借球问道 提升想象 助力素养——“空间几何体的外接球”一轮复习与反思

陈桂明 (江苏省扬中市教师发展中心 212200)

1 学情分析

本次借班授课的教学对象是新四星级高中的高三物生地组合班学生，学生具备了一定的自主学习能力、运算能力和综合运用知识解决问题的能力．由于在高一教学时仅简单涉及空间几何体的外接球，学生对空间几何体知识的储备及空间想象能力有限，空间几何体外接球问题更是学生的一个薄弱点．

2 考点解读

纵观近几年高考数学全国卷，球常和其他空间几何体相结合，既是考查的热点又是考查的难点，常以选择题和填空题的形式出现，考查球的表面积或体积，基本上都是中等难度试题．空间几何体与球的相关问题实质上是研究球的半径和确定球心的位置问题，这些不仅需要学生具有良好的空间想象能力，还需要学生具有较强的逻辑思维能力、空间问题平面化的降维能力，以及一定的数学运算能力．

教学目标 (1)以柱体、锥体的外接球问题为载体，探究确定球心位置的方法，完善知识方法体系，体会转化与化归的数学思想方法，提高解决数学问题的意识与能力，积累解题经验；(2)通过对柱体和锥体外接球的研究，进一步提高学生将实物和模型抽象为空间图形和符号语言的能力，并通过对空间图形的组合、分解、转化，促进直观想象素养的提升．

教学重点 外接球球心位置的确定，并计算其半径．

教学难点 外接球球心位置的确定．

3 过程实录

3.1 前置学案的反馈

师：同学们，课前大家已经完成了前置学案，请充分讨论．

问题1平面上，三角形的外接圆圆心如何确定？其半径如何计算？

师：很好！(追问)三角形外心可能位于三角形的什么位置呢？

生1：需要分类.当三角形是锐角三角形时，外心在三角形的内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边的中点上．

师：回答得真棒！

问题2球的定义是什么？它有哪些性质？

生2：半圆绕它的直径所在直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球．

师：对！类比圆，我们知道球心与球面上任一点的连线就是球的半径．球又有哪些性质呢？

(利用GGB展示用平面去截球面的动画)

生3：用一个平面去截球面，所得的截面是圆面，截线是一个圆．当截面经过球心时，则截线圆是球O的大圆，大圆半径就是球的半径；当截面不经过球心时，则截线圆是球O的小圆．

生4：球心和截面圆圆心的连线垂直于截面．

师：(追问)根据这个性质，类比外心的确定，球心位置如何确定呢？

生4：过小圆圆心作截面的垂线，球心一定在此垂线上．

师：回答得真好！该性质有助于我们确定球心的位置．球还有什么性质呢？

生5：球心到截面的距离d、截面圆的半径r及球的半径R所在线段构成直角三角形，它们满足d2+r2=R2(图1)．

图1

师：根据该性质，就能将空间问题平面化，通过降维转化为平面问题，它有助于球半径的求解．

问题3球的表面积和体积公式：S表=,V球=．

师：所以涉及球的表面积或体积计算时，决定因素是球的半径，而球半径的求解关键是球心位置的确定．

3.2 例题变式讲解

·柱体外接球问题

例已知长方体的长、宽、高分别为3,4,5，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为．

不急于让学生说出答案，先让学生回答如下问题．

师：该长方体的外接球球心在哪儿？你确定的依据是什么？如何求出半径？

变式1 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=3，AC=4，BC=5，AA1=5，则球O的半径为．

师：球内接长方体变成了直三棱柱，如何求球半径？

师：生8采用的是间接法，通过补形，补成一个与直三棱柱有公共外接球的长方体，且该长方体的外接球易于处理，这就是转化与化归思想的体现．生9采用直接法，利用球的几何性质找球心、求半径，这是数形结合思想的体现．

变式2 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=BC=3，AA1=5，则球O的半径为．

生11：补形，补成一个底面是菱形的直棱柱．

生11刚讲完，生12就举手示意．

生12：不对，我一开始也这样思考的，但后来发现等边三角形补形后的底面是菱形，这个菱形没有外接圆．

师：生12解释得很好，三角形一定有外接圆，但其他多边形并不一定有外接圆，所以补形对于变式2是行不通的．(利用GGB展示变式2中直三棱柱的外接球和补形后的直四棱柱)

