在推理中深度理解数学模型——“植树问题”教学纪实与反思

山东省临沂市兰山区教研室 臧晓梅

教学内容：人教版小学数学五年级上册第七单元“数学广角——植树问题”。

课前思考：教材通过对现实生活中植树问题的研究，引导学生发现棵数和间隔数的规律，进而抽象出这类植树问题的数学模型。在平时的教学中，我们常常看到，在对三种植树情况（两端都栽、只栽一端、两端不栽）进行分析，建立起棵数和间隔数的关系后教学就止步了。上课教师之所以这样处理，有一定的原因：从知识难易上看，植树问题的难度比较大，在编入教材之前属于经典的奥数知识，在一节课上能学完三种类型已经是大容量教学了；从承载的思想方法上看，化归、数形结合、一一对应、模型、推理等都是要体现的思想，不易做好有机整合。基于上述考虑，笔者重新进行了设计，力求体现对数学模型的有效建构，在具体的教学实践中也取得了很好的教学效果。

教学过程：

一、情境导入，初步感知三种类型

1.联系实际，理解间隔

师：（让前后两位学生起立）大家看，这两位同学之间产生了一个……

生：间隔、空。

师：我们一般说成一个间隔。

（师依次让学生说出这样站立的4 人、100 人分别有几个间隔。）

师：如果产生了这样的101 个间隔，你知道有多少名学生吗？

生：有102 名学生。

2.引出课题，感知三种植树方式的存在

师：这节课，我们要研究和间隔有关的问题，数学上称为植树问题。（师板书，出示下图。）

师：植树节到了，少先队员在公园内通往凉亭的小路一侧义务植树，小路全长45 米，每隔5 米栽一棵，由五年级三个班完成，按班级顺序每班各栽15 米，请你算一算每班各栽了多少棵？

【意图】借助“三个班级各栽了多少棵”这个大问题引出了在直线上植树的三种类型，让学生初步感知到解决植树问题的现实意义。和单一地呈现一种植树类型相比，这样更便于学生在后续的探究中进行分析、比较，让学生能从整体上理解把握。

二、主动探究，感悟模型

1.学生尝试解决

师：三个班各栽了多少棵呢？大家可以想一想、画一画。

（学生在线段图上用画点或画小树的方式表示出要栽的棵数，师选择有代表性的作品投影。）

师：你能看懂这些方法吗？

（学生对15 米处、30 米处栽的树归哪个班产生了争执，对45 米处栽不栽有疑问，师引导学生结合题意和图去理解，统一认识。）

2.命名三种植树类型

师：为了便于我们进一步研究，老师把三个班级的植树情况单独列了出来，请看屏幕。

师：请你观察，这三幅图有什么不同？

生：栽的棵树不同。

生：栽的方法不同。

师：那你能给它们起个名字吗？

（根据学生发言，师总结出两端都栽、只栽一端、两端不栽，并在图上显示出来。）

3.猜测棵数和间隔数关系

师：观察这三种植树方式，相同点在哪里？

生：间隔数都是3，每班都栽了15 米。

师：（指着图）3 个间隔 4 棵树，3 个间隔 3 棵树，3 个间隔2 棵树，看来，棵数和什么有关？

生：和间隔数有关。

师：在不同的植树类型下，棵数和间隔数又会有怎样的关系呢？我们进一步来研究。

【意图】学生对 15 米、30 米、45 米处的“争执”，是学生在初步感知后对三种植树类型的进一步理解。在学生统一认识后，教师又把三种类型分开呈现，让学生结合自己的理解给予命名，并引发学生进一步思考：为什么同样的15米，三个班栽的棵数却不一样呢？不同植树方式下棵数和间隔数又有怎样的关系呢？核心问题就此启动了起来，学生的探究由表面转向深入。

三、对比分析，建立模型

1.任选一种小组内研究

师：小组内任选一种类型解决，看看棵数和间隔数到底有怎样的关系。（出示合作要求：（1）任选一种类型，解决后也可以想想其他类型如何解决。（2）画出线段图并列出算式。）

2.汇报交流，深化理解

师：老师先调查一下，你选择了哪种植树情况来解决的？（研究两端都栽的有2 个小组，只栽一端的有9 个小组，两端不栽的有1 个小组。）

师：那就先请研究只栽一端的这个小组前来汇报。

生1：大家好，我们小组研究的是只栽一端的情况。先用15 米除以5 米得到3 个间隔，要栽3 棵，发现了间隔数等于棵数的关系，同学们有什么疑问吗？

生2：15 米除以5 米得到的是3 个间隔，怎么是3 棵树呢？

师：（汇报学生刚要解释，师示意先等等）这个问题问得好啊，明明是3 个间隔吗？怎么成了3 棵树呢？（全班学生思考后指名学生发言。）

师：（对着生1）他们的回答说出了你的意思了吗？还是你来说说吧！

生1：这里虽然是3 个间隔，从图上看也是3 棵数。（还有部分学生不明就理。）

师：给你个建议，如果你能在图上画一画、指一指大家就更明白了。

（生1 画出箭头，并说明了间隔数和棵数存在着一一对应的关系。）

师：大家明白了吗？根据一一对应，这里的单位“个”可以改成什么了？

（生 1 把“个”改成“棵”。）

【意图】为什么绝大多数小组都选择了只栽一端的方式？这并非意外，而是教师意料之中的事情。因为上课的班级是5 年级2 班，学生对自己班级的认同度比较高，才会做出这种选择。更重要的是，通过对这种植树方式的深度探究，积累了数学活动经验，为学生用这个发现由此及彼、推理出其他方式做了铺垫。

