基于类比的延伸——“空间向量的坐标表示”教学实录与反思*

徐德均 (江苏省南通中学 226001)

1 基本情况

1.1 授课对象

学生来自江苏省四星级普通高中理科班，数学素养的基础较好，有一定的自学能力、推理能力及运算能力．

1.2 教材分析

所用教材为《普通高中课程标准实验教科书·数学(选修2-1)》(苏教版)．“空间向量的坐标表示”为第3章“空间向量与立体几何”第1节第4课的内容，它是将平面向量的有关概念与运算类比延伸到空间，定义空间向量及其线性运算、共面向量定理与空间向量基本定理后的一节知识内容，是后续学习空间向量的数量积与空间线面关系的判定、空间的角的计算等空间向量的知识基础与基本方法，是本章教与学的重点和难点，也是本章的主干知识点．

教学过程中回顾由平面向量基本定理生成空间向量基本定理的过程与方法，体会类比的思想方法在空间向量中的应用；引导学生适时延伸得到空间向量的坐标表示与运算法则；通过空间向量的线性表示与运算，理解空间坐标运算法则及其运用；通过一题多变，融合共线、共面向量等有关知识的综合训练，为运用向量作为工具求解有关几何问题打好基础，发展推理能力和运算能力．

教学目标 (1)经历用类比延伸出空间向量的坐标表示与运算法则的过程，体验数学在结构上的和谐性，感受数学发现和创造的快乐；(2)体会空间向量是在平面向量的基础上的螺旋升格，注意由“二维”类比延伸到“三维”的维数增加带来的影响；(3)能通过坐标运算发现向量的线性表示，判断向量共线、共面，从而确定交点位置等，理解向量的工具性作用；(4)能用空间向量的坐标表示进行简单向量式的化简、求值以及多边形的形状的判断，养成积极自主思考、主动探索的习惯．

教学重点 引导学生类比延伸空间向量的坐标表示及其应用．

教学难点 创设情境引导学生以向量为工具求解几何问题．

2 教学过程

2.1 创设情境，类比探究

师：同学们好！还记得上节课我们学会了什么吗？又是如何研究的？

生1：空间向量基本定理及其应用，是通过类比延伸平面向量基本定理得到的，并用向量加法法则验证，然后应用它证明向量共面等问题．

师：回答得很好！(屏幕显示图1)

图1

师：我们知道，在平面直角坐标系中，可用坐标表示平面向量，同时可以通过坐标来进行平面向量的运算与运用．同学想一想，现在能否将平面直角坐标系中的坐标表示向量类比延伸到空间呢？(回答是肯定)这就是我们今天所要研究学习的内容：空间向量的坐标表示．(板书课题)

2.2 类比法则，升维验证

师：请同学们小组讨论并汇报，如何将平面直角坐标系中向量的坐标表示类比延伸到空间？

生2：仍然采用类比延伸的思想与方法．在空间坐标系O-xyz中，分别取与x轴、y轴、z轴正方向相同的单位向量i,j,k作为基向量.对于任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组(x,y,z)，使a=xi+yj+zk．有序实数组(x,y,z)叫做向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作a=(x,y,z)．

(在学生汇报的同时，教师在黑板上板书、作图，补充并标注，如图2所示)

图2

师：无论在平面直角坐标系上还是在空间直角坐标系内，当向量a的起点移至坐标原点O时，其终点的坐标就是向量a的坐标．空间向量坐标就是在平面向量坐标上增加了“竖坐标”，从维度表示上来讲就是增加一个维度表示，即从二维表示延伸为三维表示．

现在我们已经用坐标表示了空间向量，以下该如何研究？怎么研究？

生3：研究空间向量坐标线性运算法则，还是用上节课的学习方法，类比、延伸、验证与应用．(教师在黑板上有目的地板书，得到空间向量坐标运算法则，整理如图3所示)

图3

师：回答得很好！上面类比延伸的运算法则一定正确吗？请举例验证说明．

生4：a+b=(x1i+y1j+z1k)+(x2i+y2j+z2k)=(x1+x2)i+(y1+y2)j+(z1+z2)k=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)．

2.3 利用法则，线性运算

师：刚刚我们学习了空间向量的坐标表示及其运算法则，下面请同学们完成以下例题：

例1已知a=(1,-4,8),b=(3,10,-4)，求a+b,a-b,3a-2b．(学生运算，引导作答)

生5：根据运算法则直接求解(过程略).

师：很好！将此题变为“已知a+b=(1,-4,8)，a-b=(3,10,-4)，求3a-2b”．怎么求？

生6：可以先将a+b=(1,-4,8)，a-b=(3,10,-4)中的a,b看作未知量，类似解方程组求a,b的坐标，再代入求3a-2b的坐标．解答如下：

法1：由a+b=(1,-4,8)，a-b=(3,10,-4)，得2a=(a+b)+(a-b)=(4,6,4),2b=(a+b)-(a-b)=(-2,-14,12)，所以a=(2,3,2),b=(-1,-7,6)，故3a-2b=3×(2,3,2)-2×(-1,-7,6)=(8,23,-6)．

师：很好！法1的思路是发现3a-2b是a,b的线性表示，故而只要求得a,b的坐标就可以了．

生7：可从整体角度来看，将3a-2b用已知a+b,a-b线性表示，只需将a+b,a-b的坐标整体代入，便可求解．(请生7自主求解，汇报解答)