师：同学们可以仿照前2个变式，对例题进行再改编吗？

生13：继续改变底面三角形形状，将特殊三角形改为非特殊的三角形呢？

师：生13的想法很好！由特殊到一般，按生13的想法，底面三角形需要哪些条件呢？为什么？

生14：只要提供一边及其对角就可以了，因为对边对角都有了，根据正弦定理，底面三角形外接圆的半径就可以求解了，然后球半径也就可以计算了．

生15：改“直三棱柱”为“等高圆柱”，求圆柱的外接球半径.其实圆柱的外接球与直三棱柱的外接球是同一个球．

师：同学们真棒！下面请大家总结一下，处理柱体外接球的策略方法是什么呢？

生16：解决柱体外接球的关键就是找球心、求半径．

生17：解决柱体外接球的方法主要有：一是直接法，利用定义或性质；二是间接法，通过补形进行转化．

·锥体外接球问题

生18：老师，我们可以将“长方体”改成“三棱锥”，求三棱锥的外接球．

师：生18的想法很好，与老师心有灵犀啊，下面我们一起看变式3．

变式3 三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的表面上，且PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=3，BC=4，PA=5，则球O的体积为．

师：变式3未提供图形，我们需要根据题意画出对应的图形，如何画图呢？

教师板书示范：先画一个球及球心O，再画一个截面圆及底面△ABC(一般将点A画在边界上，根据AB是截面圆的直径画出B)，最后在点A竖直方向上的球面上画出点P，从而画出符合题意的三棱锥(图2)．

图2

师：大家结合柱体外接球的处理方法，思考变式3，并谈谈自己的想法.

生19：由于有垂直关系，想到可以补形，把三棱锥补成直三棱柱，这样就与变式1是一个问题了．

师：很好！生19采用间接法，通过补形，将三棱锥补成三棱柱，当然也可以补成长方体，即将棱锥的外接球问题等价转化为柱体的外接球问题了，一是体现了化归思想，二是体现了模型思想．

师：生20真善于挖掘图形中的几何关系，其实这个三棱锥很特别，在《九章算术》中把这样四个面都是直角三角形的三棱锥称为鳖臑．

生21：可以借助性质来确定出球心的位置，设AB中点为H，则OH⊥平面ABC，于是PB必过球心O，且O为PB的中点．

生22：可以通过建立空间直角坐标系，建立方程组计算出球心O的坐标．

师：想法很别具一格啊！你是怎么思考的，请上讲台来跟我们具体谈谈？

图3

师：真精彩！看来本题的解法很多，一是直接法：找球心(定义找、性质找、计算找)，求半径；二是间接法，补成共球且易于处理(或熟悉)的几何体，一般补成长方体、正方体这些基本模型．那这些方法中，大家更喜欢哪种呢？

学生共同回答：间接法进行补形．

师：不错！补形更为简单、直观．在正方体或长方体中取四个不同的顶点，你还能得出哪些特殊的三棱锥呢？

生23：三条侧棱两两垂直的三棱锥．

生24：三个侧面两两垂直的三棱锥．

生25：对棱相等的三棱锥．

师：(教师即时用GGB展示取点得到对应的三棱锥)很好！能找到所有棱长都相等的三棱锥吗？

生25：长方体中没有，但正方体中有．

师：对！我们把所有的棱长都相等的三棱锥叫做正四面体．那正四面体的外接球半径如何求解呢？

变式4 正四面体P-ABC的棱长为3，且其所有顶点都在球O的球面上，则球O的半径为．

师：很好！补形很快就能把复杂问题简单化．

生27：可以用直接法.在球O中画出正四面体，设底面ABC的中心为O1，则球心O必定在正四面体高PO1所在的直线上，连结OA，在Rt△O1OA中，利用勾股定理可求出球的半径．

生28：过P作PO1⊥平面ABC，O1为垂足，过C作CH⊥平面ABP，H为垂足，则依据球的性质，PO1与CH的交点就是球心O．连结OA，则OA=OP=R，在Rt△O1AP中可以求出球的半径．

师：这两种方法有类似的地方，都是作高、找球心、求半径，而且更具一般性．这种方法除了可以解决棱锥的外接球问题，也能解决圆锥的外接球问题．那么请大家总结下，处理锥体外接球的策略方法是什么呢？

