浅谈与导数应用问题交汇例题解析

甘肃 何伟军

导数是研究函数性质和图象的有力工具，导数除在求函数的单调性、曲线的切线、研究函数的图象、求解函数极(最)值、判断函数的零点和求参数的取值范围等方面有着广泛的应用外，“在知识的交汇处命题”的原则贯穿导数应用始终，由此也成为与其他各“知识块”命题的生长点、交汇点和考查学生数学综合能力的热点．下文笔者将撷取与导数有关的试题进行分析，与大家分享.

一、集合知识与导数的交汇

集合是其他数学的基础知识，把集合问题作为载体，求解不等式的解集为运算的核心，通过两集合间的关系形成综合问题是高考的重中之重.

( )

A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D.[1,+∞)

综上可得MP时，a>1,故选C.

【评注】正确求出导函数，解有理分式不等式，理解集合的含义，再由MP，借助数轴列不等式或不等式组求其参数的取值范围.注意运用分类讨论与整合，数形结合思想方法，尤其需要注意端点值能否取到.

二、不等式与导数的交汇

函数、导数和不等式之间联系非常紧密.不等式贯穿于函数的单调性、极值、最值和参数的取值范围等问题中，这些都要通过函数“牵线搭桥”，用导数求解不等式问题，体现导数应用上的新颖性以及导数思想的重要性.

【例2】已知函数f(x)=ex+e-x，其中e是自然对数的底数.

(Ⅰ)证明：f(x)是R上的偶函数；

(Ⅱ)若关于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立，求实数m的取值范围；

解析：(Ⅰ)证明略.

(Ⅱ)由mf(x)≤e-x+m-1得m(f(x)-1)≤e-x-1.

(Ⅲ)由题意，不等式f(x)

【评注】第(Ⅰ)问判断偶函数；第(Ⅱ)问不等式恒成立问题；第(Ⅲ)问导数与函数的单调性，比较大小．解决含参数问题及不等式问题实现两个转化，一是利用导数解决含有参数的单调性问题可转化为不等式恒成立问题，要注意化归与转化、分类讨论和数形结合思想的应用．二是将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理．无论何种问题，最终转化为利用导数研究函数的单调性或最值，如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是证明不等式的关键.

三、数列与导数的交汇

我们知道数列是自变量取正整数时的函数，而导数又是研究函数性质的有力工具．因此，自然可联想、尝试应用导数知识解决数列的最大项或最小项问题；研究数列的增减性，证明数列不等式等.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

又a1=2,a2+a4=8,所以a3=4,解得d=1,所以an=2+(n-1)·1=n+1.

四、三角函数与导数的交汇

三角函数与导数的交汇将是高考命题的一个新方向.

( )

A.(-∞,-6)∪(6,∞)

B.(-∞,-4)∪(4,∞)

C.(-∞,-2)∪(2,∞)

D.(-∞,-1)∪(1,∞)

【评注】利用导数求三角函数的单调区间、最值、参数的取值范围等，求解过程简单，方法新颖别致，耳目一新.2013年全国卷Ⅱ理第16题、2014年辽宁卷理第21题、2015年陕西卷理第21题、2017年山东卷理第20题、2017年北京卷理第19题、2019年江苏卷第20题第(2)问等，都是把求函数的导数、三角函数的有界性、解简单的三角方程和一元二次不等式的解法紧密相连，起到多管齐下、一石二鸟的作用.

五、平面向量与导数的交汇

以平面向量为载体，利用向量的数量积、向量共线和模的概念可以把问题转化为代数表达形式，脱去向量的外衣，转化为代数问题，即运用导数方法解决有关问题.

六、解析几何与导数的交汇

导数的几何意义把函数的导数与曲线的切线相联系,使之成为知识交汇的一个重要载体.运用导数求圆锥曲线上任意一点的切线方程、直线与圆锥曲线关系中最值问题，当目标函数不能用一般方法求解时，转化或换元为高次函数，可利用导数求出最值.

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值.

【评注】第(Ⅰ)问可用平面向量的坐标运算，采用直接法求出点的轨迹；第(Ⅱ)问将曲线的切线与导数有机结合，考查点到直线的距离公式，基本不等式求最值的方法.问题设计精彩，知识面广，基础兼综合.

七、概率与导数的交汇

将函数、导数和方程与概率统计问题综合、整合与交汇，成为高考命题的创新点，如2018年全国卷Ⅰ理第20题，值得注意.

【例7】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0

(Ⅰ)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；

(Ⅱ)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(Ⅰ)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=40+25×18=490.

(ii)由(i)可知一箱产品若全部检验只需花费400元，若余下的不检验则要490元，所以应该对余下的产品作检验.

【评注】本题以检验产品为命题背景，将概率统计知识与实际问题相结合，设计二项分布 “搭台”、导数“唱戏”，数学期望“剧终”，体现了数学的应用价值与人文特色，给人以耳目一新感觉，但考生的阅读理解能力以及应用数学知识解决实际问题的能力都不尽如人意，备考时应予以高度重视和反思.

八、数列、解析几何等与导数的交汇

曲线上的点列、递推数列及导数知识交汇问题，它们均是在“知识网络交汇点”命题，所涉及的知识点较多、内涵丰富.无论在知识方面还是在思维转化方面都提出了较高要求，有较强的综合性和一定的思维深度.

(Ⅰ)求点Pn的坐标；

(Ⅲ)设S={x|x=2xn,n∈N*},T={y|y=4yn,n∈N*}，等差数列{an}的任一项an∈S∩T，其中a1是S∩T中的最大数，-265

又y′=2x+2n+3，当x=0时，kn=2n+3,所以

(Ⅲ)S={x|x=-(2n+3),n∈N,n≥1}，

T={y|y=-(12n+5),n∈N,n≥1}={y|y=-2(6n+1)-3,n∈N,n≥1}，

所以S∩T=T,T中最大数a1=-17.

又an∈T，所以d=-12m(m∈N*)⟹d=-24，所以an=7-24n(n∈N*).

九、简单几何体与导数的交汇

高考立体几何与导数交汇的综合题，以生活中的最优化问题(人教A版选修2-2P34)最为多见，主要是设置恰当的自变量，并确定自变量取值范围，建立关于锥体、柱体体积的目标函数. 知识点的结合也比较精，以它的新颖性、综合性而“闪亮登场”.

(Ⅰ)求V(x)的表达式；

(Ⅱ)当x为何值时，V(x)取得最大值？

(Ⅲ)当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值.

【评注】本题是简单几何体与导数的综合题，解决本题的关键是建立四棱锥P-ACFE的体积V(x)与x的函数关系式，进而转化为利用导数法求解V(x)的最大值问题，运算量不大，但没有扎实的基本功和应对新题型的应变能力，就很容易导致解题错误甚至没有解题思路.

通过以上各例的分析可以看出，导数之所以能作为压轴题，必有其独特的魅力，其魅力在于导数的联系十分广泛，因而在知识的交汇点处命题一直是高考的命题热点.平时复习中有意识地将知识交汇的问题进行归类、整理，了解知识交汇的一些特点，掌握新课标背景下依然坚持的高考命题的新视角，有利于获得更大的效益.