师：很好！法1是方程思想的运用，而法2则是整体思想的体现，两种解法都是通过已知向量的线性表示，再利用坐标法则运算达成．(两种解法在同一屏幕上展示)

2.4 一题多变，提高实效

师：同学们能从例2的图形与所求向量的坐标，找出图4中一些向量之间的等量关系吗？它又说明了什么？

图4

师：回答得很好！这样若将例2变为

变题1 已知空间四点A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10)和D(8,4,9)，求证：四边形ABCD是梯形．

如果将变题1的结论作为条件的一部分，且点C和D的部分坐标待定，变式1可变为

变题2 已知空间四点A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,n,10)和D(8,4,m)，又四边形ABCD是梯形，且AB∥DC，求实数m,n的值．

师：变题2的求解过程根据四边形ABCD是梯形这一几何图形特征，以及向量共线定理求得实数m,n的值，这是一个由“形”化“数”的过程．再看变题1中四边形ABCD是平面四边形，其对角线相交，那么又如何求对角线交点的坐标呢？

变题3 已知空间四点A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10)和D(8,4,9)，求四边形ABCD对角线AC,BD交点P的坐标．

师：变题3的求解过程是根据平面四边形ABCD是梯形且点P在对角线AC上，由向量的共线定理求点P的坐标．显然，这是结合图形的特殊性质来求解，属于特殊方法，因而不是求平面四边形对角线交点坐标的一般方法．那么如何求平面四边形对角线交点坐标呢？

变题4 已知空间四点A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10)和D(10,7,11)，试判断四边形ABCD是否是平面四边形．若是，求四边形ABCD对角线AC,BD交点P的坐标．

生13(合作讨论后回答)：先证明四边形ABCD是平面四边形，再根据A,P,C三点共线与B,P,D三点共线，求交点P的坐标．求解如下：

2.5 全课提炼，布置作业(略)

3 回顾与反思

3.1 教学设计的立意

“明线”是将平面向量的坐标表示、运算法则及其运用直接类比到空间，从“二维平面”的内容延伸到“三维空间”；“暗线”是继续采用前一节学习“空间向量基本定理”的思想方法，先将平面的知识拓展到空间，再将空间向量的新知识当作工具应用．

充分体现向量的工具性作用．一方面，要将所得到的向量的知识作为工具，应用到新问题情境中，作为发现新问题的途径、提出新问题的手段、解决新问题的方法；另一方面，坐标是向量的一种表示形式，它借助于坐标系表示向量的“代数”与“几何”两种属性，便于向量的运算与应用，其实，坐标本身就是研究向量的基本工具．

3.2 教学反思

向量是高中数学教学过程中的主要概念之一，它在高中数学课程中的三角函数、平面向量、空间向量等不同的模块中多次呈现，是现行课程所倡导的“螺旋式提升”的整体教学思想的体现．

(1)教学关注要具有“螺旋式”拔节的观点

高中阶段的向量需要关注的是：从有向线段的向量的初步感知，到平面向量知识的内涵，再到空间向量的引导学生类比延伸、自主探索，得出相应的性质和法则，最后是通过向量法的应用，学生养成学会学习的思维方式与行为习惯等逐步“螺旋式”拔节提升．

(2)教学内容里要具备“螺旋式”生成的意识

向量在不同模块中，其内容是从基本概念到规范定义，再从规范定义到知识推导，最后进行知识内容、方法运用等，不同模块中教学内容在逐渐增加，在“螺旋式”逐渐生成．

空间向量的坐标表示是从二维的平面向量的坐标表示类比延伸而来，从内容形式表示看，增加了一个维度即增加了“竖坐标”，从而增加了新的坐标运算与法则；从新知识的应用看，如例2的变题1、3、4，这些变式都要先进行多向量共面的证明，将空间问题转化为平面问题，换言之，就是由平面问题“螺旋式”生成了空间问题．

(3)教学目标里要明确“螺旋式”递增的方向

学习向量的目的是运用向量，是借助向量法求解一些几何问题．教材的编排目标从简单了解到能用，再到学会、体会与灵活运用，具有明确的“螺旋式”递增的目标导向．

空间向量的坐标表示的目的应该不是简单地借助空间坐标系，用坐标表示空间向量，再推到坐标运算法则及其应用，而是应该具有更高目的，是借助坐标表示，利用向量法解决一些数学问题，如例2的变式3等．

(4)教学要求中要呈现“螺旋式”提高的过程

课标中向量的教学要求是从了解到理解、能用，再到理解、掌握、能用，在不同阶段呈现的是逐步“螺旋式”提高的过程．

向量法是数学知识应用的数学思想方法之一，它是从单纯的图形或代数特征求解，拓展延伸到数形结合求解的主要数学方法．向量法含直接利用有向线段、向量基本知识求解的简单过程，也含有用向量的知识求解复杂问题的综合过程．它既有平面中单纯的向量简单运算运用，也包含判断空间点、线、面的位置关系，求空间距离和空间角等综合应用．这些应用呈现的是由简单到综合的“螺旋式”提高的过程．

虽然本节课从教学过程与效果看比较成功，但不足之处比较多．首先，由于各种原因，班级几十个学生在数学学习方面客观上总是存在差异，有少部分学生的思维处于“无为”状态，以后教学中要在因人而异、分层指导等方面多想些办法与措施；其次，课堂练习训练时，由于教学时间有限，课堂上学生的选择性、自主训练不够；再次，虽然教学中数学思想有所体现，但数学文化、数学史的教育等体现很少，今后教学中要有所改善．