生29：处理锥体的关键还是找球心、求半径，具体的方法有直接法和间接法．

3.3 课堂小结

师：回顾本节课大家的学习历程及几何体的演变，请同学们思考，有哪些收获？还有什么困惑？

4 教学感悟

在江苏省即将参加全国新课程高考的大背景下，如何进行高三数学复习，特别是立体几何复习，我们有许多困惑，如复习难度、内容广度、题型深度、练习密度等的把握，尤其是在复习过程中如何围绕培养空间想象素养追求纲举目张、以一当十，心中无数.本节课试图在复习教学活动中有所体现、有所尝试、有所突破．《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出：直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形理解和解决数学问题的素养．本节课是高三一轮立体几何复习课，它承担着学生直观想象能力的培养，尤其是空间想象能力的培养的作用，这是其他模块无法替代的．在复习教学过程中，笔者有以下感悟：

(1)在“画图”中发展学生的数学抽象素养

几何离不开图形，图形是对空间物体的抽象，是研究空间事物的位置关系、形态变化与运动规律的载体．生活中平面几何图形的模型处处都有，一张纸、一块黑板……学生可以通过直尺、圆规真实地画出来，但立体几何图形是三维的，画好直观图为研究事物的形态和变化规律提供了工具，可使空间想象素养的培养落在实处，因此画图是立体几何教学中学生必须掌握的基本功.而画图能力恰是学生的一个薄弱环节，为了提高学生的画图能力，在本节课的教学中，所有的例习题均不配图，这就倒逼学生要画出符合题意的图形；其次，笔者通过画图示范，引导学生作出准确而富有立体感的直观图，体会从实际事物、模型到直观图形的抽象，获得画图的感性认识和操作方法；最后，通过信息技术辅助教学，借助GGB软件，让学生进一步感受画图的过程，直观感知几何体的外接球，从而发展学生的直观想象素养．

(2)在“想图”中发展学生的直观想象素养

借助实物或几何模型，对实物的空间形式进行观察、分析、概括，是对实际事物的一种抽象.反过来，对空间图形的点、线、面的位置关系与变化规律进行分析，想象实际模型或事物，是以图想物，这是一种空间直观想象，这样才能形成空间立体图形的想象思维．例如在确定长方体、直棱柱、正四面体等的球心时，就可以通过“想图”来猜想判断球心的位置：发挥想象力，想清楚长方体、球各部分之间的关系，在大脑中“想”出空间图形，再将空间图形一层层剥离，变成一个个基本的点、线、面，让学生在“想图”中发展空间想象能力．

(3)在“识图”中发展学生的直观想象素养

图形是从实物和模型第一次抽象后的产物，也是形象、直观的语言；文字是对图形的描述、解释与讨论；符号则是对文字语言的简化和再抽象．从文字符号语言到空间立体图形是一个“无中生有”的过程，是培养学生进一步形成直观想象能力的过程.在此基础上，深入研究图形中的位置关系与数量关系以及变化规律，加深对图形本质的理解，可以螺旋式提升直观想象水平．因此本节课在画出图形(或题目给了图形)后，教者就力图引导学生认真分析图形结构、分析图形中的位置特征及数量关系，力求以形想数、以数驭形，必要时把一些平面图形从立体图形中分离出来，既能凸显图形的本质特征，又能让学生掌握立体图形的变形技能，提高“识图”能力．

(4)在“用图”中发展学生的直观想象素养

空间直观图形是培养直观想象素养的载体，画图有助于理解题意，想图能够更快捷地发现解题思路，识图则能高屋建瓴把握全局．在高三立体几何复习中，用好各种立体图形尤为重要，本节课中涉及的空间几何体中，长方体、三棱锥、球是基本图形，它们类似于平面几何中的直角三角形、圆．而长方体又是最基本的图形，它在生活中随处可见，学生所在的教室则提供了离学生最近的实例，所以我们要用好基本图形.本节课就是从长方体出发，沿着两个方向变化：一是由长方体到正方体、直棱柱，再到圆柱；另一个方向是由长方体到棱锥，再到圆锥，再回到长方体中.这样就实现了空间几何体中基本模型的覆盖，也将解决空间几何体外接球的策略方法实现了统一．