素养导向下的高考应用题分析研究及教学建议

蔡 欣 (江苏省南京市教师培训中心 210002)

文[1]指出，高考正在实现由能力立意向素养导向的历史性转变，所谓素养导向下的高考命题，更注重科学思维的考查，更注重科学探究能力的考查，更注重情境化试题的考查．这些考查无疑都是指向数学核心素养的，更强调分析和解决实际问题的关键能力，更凸显数学的应用意识[2]，而考查核心素养和关键能力的较好载体就是应用题．环顾高考数学全国卷和其他省市试卷，大多数应用题都以概率统计知识为背景，而江苏这么多年来都是基于三角、函数(导数)、不等式、数列、立体几何等知识为背景命制应用题，这无疑是江苏卷的一大特色．本文以2019年江苏卷应用题为例，结合2020年新高考I卷应用性试题，分析研究核心素养导向下的高考应用题，并试图给出一些教学策略和建议，以期与同行探讨．

试题如图1，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA．规划要求:线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB=10，AC=6，BD=12(单位:百米)．

(1)若道路P1B与桥AB垂直，求道路P1B的长；

(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；

(3)在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米)，求当d最小时，P，Q两点间的距离．

1 特点分析

本题是一个典型的真实情境化问题，问题背景涉及路桥问题，切合生产实际，贴近学生生活，与苏教版《数学5》(必修)第14页例2有异曲同工之妙，故可认为是教材的改编题，可谓源自教材，背景公平．本题给出配图，图形帮助学生快速读懂题意[3]，但没有给数学模型，属于有图无“模”型.

2 策略研究

图2是应用性问题的一般操作流程，可以看到，这是从实际问题原型到数学模型再回到实际问题原型的认识过程，它的核心环节是数学建模．

图2

2.1 研读题目

要特别注意本题中“所有点”“不小于”“当d最小时”等关键信息．

2.2 数学建模

对实际问题进行数学抽象，并用数学语言予以表征，构建数学模型(如函数、方程、不等式模型)，确定参数，运算求解，对计算结果进行检验，必要时还需改进优化数学模型并再次求解检验，直至解决问题．可以看到，数学建模至少包括三部分——将实际问题抽象为数学问题，确定参数构建数学模型，数学运算求解数学模型．

·数学抽象

数学抽象搭建了数学与外部世界的桥梁，它是数学核心素养之一.这一过程中，需要剥去题中无关解题的背景和表象，保留对象中的数量关系和空间形式.本题的数学表述如下：

如图3，已知AB是圆O的直径，点A，B到圆O外直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，其中AB=10，AC=6，BD=12，P，Q两点在直线l上，且PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．

图3

(1)若P1B⊥AB，求P1B；

(2)P和Q中能否有一个点落在D处？并说明理由；

(3)若PB=QA=d，当d取最小值时，求P，Q两点间的距离．

·建构模型

问题的解决关键在于构建适切的数学模型．本题中，对“线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径”这一关键语句的刻画显得尤为重要．

一种直白的刻画:对点P而言，若线段PB上任意一点P′，都有P′O≥r，则点P满足规划要求.这是用关于距离的不等式模型刻画点P．在这样的数学模型下，很难确定满足条件的点P所在的区域，后续的工作也就更困难．

另一种刻画：通过作图观察分析，发现当∠OBP<90°时，点P不满足规划要求，只有当∠OBP≥90°时，点P满足规划要求.这是用关于角度的不等式模型刻画点P．在这种数学模型下，不难确定直线l上满足条件的动点P只能在点P1的左侧(含点P1)，满足条件的点Q只能在点Q1的右侧(含点Q1)(其中Q1A⊥AB).因此，问题(2)转化为：分别判断∠OBD和∠OAD与90°的大小关系．问题(3)转化为：点P在P1的左侧运动，点Q在点Q1的右侧运动，且PB=QA=d，当d最小时，求P，Q两点间的距离．

从高考阅卷情况来看，此题得分不高的很大部分原因是数学模型选择得不合适.由此可见，构建合理、适切、优化的数学模型是至关重要的.当然，要做到选择适切，必然要对数学模型进行分析、比较、评估和调整，这恰恰意味着选择能力的重要性．

·求解模型

此题入口较宽，关于问题(1)，可以选择用平面几何法、三角函数法或者解析几何法.关于问题(2)，实质就是分别判断∠ABP和∠BAD与90°的大小关系，可以用余弦定理，也可以用向量数量积来处理.关于问题(3)，要说明d的最小值，不能仅仅是静态几何图形下的计算，而应着眼于其中的“变化”，即构建关于PB的目标函数模型，确定自变量的取值范围，然后求该函数的最小值.选择刻画动点P的参数，既可以是线段长度也可以是角度．限于篇幅，以下仅给出部分略解．

