基于多元表征理论的函数单调性教学设计*

贺锌波 刘成龙 (内江师范学院数学与信息科学学院 641100)

函数单调性是高中数学的核心概念，它涉及函数、任意、自变量的值、定义域、增函数、减函数、单调递增区间、单调递减区间、单调区间等多个子概念.[1]函数单调性定义具有较强的抽象性，如果教学中只采取单一的表征形式，学生难以对其定义有深刻的理解.多元表征理论强调不同表征的相互渗透与互补，进而促进学生深度理解.因此，本文运用多元表征理论对高中数学函数单调性(人教A版高中数学必修1第1章第3节)进行教学设计，旨在让学生对函数单调性概念的理解更加深刻.

1 多元表征理论与数学概念教学

表征指知识在个体心理的反映和存在方式.表征是信息记载或表达的方式，是能够清楚表达某些实体或某类信息的形式化系统，以及说明系统如何行使其职能的若干规则.因此，表征可理解为指代某事物的符号或信号.[2]在数学概念教学中，概念的“心理表征”获得了高度关注，使得概念教学注重由“单一表征理论”向“多元表征理论”转变.多元表征理论突出强调数学概念的心理表征包含多个不同方面或成分，而这些成分对于深度理解数学概念具有重要作用.[3]然而，在数学学习活动中，部分学生不善于在数学概念的不同心理表征间作出选择与转换，从而不能准确建立起顺利完成学习任务所需要的心理表征成分.

多元表征理论强调概念表征在不同方面的渗透与互补.在实际教学中教师应当善于帮助学生根据情境与需要在数学概念心理表征的不同成分间作出灵活的转移.[3]因此，如何利用各种外部表征帮助学生真正理解数学概念本质成为了教师首要思考的问题.美国学者莱什等指出：数学概念的发展是现实情境、口头语言、实物操作(模型)、图象、文字符号等彼此交互的过程(图1)，它们彼此相互联系，促进数学概念的形成、发展和完善.[4]同时，莱什认为学生必须具备以下条件才能真正做到对数学概念的理解：第一，能够将此概念置于不同的表征系统中；第二，在给定表征系统内能够富有弹性地处理这个概念；第三，能将此概念在不同的表征系统间进行灵活的转换.

图1

数学概念的教学中，教师应当帮助学生在数学概念心理表征的不同成分间作出转换，如通过情境表征、语言表征、操作表征、图形表征、符号表征的相互渗透使学生在表征的不同成分间建立联系，促进表征系统间的转换.五种表征方式相互促进、彼此交融，共同推动着数学概念的发生、发展，促进学生良好认知结构的建构.同时，情境交流、口语表达、实际操作、图象感知、符号刻画等外部表征活动有利于学生建立一个多样的、富有个性特征的表征系统.因此，多元表征理论能够提供互补性的信息，能全面反映数学学习对象，有利于学习者把握数学对象的本质属性，减轻学习者的认知负荷，更好地内化数学学习对象，实现数学概念的有效建构.

2 基于多元表征理论的函数单调性教学设计

教材分析 函数单调性包括函数单调性的定义、判断及证明.初中借助一次函数、二次函数、反比例函数图象对函数增减性进行了学习，本节正是函数增减性的延伸.单调性是函数概念的延续，它为学习其他初等函数打下基础，为研究函数值域、定义域、解不等式、函数零点的判定等提供了工具.同时，本节中所蕴含的数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想等贯穿了整个高中数学教学.

学情分析 经过初中阶段的学习，学生对函数单调性已经具备了形上的直观认识和定性描述，但是缺乏对函数单调性的定量刻画.因此，本节最大的难点是用数学符号刻画上升下降的变化规律.同时，在概念建构过程中要经历从直观到抽象、从有限到无限的思维跨越，而高一学生逻辑思维水平相对较低，抽象概括能力相对较弱，这些方面构成了学生的思维障碍.

3 教学过程

基于多元表征理论，将函数单调性教学设计为五个阶段，基本流程是：生活情境—动手操作—直观感知—概念初步形成—获得“描述性定义”—升华为“形式化定义”.具体来讲，教师将生活情境数学化，学生通过作图说变化规律、初步感知函数单调性，再在教师的启发下得出函数单调性的描述性定义，最终师生合作得出形式化定义.下文对各阶段作具体说明．

3.1 创设情境激发兴趣

教师活动 展示雨后彩虹的图片(图2).

图2

问题1一次函数、二次函数和反比例函数中,哪一类函数可以用来近似描述彩虹变化规律？请写出一个具体函数.

师生活动 学生选用二次函数描述，教师对学生选的具体函数做出评价，并指出为研究的方便统一选取y=-x2图象近似地描述彩虹图象.

设计意图创设学生熟悉的问题情境，进行恰当的情境表征，快速激活学生已有的认知系统，便于学生主动建构新的数学认知结构.

3.2 直观感知 生成概念

学生活动 画出f(x)=-x2的图象.

表1

图3

问题2能说说f(x)=-x2图象的变化趋势吗？

学生活动 学生总结：图象f(x)=-x2在y轴左侧呈上升趋势，在y轴右侧呈下降趋势.

问题3能用初中所学函数的增减性描述f(x)=-x2图象上升、下降的趋势吗？

学生活动 学生描述：在(-∞,0)上，函数值y随x的增大而增大；在(0,+∞)上，函数值y随x的增大而减小.

