立足教材 深度研究 对决高考 备战自招——源于一道教材习题的思考与拓展

四川 唐有强

纵观近几年高考数学试题，都遵循“立足基础，考查能力”的原则，立足教材，生成教材变题.在教育部提出的“一核四层四翼”的高考评价体系涵盖下，我们总能找到教材例题、习题的改编，高考试题源于教材而高于教材，有些高考试题的结论和方法来源于教材,我们应深挖教材例题和习题的潜能，重视部分例题和习题蕴含的丰富知识点、数学思想方法、解题技巧；深入分析、拓展升华，挖掘其内在的潜能，探求到更一般的结论，做到知识点和思想方法源于教材，但却又高于教材，不仅能优化学生的知识结构，培养学生思维的灵活性，还能提升学生研究问题的能力，教材对培养优秀的学子是不可多得的第一手资料.如何达到知识拓展、能力培养双丰收，下面笔者以教材中的一道习题为例，结合相应的高考、竞赛、自招试题，说明立足教材，重视课本例题、习题的重要性，并归纳引导出一些相关的性质和试题，供读者参考.

一、教材习题呈现与分析解答

【分析】试题的结构简单明了，知识方面主要考查余弦定理解三角形、诱导公式；思想方法主要考查化归与转化，综合考查学生的逻辑思维、转化、推理论证与运算求解等方面的能力，该习题的思维与运算过程较好地体现了能力立意的思想，对三角形中的特殊线(中线)的长度进行计算，体现了习题以点带面的性质，让老师、学生有拓展思考的空间.

因为cos∠ADB+cos∠ADC=0,

二、一题多变，挖掘教材习题的拓展价值

【思考一】当点D为边BC上任意一点时，又有什么结论呢？

【变式1】已知在△ABC中，当点D为边BC上任意一点时,则AD=________.

消去cosB得AB2·DC+AC2·BD=BD·DC·BC+AD2·BC，

(AB2·DC+AC2·BD=BD·DC·BC+AD2·BC是著名的斯特瓦尔特定理)

【思考二】当点D为边BC上一点，且满足BD=λBC时,又有什么结论呢？

【变式2】已知△ABC的三边分别为a,b,c，当点D为边BC上一点，且满足BD=λBC时，则AD=________.

解：因为BD=λBC，则BD=λa,DC=(1-λ)a，

代入变式1的结论：

【思考三】若AD为∠BAC的内角平分线，又有什么结论呢？

【变式3】已知在△ABC中，若AD为∠BAC的内角平分线，则AD=________.

把②代入①得AD=

【思考四】若AD为∠BAC的外角平分线，又有什么结论呢？

【变式4】已知在△ABC中，若AD为∠BAC的外角平分线，则AD=________.

解：如图,由斯特瓦尔特定理得

【思考五】当AD分∠BAC为α与β，又有什么结论呢？

【变式5】已知在△ABC中，当AD分∠BAC为α与β,则AD=________.

解：如图，在△ABC中，设AD=l，∠BAD=α，∠CAD=β，

三、呈现教材习题的拓展价值在高考自招竞赛中的应用

1.(2015·全国卷Ⅱ理·17)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍.

由斯特瓦尔特定理得

2.(2018·江苏卷·13)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为________.

当且仅当c=2a=3时取等号，则4a+c的最小值为9.

当且仅当c=2a=3时取等号，则4a+c的最小值为9.

3.(2018·复旦大学自主招生试题)在△ABC中，D为BC边上一点，AB=c,AC=b,AD=h,BD=x,CD=y，则

x2+y2+2h2=b2+c2是AD为中线的什么条件？

【解析】由斯特瓦尔特定理得x2+y2+2h2=b2+c2，此时x不一定等于y，而当AD为中线，即x=y时,肯定有x2+y2+2h2=b2+c2，中线只是D为BC边上一点的一种特例，故x2+y2+2h2=b2+c2是AD为中线的必要不充分条件.

4.(2017·北京大学自主招生试题)已知三角形的三条中线长度分别为9,12,15，则该三角形的面积为

( )

A.69 B.72

C.75 D.前三个答案都不对

【解析】法1：设三角形的三边分别为a,b,c，由斯特瓦尔特定理得

法2：如图，△ABC的三条中线AD=9,BE=12,CF=15,G为重心，延长GD至P,使得GD=DP,则S△BGC=S△BGP.

从而BP2=BG2+GP2，所以∠BGP=90°,S△BGP=24,所以S△ABC=3S△BGP=72.

【证明】取边BC的中点为D,设△ABC的BC边上的高为h，则h≤AD,

6.(IMO-10试题)若△ABC的三边为连续整数，且最大角∠B是最小角∠A的两倍，求三角形的三边长.

【解析】法1：作∠ABC的平分线BD(如图)，则BD=AD,设AB=x,AD=y，

则AC=x+1,BC=x-1,CD=x+1-y，由斯特瓦尔特定理有y2=x(x-1)-y(x+1-y),

总之，现行教材是中学数学课程教材研究开发中心集体智慧的结晶，是数学知识和数学思想方法的重要载体，又是老师的“教”和学生的“学”的主要材料，承载着新课程改革的理念，渗透着创新精神和实践能力的培养，同时也引领着高考改革的发展方向，教材中的例题、习题是经过编者精心打磨与设计的，具有典型性和引领性，大都蕴含着深刻的背景、丰富的数学思想，我们应深入挖掘与研究教材中的例题、习题，巧妙加工、变换、延展，老师充分利用教材中呈现的试题，高观点引导调度学生，学生利用这些习题进行自主探究或合作探究，不仅可以拓展学生的知识，同时还可以培养学生的思辨能力，很好地为高考、自招竞赛服务.