多面体与球的外接问题

福建 黄清波

近几年高考试题中,对多面体与球的外接问题的考查频率比较高，而且具有一定的综合性，是高考备考的一个重难点.此类试题考查考生的画图、识图能力，具体体现为点、线、面的位置关系与数量关系等的考查，从而达到考查考生逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养的目标，对考生知识以及思维能力要求较高.本文以2019年高考数学全国卷Ⅰ理科第12题为例，从多个视角去考量这类问题的求解策略，希望读者从中受到启发，选择适当的解题方法.

题目：已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E,F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°,则球O的体积为

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【分析】本题考查正三棱锥的性质、三棱锥的外接球等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，难度较大.

策略一：几何法

【分析】首先，由题意画出图形，利用图形的几何特征并结合余弦定理求出三棱锥的侧棱长；或者利用点、线、面的位置关系证明三条侧棱两两互相垂直，结合勾股定理求出三棱锥的侧棱长.其次，寻找球心的位置，三棱锥外接球的球心在通过底面三角形的外接圆圆心且与底面垂直的垂线上.最后通过解三角形求出外接球的半径，并通过球的体积公式求解.

解法1:如图，由题意，三棱锥P-ABC是正三棱锥，设PA=PB=PC=2a，

设顶点P在底面ABC的射影为点G,则点G是△ABC的中心，

解法2：如图，由题意知三棱锥P-ABC是正三棱锥，

设顶点P在底面ABC的射影为点G,则点G是△ABC的中心，连接BG并延长，交AC于点H,则BH⊥AC,又PG⊥AC,

且BH∩PG=G,所以AC⊥平面PBH,所以PB⊥AC.

又点E,F分别是PA，AB的中点，所以EF//PB,

又∠CEF=90°，即EF⊥CE,所以PB⊥CE,

且AC∩CE=C,所以PB⊥平面PAC.

所以正三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直.

【归纳】此法是以逻辑推理作为工具来解决问题，解题过程中经常要引入辅助线和回忆大量的几何性质、定理，如球体的截面性质、勾股定理、余弦定理等，对学生的空间想象能力和逻辑推理能力要求较高，在教学过程中，应引导学生优先考虑用几何法解题，会尝试着动手操作去处理图形，即对图形进行折叠、展开、添加辅助线等，借此不断提高自己的空间想象能力.另一方面，让学生熟练掌握初中、高中几何定理、公理的运用.

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策略二：模型法

【分析】首先由题意画出图形，利用空间向量中的基底法证明三条侧棱两两互相垂直是解题的关键.其次，通过补形，把三棱锥补成直四棱柱，从而迅速求出外接球的半径，最后通过球的体积公式求解.

解法3：如图，由题意，三棱锥P-ABC是正三棱锥，设PA=a，∠APB=θ.

所以2a2·cosθ=a2·cosθ，得cosθ=0，所以θ=90°.

把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，

【归纳】此法主要是对于一些有垂直关系的、可以补成直棱柱的三棱锥或四棱锥，通过补成直棱柱后较容易求得外接球的半径.常见的模型有以长方体为基础的特殊几何体、以直三棱柱为基础的特殊几何体.

直棱柱如果有外接球，则其外接球的球心在两底面多边形的外接圆圆心连线的中点上.

【变式】已知三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为

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解：由题意，△ABC为直角三角形，三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱.

把直三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径.

策略三：坐标法

解法4：由题意，三棱锥P-ABC是正三棱锥，设PA=PB=PC=2a，

设顶点P在底面ABC的射影为点G,则点G是△ABC的中心，

【归纳】此法主要是利用向量的相关知识及其运算来解决问题，即用代数的方法解决几何问题，将数与形完美地结合起来，降低了立几的思维难度，解题有一定的规律性，便于学生掌握.其步骤：①建系；②找点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤下结论.不规则的坐标系的建立较为灵活，但还是有“法”可依，在平时教学过程中，应加强建不规则坐标系的训练，帮助学生消除一定的心理障碍.此外，建立坐标系后，通常会增加表示某些点坐标的难度，除了作“射影”来求，大多是通过“计算”来得到.

【变式】某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为

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A．11π B．12π C．13π D．14π

由OA=OB=OC=OD=R，得

则该棱锥的外接球的表面积为4πR2=11π.

以上几种方法各有所长，适合求解多面体的外接球问题.“多法”的准确定位是并举！即不宜人为地、凭主观划分它们的优劣，而应具体问题具体分析.即使受教学时间的限制，在课堂上尽量“择其善者而从之”，但对其他的方法应稍作提示引导，让学生在课下尝试、讨论，并对每一种方法进行比较，思考这些方法的区别与联系，归纳解决这类问题的合理解法，这对学生能力的提高大有裨益.