把3 个间隔改成3 棵树的过程是学生由表面理解深入到知识本质的过程。在部分学生对生1 的发言提出质疑后，教师制止了生1 的回答，这样就把问题抛给了全体学生，给了全体学生思考的机会。再引导学生结合“一一对应”的思想，生动地建立起3 个间隔和3 棵树的关系，有效地生成了数学知识。

四、沟通推理，深化模型

1.用只栽一端推理出其他类型

师：同学们大多数都研究了只栽一端的情况，结合你的学习经验，你能不能推理出另外两种情况？

生：只栽一端时，棵数等于间隔数，两端都栽就是在只栽一端的基础上再加一棵，所以棵数=间隔数+1。

生：两端不栽就是在只栽一端的基础上再减一棵，所以两端不栽时，棵数=间隔数-1。

师：大家同意吗？（同意）这两位同学发言好在哪？

生：根据一种情况就推出了另两种情况。

生：没用线段图也解决了问题。

生：只要知道间隔数是几，就能推理出所有情况。

师：推理确实是好方法，它不仅能让我们脱离具体的直观图来解决问题，还让我们了解了这三种植树类型的联系，掌声送给这些同学。

2.分析三种类型，概括数学本质

师：大家再观察这三种类型，它们有什么相同点吗？

生：都是先算出间隔数。

生：都用到了除法算出间隔数。

师：（圈出三种类型中的除法算式）是的，都是先计算15÷5=3（个），那你觉得植树问题就是哪一类计算？

生：用除法解决的一类问题。

师：都是先算出间隔数，再用一一对应的方法确定棵数和间隔数的关系。植树问题并不神秘，它就是用除法解决的一类问题。

【意图】重点理解只栽一端的作用就是让学生用它来推理，通过推理沟通三种植树类型的联系，实现对植树问题的整体感悟，并最终抽象出植树问题的本质——研究棵数与间隔数之间数量关系的除法计算。当然，用任何一种植树类型都可推理出另外类型，选用只栽一端做为基本模型，是因为在这种类型下棵数恰好等于间隔数，而且和另外两种类型存在着间隔数加一、间隔数减一的简单关系，便于学生理解掌握。

五、回归生活，运用模型

1.解决生活中的实际问题（略）

2.引发思考，将探究拓展到课外

师：这节课我们研究的是在直直小路上的植树问题，还会有什么样的植树问题？（曲线）假如在60 米长的圆形花坛四周植树，也是每隔5 米栽一样，能栽几棵呢？留给大家课后解决。

【意图】解决曲线上的植树问题需要将曲线问题转化成直线问题，这道题不仅要求学生灵活地运用本课所学知识，还将学生的探究由课内引向了课外。

反思：

模型思想是数学三大基本思想之一，又位列十大核心概念之中，其在教学中的重要性不言而喻。植树问题不仅蕴含着典型的模型思想，更有一一对应、数形结合等思想，有效地整合这些思想方法，更好地凸显模型思想才是教学的出发点和归宿。模型思想的建立不仅要让学生经历模型的建立过程，更要实现对模型的深度理解和本质把握。

1.数学模型的建构是一个生动深刻的过程

学生对模型思想的感悟需要学生经历建模的过程，这就要先从现实世界中找到原型，逐渐剥离现实问题中的非数学本质，最终抽象出数学模型。本课由“三个班各栽了多少棵”这一现实情境引发思考，让学生初步感知到植树类型的存在和不同，学生用画线段图的方式把现实中的“树”和“间隔”抽象成了“点”和“段”。再用一一对应等思想方法得出了简洁的数学关系式，初步建立了数学模型。但教学并未就此止步，而是进一步让学生对比、分析三种关系式，由此及彼，实现了三种关系的有效沟通，深化了学生的理解，并最终抽象出植树问题的数学本质，实现了对数学模型的深度理解。

2.数学模型应该是简洁的、便于理解运用的

植树问题的数学模型不是留在黑板上的学生总是混淆的三个关系式，更不是把这三个关系式又变式成更多的公式，这不仅不利于学生理解，更会增加学习的难度，无助于模型思想的建立。对学生来说，这个模型应该是理解起来简单，运用起来方便的。在本课中，绝大多数小组选择“只栽一端”并非偶然，而是教师的“有意为之”，学生用“只栽一端”这个基本模型就能推理出另外两种情况，这不仅不会弱化模型思想的感悟，反而能更加凸显出这个基本模型的优势一一用除法算出间隔数，棵数就等于间隔数，再用间隔数加1、减1 就算出了另外两种植树情况。学生只需要用除法算出间隔数，再根据实际情况就可推理解决所有类型的植树问题。

可见，给学生一个清晰的数学模型不仅是能否建立起模型思想的关键，更应是教学的不懈追求。