.)

图1

说明 将条件①②分解开来，分别得到点P所在的两个轨迹，然后转化为两个轨迹的关系问题. 在解决该问题时，运用代数运算、分析和推断，培养学生的数学运算能力.

2 揭示数学本质，提升学生的数学抽象能力

从探究数学本质的角度来说，双轨迹问题大体可以分为两类：一类是可以转化为圆与圆的位置关系问题(如问题1)，另一类是可以转化为直线与圆的位置关系问题(如下面的问题2)．

图2 图3

3 利用数形结合，增强学生运用直观想象的意识

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养[1].主要表现为：建立形与数之间的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物.而是否有运用直观想象的意识是关键！

图4

说明通过数与形的相互转化，发展几何直观和空间想象能力，增强学生运用几何直观和空间想象思考问题的意识.

从问题1～3的分析可知，解决双轨迹问题分为两步：第一步，确定一个动点作为研究的对象，分解题目的条件，然后分别求该点的两个轨迹；第二步，针对所得的轨迹揭示问题的本质，然后采取相应的解决方法. 针对第一步，如果在问题中有多个动点，又是如何解决呢？

4 学会有逻辑地思考，培养逻辑推理能力

逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质[1].如何能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，从而形成有条理、合乎逻辑的思维品质呢？

说明解答此问题要先对条件进行分析，确定研究的对象，通过逻辑推理得到结论.这是培养学生逻辑推理能力最有效的途径．

综上，解决双轨迹问题的难点有两个：(1)确定一个动点作为的研究对象，如果题目中出现多个动点，要首先确定起决定作用的点；(2)动点所在的两个轨迹中一般有一个是已知的，而另一个是隐含在条件中的，这需要学生要有轨迹意识，分析动点满足的几何性质或满足的等量关系，从而求得动点的轨迹方程.