基于数学史的等差数列前n项和教学设计

黄媛 隆广庆 韦永良

【摘要】在数学教学中，教师适当地融入数学史，不仅能够为枯燥乏味的数学增添色彩，提高学生学习数学的兴趣，更能够提高学生对本节课所学习内容的理解程度。本教学设计运用“高斯求和”、“泰姬陵的传说”等历史故事，将等差数列与数学史相结合起来，这可以提高学生的数学素养，加深学生对等差数列的前n项和的理解。

【关键词】数学史   等差数列   教学设计

【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】1992-7711（2020）27-172-02

从知识发生需要的基础上来看，学生已经学习了等差数列的概念，已经具备有一定的知识基础。关于等差数列的前n项和教学，以“泰姬陵”问题作为直观的情境引入，以“高斯求和”问题作为抽象的情境引入，两者在推导“等差数列前n项和”的公式时，都采用了等差数列首尾相加的办法。

一、知识回顾，开拓创新

首先，先带领同学们回顾等差数列的公式是什么，这个时候可以请同学们起来回答，教师结合学生的回答可以知道学生对上节课的掌握程度。课前回顾等差数列的公式会让本节课的学习更加顺畅，也达到了课前巩固的效果，更为本节课的导学和学习打下基础。

二、创设情境，以趣启思

《高斯的故事》

師：两百多年以前，一位10岁的小孩算了一道很难的题目，他就是著名的数学家高斯，老师出了这样一道题：计算1+2+3+…+100=？这件事让三年级的学生做，可难倒大家了，不料，高斯小朋友就把他写好的答案交上去了。原来，高斯把这100个数一边取一个，配起对来，1和100，2和99，…，而像这样组合共50组，每一对相加都等于101，因而答案就是101×50=5050.

师：同学们能够看出数学小天才高斯的计算方法吗？

生：可以，高斯用的是首尾相加法。

师：如果将高斯的计算方法运用到等差数列的求和，我们会得出什么样的结论呢？

此时众生带着疑惑，跟老师进入本节课的学习。

设计意图：此环节由学生讨论其算法的奇妙之处，教师在适当的时候引导学生得出相应结论，并且我们把这种方法叫做首尾配对法，它能够将加法问题转化为乘法运算，从而迅速准确得到了结果。

三、探究新知，得出公式

问题1：如右图所示，这个21层的三角形一共有多少颗宝石？

生：借鉴高斯的算法，把1与21配对，20与2配对，…，剩下一个11，即

1+2+...+21=（1+21）+（2+20）+...+（10+12）+11

=10×12+11=131.

师：我们发现借鉴高斯的这种“首尾配对”的算法对偶数项的数列很好用，但对于奇数项的数列就不方便，奇数个数相加时，首尾两两配对，会发现有一项没有组合。同学们是否有简单的方法呢？可不可以避开对项数奇偶性的讨论？

生：因为这个图形是三角形的形状，所以我们在旁边放一个一样的三角形，这样就能够使得每层都有22个宝石，一共有21层。则宝石的总数是131×2的一半，131（如右图）

师：非常棒，这种方法很奇妙，不需要考虑项数的奇偶性就可以求和。可以用公式表示为：S21=1+2+...+21，S21=21+20+...+1

两式对齐相加，得：2S21=（1+21）+（2+20）+...+（26+26）=（1+21）×26

∴2S21=                     这种求和方法在等差数列中叫做倒序相加法。

问题2：等差数列前n项和还可以用别的形式表示吗？

生：等差数列的通项公式：

an=a1+（n-1）d，得到Sn=na1+              d.（2）

四、典例展示，学以致用

例1：在等差数列an中，（1）a1=     ，an=-    ，Sn=-5，求n和d.

（2）a1=4，S8=172，求a8=和d.（师生共同推导）

例2：古代有这样的一个问题：今将20斗小麦分给10人，从第二人开始，每个人比前一个人降    斗，问分的最多的人分到多少？

师：你能将这个问题变成数列的问题吗？

生：我可以，12为公差d，20为前n项和Sn，10为项数n，求首项a1.

师：这位同学分析得很好，那其他同学有没有别的看法呢？

生：老师，我觉得公差d应为-     .

师：很好，那有没有同学可以在黑板上展示自己的算法呢？

生（板演）：因为Sn=na1+              d，

所以10a1+                  ×（-     ）=20， 所以a1=     .

设计意图：该题目主要为了考察学生对文字解读的水平，会不会把问题转化成数学问题来解答，也考察了学生在解题时对等差数列公式的选取。

例3：已知一个等差数列{an}，a1到a10的和为211，a11到a20的和为811，求a21到a30的和。

学生独立完成后交流。

生1：第21项到第30项的和为811+（811-211）=1411.

师（追问）：那么第31项到第40项的和又是多少？

生2：1411+（1411-811）=2011

师：观察这些数211，811，1411，2011， 你能发现了什么？

生：这四个数成等差数列。

师：这是不是巧合呢？

众生均表示否定。

师：能否用什么方法来证明你发现的规律呢？

师生共同合作完成如下证明：

已知等差数列{an}中，

Sn= a1+a2+...+an-1+an，S2n-Sn=an+1+an+2+...+a2n-1+a2n，

S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+...+a3n-1+a3n，

∴（S2n-Sn）-Sn=n2d，（S3n-S2n）-（S2n-Sn）=n2d

∴（S2n-Sn）-Sn=（S3n-S2n）-（S2n-Sn）

∴Sn，S2n-n，S3n-2n成等差數列。

总结结论：在等差数列中，Sn，S2n-n，S3n-n这样的数列也叫做等差数列。

五、感悟例题、再生问题

问题6：观察例3的结果，有什么发现吗？

（1）从例题结果出发，引导学生观察： 211，811，1411是什么数列？

（2）如果等差数列{an}的前 n 项和为Sn，那么S10，S20-10，S30-20，......是否成等差数列？

六、课堂小结（主要由学生完成）

从知识、方法、思想和应用层面来回顾。

七、教学反思

1.等差数列的前n项和的教学过程中，主要难在公式的推导过程，本节课的教学利用了数学史的故事引入，引导学生去思考，激发学生学习数学的兴趣，能够让死板的数学课堂变得出彩;其次，在推导公式的过程中，结合了上节课学习的等差数列的性质，不仅能够让学生学习新的内容，还巩固了旧知识。

2.本教案的不足之处是在设计过程中，没有真正结合实际教学，只给出了理想中的教学情境，真正运用到课堂中，可能还需要根据不同的学情、不同的班级进行修改。

【参考文献】

[1]张弟.基于数学核心素养发展观的教学设计——以“等差数列的前n项和”为例[J].数学学习与研究，2018（24）：78.

[2]翟阳琴.将数学史融入高中数学课堂——以“等差数列的前n项和（1）”为例[J].数学教学通讯，2018（33）：18-19+41.

[3]孙丽娜.“等差数列的前n项和”的教学设计和教学反思[J].数学学习与研究，2014（21）：21+23.

[4]覃倩.“等差数列前n项和公式”教学设计及其分析[J].吉林省教育学院学报（下旬），2012，28（10）：29-30.