教师活动 教师指出：从新的视角研究函数的这种变化规律——单调性.具体来讲，在区间(-∞,0)上函数值y随x的增大而增大，称f(x)=-x2在(-∞,0)上单调递增，即f(x)=-x2在(-∞,0)上是增函数；在区间(0,+∞)上函数值y随x的增大而减小，称f(x)=-x2在(0,+∞)上单调递减，即f(x)=-x2在(0,+∞)上是减函数.

问题4在f(x)=-x2增减性的定义中，哪些信息很重要？

学生活动 在讨论中明确增减性与区间、函数值、自变量之间的变化规律有关系.

问题5类似地，你能给出一般函数单调性的定义吗？

学生活动 类比f(x)=-x2单调性，给出函数单调性的粗糙定义：在区间D1上函数值f(x)随着x的增大而增大，则称f(x)在D1上是增函数；在区间D2上函数值f(x)随着x的增大而减小，则称f(x)在区间D2上是减函数.

设计意图学生动手画函数图象，通过操作感受图象的上升、下降趋势(操作表征)；对函数图象上升或下降进行描述，得出函数单调性的粗糙定义(图形表征和语言表征).由此，提供教学内容的图形所代表的视觉化信息的同时，也说明了有关该教学内容的文本等言语化信息，通过动手操作和语言表述培养学生的动手操作和语言表达能力.

3.3 合作探究 深化概念

问题6从量的角度怎么刻画“f(x)随x的增大而增大(或减小)？”

师生活动 共同得出：x的增大可以用x1f(x2)刻画.

问题7在D内取x1,x2，若x1

师生活动 通过反例，学生认识到取一组、多组满足x1

问题8在选取x1,x2时，应满足什么条件才能说明f(x)在D内是增函数？

学生活动 得出x1,x2必须代表区间D上的所有数.

问题9怎样才能让x1,x2代表D内所有数呢？

学生活动 得出要使得x1,x2能代表D内所有数，x1,x2必须是D内任意数.

问题10从量的角度怎么刻画“在区间D上f(x)随x的增大而增大(或减小)”？

师生活动 任意x1，x2∈D，若当x1f(x2)).

问题11能给出函数单调性的精细化定义吗？

师生活动 师生共同概括出增函数的“形式化定义”：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1

图4 图5

学生活动 类比增函数定义，写出减函数的定义.

设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)，则函数f(x)在区间D上是减函数(图5).[5]

设计意图由粗略的“描述性定义”到精确的“形式化定义”的思维是认知转化的关键，过程中设置了文字表征、符号表征和图形表征，目的是激发学习动机，引发积极思考，帮助学生真正理解、内化函数单调性概念.

3.4 运用新知 巩固概念

例1图6是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数y=f(x)的单调区间，以及函数y=f(x)的增减性.[5]

图6

设计意图借助语言表征，通过图形直接判断单调性，巩固概念，加深理解.

设计意图回归单调性定义，利用定义得出证明函数单调性的操作程序：取值→作差→变形→定号→结论，进一步从操作层面表征定义.

3.5 回顾反思 总结提炼

问题12你认为理解函数单调性概念应注意什么？

学生活动 在经历概念形成及应用过程后，学生对函数单调性概念进一步认识：(1)单调性是一个局部概念；(2)x1，x2应取选定区间的任意值.

设计意图通过语言表征，让学生再次理解函数单调性概念.

问题13从数学符号的角度，你能给出函数增减性的等价形式吗？

师生活动 师生共建增函数的概念域：

函数f(x)在[a,b]上为增函数

⟺∀x1，x2∈[a,b]，且x1

⟺∀x1，x2∈[a,b]，且x1≠x2，有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0；

学生活动 类比增函数的概念域，给出减函数的概念域.

设计意图通过不同形式的符号表征，在学生的头脑中形成命题网络和表象，生成函数单调性的概念域.

问题14在函数单调性学习中涉及哪些数学思想方法？

师生活动 共同梳理单调性概念学习中涉及的数学思想方法.

设计意图数学思想是对数学内容和方法的本质认识，是对数学内容和方法的进一步抽象和概括.[6]引导学生梳理单调性学习中涉及的数形结合、分类讨论、函数与方程、化归与转化等思想方法，认识数学思想方法在问题解决中的引领性作用.

4 教学设计反思

基于对数学概念的深度理解，在多元表征理论指导下设计了函数单调性的概念教学.教学过程重视学生的行为参与、情感参与、认知参与，注重概念孕育、形成、发展和完善的整个过程.同时，根据情境与需要设计了多种表征形式(图7)，有利于学生在数学概念心理表征的不同成分间作出灵活的转换，从而提高学生的问题表征能力和表征转换能力，实现对数学概念的深度理解.心理学研究表明，学生对概念的理解具有层次性，概念表征的方式具有多样性.本文在多元表征理论指导下，概念教学充分关注了学生的认知发展水平，紧扣“理解数学，理解学生，理解教学，理解技术”的教学设计主线，实现教学效果最优化.

5 结束语

数学概念是反映现实世界空间形式和数量关系本质属性的思维形式.[7]李邦河院士指出：数学根本上是玩概念.因此，加强数学概念教学是提高数学教学质量的一个重要环节.[7]然而在数学概念的教学中，部分教师重结果、轻过程，这不利于数学思维的培养和思想方法的内化.多元表征理论视角下的数学教学十分注重数学概念的建构过程，这无疑为学生深度理解数学概念提供了保障.