基于数学史的等差数列前n项和教学设计

2020-11-02 00:38黄媛隆广庆韦永良
中学课程辅导·教育科研 2020年27期
关键词:等差数列数学史教学设计

黄媛 隆广庆 韦永良

【摘要】在数学教学中,教师适当地融入数学史,不仅能够为枯燥乏味的数学增添色彩,提高学生学习数学的兴趣,更能够提高学生对本节课所学习内容的理解程度。本教学设计运用“高斯求和”、“泰姬陵的传说”等历史故事,将等差数列与数学史相结合起来,这可以提高学生的数学素养,加深学生对等差数列的前n项和的理解。

【关键词】数学史   等差数列   教学设计

【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】1992-7711(2020)27-172-02

从知识发生需要的基础上来看,学生已经学习了等差数列的概念,已经具备有一定的知识基础。关于等差数列的前n项和教学,以“泰姬陵”问题作为直观的情境引入,以“高斯求和”问题作为抽象的情境引入,两者在推导“等差数列前n项和”的公式时,都采用了等差数列首尾相加的办法。

一、知识回顾,开拓创新

首先,先带领同学们回顾等差数列的公式是什么,这个时候可以请同学们起来回答,教师结合学生的回答可以知道学生对上节课的掌握程度。课前回顾等差数列的公式会让本节课的学习更加顺畅,也达到了课前巩固的效果,更为本节课的导学和学习打下基础。

二、创设情境,以趣启思

《高斯的故事》

師:两百多年以前,一位10岁的小孩算了一道很难的题目,他就是著名的数学家高斯,老师出了这样一道题:计算1+2+3+…+100=?这件事让三年级的学生做,可难倒大家了,不料,高斯小朋友就把他写好的答案交上去了。原来,高斯把这100个数一边取一个,配起对来,1和100,2和99,…,而像这样组合共50组,每一对相加都等于101,因而答案就是101×50=5050.

师:同学们能够看出数学小天才高斯的计算方法吗?

生:可以,高斯用的是首尾相加法。

师:如果将高斯的计算方法运用到等差数列的求和,我们会得出什么样的结论呢?

此时众生带着疑惑,跟老师进入本节课的学习。

设计意图:此环节由学生讨论其算法的奇妙之处,教师在适当的时候引导学生得出相应结论,并且我们把这种方法叫做首尾配对法,它能够将加法问题转化为乘法运算,从而迅速准确得到了结果。

三、探究新知,得出公式

问题1:如右图所示,这个21层的三角形一共有多少颗宝石?

生:借鉴高斯的算法,把1与21配对,20与2配对,…,剩下一个11,即

1+2+...+21=(1+21)+(2+20)+...+(10+12)+11

=10×12+11=131.

师:我们发现借鉴高斯的这种“首尾配对”的算法对偶数项的数列很好用,但对于奇数项的数列就不方便,奇数个数相加时,首尾两两配对,会发现有一项没有组合。同学们是否有简单的方法呢?可不可以避开对项数奇偶性的讨论?

生:因为这个图形是三角形的形状,所以我们在旁边放一个一样的三角形,这样就能够使得每层都有22个宝石,一共有21层。则宝石的总数是131×2的一半,131(如右图)

师:非常棒,这种方法很奇妙,不需要考虑项数的奇偶性就可以求和。可以用公式表示为:S21=1+2+...+21,S21=21+20+...+1

两式对齐相加,得:2S21=(1+21)+(2+20)+...+(26+26)=(1+21)×26

∴2S21=                     这种求和方法在等差数列中叫做倒序相加法。

问题2:等差数列前n项和还可以用别的形式表示吗?

生:等差数列的通项公式:

an=a1+(n-1)d,得到Sn=na1+              d.(2)

四、典例展示,学以致用

例1:在等差数列an中,(1)a1=     ,an=-    ,Sn=-5,求n和d.

(2)a1=4,S8=172,求a8=和d.(师生共同推导)

例2:古代有这样的一个问题:今将20斗小麦分给10人,从第二人开始,每个人比前一个人降    斗,问分的最多的人分到多少?

师:你能将这个问题变成数列的问题吗?

生:我可以,12为公差d,20为前n项和Sn,10为项数n,求首项a1.

师:这位同学分析得很好,那其他同学有没有别的看法呢?

生:老师,我觉得公差d应为-     .

师:很好,那有没有同学可以在黑板上展示自己的算法呢?

生(板演):因为Sn=na1+              d,

所以10a1+                  ×(-     )=20, 所以a1=     .

设计意图:该题目主要为了考察学生对文字解读的水平,会不会把问题转化成数学问题来解答,也考察了学生在解题时对等差数列公式的选取。

例3:已知一个等差数列{an},a1到a10的和为211,a11到a20的和为811,求a21到a30的和。

学生独立完成后交流。

生1:第21项到第30项的和为811+(811-211)=1411.

师(追问):那么第31项到第40项的和又是多少?

生2:1411+(1411-811)=2011

师:观察这些数211,811,1411,2011, 你能发现了什么?

生:这四个数成等差数列。

师:这是不是巧合呢?

众生均表示否定。

师:能否用什么方法来证明你发现的规律呢?

师生共同合作完成如下证明:

已知等差数列{an}中,

Sn= a1+a2+...+an-1+an,S2n-Sn=an+1+an+2+...+a2n-1+a2n,

S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+...+a3n-1+a3n,

∴(S2n-Sn)-Sn=n2d,(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=n2d

∴(S2n-Sn)-Sn=(S3n-S2n)-(S2n-Sn)

∴Sn,S2n-n,S3n-2n成等差數列。

总结结论:在等差数列中,Sn,S2n-n,S3n-n这样的数列也叫做等差数列。

五、感悟例题、再生问题

问题6:观察例3的结果,有什么发现吗?

(1)从例题结果出发,引导学生观察: 211,811,1411是什么数列?

(2)如果等差数列{an}的前 n 项和为Sn,那么S10,S20-10,S30-20,......是否成等差数列?

六、课堂小结(主要由学生完成)

从知识、方法、思想和应用层面来回顾。

七、教学反思

1.等差数列的前n项和的教学过程中,主要难在公式的推导过程,本节课的教学利用了数学史的故事引入,引导学生去思考,激发学生学习数学的兴趣,能够让死板的数学课堂变得出彩;其次,在推导公式的过程中,结合了上节课学习的等差数列的性质,不仅能够让学生学习新的内容,还巩固了旧知识。

2.本教案的不足之处是在设计过程中,没有真正结合实际教学,只给出了理想中的教学情境,真正运用到课堂中,可能还需要根据不同的学情、不同的班级进行修改。

【参考文献】

[1]张弟.基于数学核心素养发展观的教学设计——以“等差数列的前n项和”为例[J].数学学习与研究,2018(24):78.

[2]翟阳琴.将数学史融入高中数学课堂——以“等差数列的前n项和(1)”为例[J].数学教学通讯,2018(33):18-19+41.

[3]孙丽娜.“等差数列的前n项和”的教学设计和教学反思[J].数学学习与研究,2014(21):21+23.

[4]覃倩.“等差数列前n项和公式”教学设计及其分析[J].吉林省教育学院学报(下旬),2012,28(10):29-30.

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