谈图形运动产生的图象问题

黄思佳 (江苏省苏州工业园区星海实验中学 215021)

图形在运动过程中会有很多变量，取两个相关联的变量就会产生函数，进而可以生成函数图象．有一类图形运动产生的图象问题，已成为近几年中考的热点问题．很多学生认为这类问题较难，是因为没有搞清楚图形与图象的关联，“形”与“象”分离来看，自然难以解决．如果搞清楚这类问题的解题思路技巧，其实是较容易解决的．

这节课主要让学生对问题的产生、发展和解决有一些初步的认识．

1 问题产生

如图1，四边形ABCD是边长为30 cm的正方形，等腰直角△EFG的直角边长为20 cm，边FG与BC在同一条直线上，点G与点B重合，△EFG沿BC方向向右移动，速度是2 cm/s，时间为t，点F与点C重合时运动停止，S表示三角形与正方形重叠面积，求S与t的函数关系式，并画出函数图象．

图1

图2 图3 图4

图5

设计意图用这样一个问题引入，让学生感受图形运动，经历运动过程中两个变量之间函数关系的建立、函数图象的绘制，体会图形运动产生函数图象的关联性，理解图象的信息与图形的条件密切相关．因此，在接下来解决由图象信息探索图形运动过程的问题中，要将图形与图象对照、联系起来观察．

2 问题发展与探究

2.1 动点产生一次函数图象

问题1如图6，在矩形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度沿A-B-C-D-A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PAB面积为y，y与x的函数图象如图7所示．

图6 图7

(1)矩形ABCD的面积为；

(2)a=，b=，n=；

(3)求x为何值时，△PAB的面积等于12？

思路分析 先整体感受图形运动，定性分析，将图形上点的运动过程与图象上的分段函数一一对应．动点在图形上运动路线发生转折时，函数图象也会随之发生转折，因此，定量研究解决问题时，需抓住图象的“拐点”，画出对应的图形，从而化动为静，将问题转化为一般的图形问题，利用拐点的信息即可求解．

图象中点E坐标(6,0)，对应图形中为点P运动至点B，由此可得AB=6.图象中点F横坐标18，对应图形中点P运动至点C，因此BC=12，进而可得a,b,n的值．

从图象来看，图象的函数解析式就是△PAB的面积与x的关系，求出EF的解析式y=3x-18和GH的解析式y=-3x+108，将y=12代入，即可求得x=10或32．

设计意图通过问题1，让学生体会解决这类问题的一般方法，明白图形和图象密不可分，认识到“拐点”的重要性和画图的必要性．

问题2如图8，A,D分别在x轴和y轴上，CD∥x轴，BC∥y轴．点P从D点出发，以1 cm/s的速度沿五边形OABCD的边匀速运动一周．记顺次连结P,O,D三点所围成图形的面积为Scm2，点P运动的时间为ts．已知S与t之间的函数关系如图9中折线段OEFGHI所示．

图8 图9

思路分析 与问题1进行比较，点P都是沿多边形的边运动一周，函数图象都是三角形面积与运动路程的关系，都是线性关系．两个图象极其相似，有一点区别在于动点P在五边形上运动比在矩形上运动多了一次转折，因此函数图象多了一个“拐点”．

此题作为开放题，让学生提出问题并解决．有学生提出可以利用图象上“拐点”的信息求出五边形的各边长．

图10

还有学生提出和面积有关的问题，如求五边形的面积、求△POD面积的最大值、模仿问题1提出“t为何值时，△POD的面积为8”.此题利用图象解析式求解更为简洁．

设计意图通过问题2，让学生学会观察比较，更加深刻理解图形运动与函数图象的关系，充分利用图象中“拐点”信息求出未知．

2.2 动点产生二次函数图象

问题3如图11，菱形ABCD中，∠A=60°，点P从A点出发，以2 cm/s的速度沿边AB,BC,CD匀速运动到D终止，点Q从A与点P同时出发，沿边AD匀速运动到D终止，设点P运动的时间为t(s)．△APQ的面积S(cm2)与t(s)之间函数关系的图象由图12中的曲线段OE与线段EF，FG给出．

图11 图12

(1)AB=，点Q运动的速度为；

(2) 求图12中线段FG的函数关系式；

图13

设计意图问题1和问题2的运动过程中，三角形的底是定值，高与自变量成一次函数关系，因此产生的函数图象都是一次函数；问题3中出现了底、高与自变量都是一次函数关系，则三角形面积与自变量为二次函数关系，因此图象中有一段为抛物线.让学生了解函数图象形式多种多样，它由运动中变量的关系式决定．

2.3 动点产生反比例函数图象

问题4(1)如图14，在矩形ABCD中，动点P从B点出发，沿B-C-D方向运动到点D处停止．设BP长度为xcm，点A到直线BP的距离为ycm，y与x的函数图象如图15所示．

图14 图15

问：m=，n=．

思路分析 图形上点P由B运动到点C的过程中，点A到BP的距离始终为线段AB的长，所以AB=n，由图象上点E对应图形上点P运动到点C处，因此BC=8 cm．点F对应图形上点P运动到终点D处，因此BD=10 cm，从而由勾股定理得n=6，m的值为点A到BD的距离AQ，如图16．由等积法或相似可求得AQ=4.8 cm，即m=4.8，其实AB,AD,BD,AQ四条线段任意知道两条，另外两条即可求．

图16 图17

另外，此题需引导学生说明图象上EF段为何是反比例曲线，这样学生对图形运动产生的图象认识才更加深刻．求EF段解析式，如图17．

图18 图19

思路分析 ①图象上点E对应图形上点P运动到点D处，所以半径OD=2 cm，n=tan 45°=1，点F对应点P运动到点A处，因此m=2+π．

图20

设计意图如果选择的两个关联变量在运动过程中满足乘积不变，图象中就会出现反比例曲线.让学生进一步理解图象是由运动产生的，运动产生了函数，函数决定了图象；了解问题的产生和发展，掌握问题的解决策略，锻炼学生的读图能力、分析问题能力、提取信息的能力．

3 教学启示

以函数图象为背景的动态几何问题是对学生综合能力的考查．教学时，要注重问题的生成、发展和延伸，让学生经历问题的产生、体会运动的过程、培养分析的能力、掌握解题的思路方法，感受化动为静、数形结合、分类讨论等数学思想．在解决具体问题时，要培养学生画图的习惯，以这种专题探究的形式锻炼思维，提高能力，培养学生的数学素养．