问题(2)中点Q能否落在点D处？

两种方法都能得到∠BAD为锐角，故点Q不能落在点D处．

3 思考

本题就知识目标而言，考查了三角函数的应用、解方程、余弦定理、向量数量积、直线与圆等基础知识；就能力目标而言，考查了独立探究、数学阅读和表达、分析和解决实际问题等关键能力；就素养目标而言，考查了数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养；因需要“创造”新的数学对象，故又考查了学生的创新意识、应用意识和实践能力．另外，前几年江苏卷的应用题都统一设定参数，这种函数模型的构建实质上就是“静态”地建立数学关系式，一定程度上降低了数学建模的“含金量”，而本题的参数不止一种选择，给了学生更多的选择空间．

高考数学江苏卷试题从能力立意到素养导向的转变有以下突出表现：其一，考查情境从学科知识化到真实情境化；其二，考查目标从常规性问题到探究性要求，如本题中第(2)问是方案的可行性判断，或者说是探究性说明，而不是求解论证；其三，试题要素从单一到多元，如本题是两个动点，因素就复杂了，也给学生心理造成一定的陌生感和畏惧感.

4 教学建议

2021年将有江苏、辽宁等8个省份进行新高考，数学高考都将使用全国卷.2020年高考第一次出现的全国新高考卷，无疑具有“先行一步”的示范引领意义，研究全国新高考卷，也就有重要而积极的意义．以新高考I卷为例，该卷应用性试题选择当前重大公共卫生问题、环境保护、劳动、体育、古代科学等现实生活情境、科学情境，具体见表1.

表1 2020年新高考I卷应用性试题分析

一定意义下，这些题目属于传统意义下的应用题，要解决以上问题，就要将非数学情境的问题抽象为数学问题，再用数学知识去解决.解题过程充满着抽象、判断、选择、评估、优化等一系列过程，

着力考查了数学抽象、数学建模、数学推理、数据分析等核心素养，更为重要的是，考生在解决过程中，受到德、智、体、美、劳的全面教育．可以看到，应用题考查的力度加大了，这是新高考改革的重要趋势.基于以上分析，就应用题教学给出如下建议．

4.1 关注新情境题，注重背景研究

为更好地区分和选拔人才，新高考更追求实践性，会用好的情境来考查．教学中，要经常给学生一些新颖的、紧扣时代气息的问题情境；要更多关注数学与自然科学、人文社科等其他领域的融合，注重数学与社会的紧密联系；要充分利用教材上的一些背景编拟一些应用问题，像苏教版上“阅读材料”“探究拓展”“链接”等栏目，都是较好的背景资源；要注重引导学生将实际问题抽象概括为数学问题，引领学生以数学的视角观察世界，以数学的思维思考世界，以数学的语言表达世界．

4.2 加强审题教学，提高阅读能力

应用题阅读量(文字、图形、符号)的增加是高考的大势所趋，对学生的阅读能力提出了较高要求.而这一环节往往被很多学生所忽略，他们读题时一目十行，只了解大概题意就匆忙下笔，最后导致问题百出．教学中，要提升学生的审题意识，培养学生严谨品质；在审题、阅读环节加强指导与练习，提高学生的信息提取和加工能力，必要时要求学生逐字逐句阅读，边阅读边记录，如数据可以列成表格形式，一些重要关系直接标记出来．另外，要让学生特别注意加着重号的部分或括号内的信息，这样能迅速掌握有效信息，大大提高阅读效率．

4.3 突出学生主体，留足时间空间

教学中，要让学生自主观察、探究、分析、归纳、反思、整合，让学生学会思考，在解决问题中提高能力；要留足学生“自己整理订正”的时间，让学生再发现、再提出问题，把数学探究活动推向深入；帮助学生克服对应用题的心理障碍，增强解应用题的信心.高考数学会“多考想，少考算”，在思维层次上区分考生，教学更应突出思维能力的培养，发展学生的核心素养，培养学生的理性精神，进而促进人的发展[4].

4.4 加强模型教学，固化建模程序

一般有如下的数学建模程序：(1)阅读材料，分析、筛选、处理信息，并用图形或者表格的形式呈现出来，即弄懂题意并梳理出关键信息，这是第一关——文理关；(2)对实际问题进行数学抽象，并用数学语言进行表征，这是第二关——事理关；(3)构建合适的数学模型，这是关键一环，过程中需要找到关键变量，以恰当的量(如角度或者长度)去刻画这一关键变量，建立相关诸要素之间的关系(相等关系或者不等关系)，这是第三关——数理关；(4)对数学模型进行计算求解，这是第四关——算数关；(5)对计算结果进行回归检验，考查评估是否满足实际情况，若与实际相去甚远，还需改进优化数学模型并再次求解．